Chuyên đề 3 các tỉ số lượng giác

111Equation Chapter Section CHUYÊN ĐỀ 03: CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CƠ BẢN B cạnh huyền cạnh đối  A cạnh kề C Các tỉ số lượng giác góc nhọn  (như hình định nghĩa sau) AB AC AB AC sin   ;cos   ; tan   ;cot   BC BC AC AB  cos   tan   0;cot   + Nếu  góc nhọn  sin   1; Với hai góc  ,  mà    90 Ta có: sin  cos  ;cos sin  ; tan  cot  ;cot  tan  Nếu hai góc nhọn  ,  có sin  sin  cos  cos    2 sin   cos  1;tan  c cot  1 Với số góc đặc biệt ta có: 1 sin 300 cos600  ;sin 450 cos 450  2 cos300 sin 600  ;cot 600 tan 300  tan 450 cot 450 1;cot 300 tan 600  B CÁC DẠNG BÀI TẬP sin   13 Tính cos  , tan  cot  Ví dụ 1: Biết 25 sin    sin   , 13 169 mà sin   cos  1 Giải: Ta có Do cos  1  sin  1  cos  12 12  :  sin  13 13 Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD, BE cắt H Biết HD : HA 1: Chứng minh tan B.tan C 3 Giải tan   sin  12  :  ; cos  13 13 12 25 12  cos   169 13 cot   A E H B D C AD AD AD tan B  ; tanC   tan B.tan C  BD CD BD.CD Ta có:      HBD CAD (cùng phụ với ACB ); HDB  ADC 90 DH BD BDH ADC ( g g )   , DC AD Do đó: BD.DC DH AD (2) Từ (1) (2) suy : (1) AD AD HD tan B.tan C    3  DH AD DH Theo giả thiết AH , suy ra: HD HD   AD 3HD  AH  HD  hay AD Thay vào (3) ta được: 3HD 3 DH C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) 12 sin  cos   25 Tính sin  ,cos  Bài Biết tan B.tan C   Bài Cho tam giác ABC có AB 16, AC 14 B 60 a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC  Bài 3.Cho tam giác ABC có BC a, A  hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với Tính SABC Bài 4.Cho tam giác ABC Gọi l A , lB , lC độ dài đường phân giác góc A, B, C Chứng minh 2bc A cos bc A B C cos cos cos   1   b lA lB lC a b c a l A  c 1 1 1      l A lB lC a b c Bài 5.Cho tam giác ABC Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến qua A, B, C , m  ma  mb  mc Chứng minh rằng: m  m  ma   m  mb   m  mc  Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB a, BC b, CD c, DA d SABC  Chứng minh rằng: S ABCD   p  a   p  b   p  c   p  d  với p a b c d 1 1    2 4r Bài 7.Cho tam giác ABC Chứng minh a b c 2 Bài 8.Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c a x  x  1, b 2 x  , c x  Chứng minh tam giác có góc 120 sin A   p  b  p  c bc Bài 9.Chứng minh với tam giác ABC ta có: S ABC   a  b  c   a  c  b  Bài 10.Tam giác ABC có tính chất Đáp án đến 10 Bài Giải: Ta có:  sin   cos  sin   cos   2sin  cos  1  7  sin   cos    sin    cos  5 Từ ta có: 12 7  12 cos    cos     cos   cos   25 5  25  cos     25cos   35cos   12 0    cos  3  12 cos    sin   :  25 5 Nếu 12 cos    sin   :  25 5 Nếu Bài A 60 B H a) Kẻ đường cao AH Xét tam giác vuông ABH , ta có: BH  AB.cos B  AB.cos 600 16 8 C 12 49  25 25 AH  AB.sin B  AB.sin 600 16 8 , áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng AHC ta có:  HC  AC  AH 142   196  192 4  HC 2 Vậy BC CH  HB 2  10 1 S ABC  BC AH  10.8 40 3(dvdt ) 2 b) Bài A N M B C Hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với 2 2  2   mb    mc  a 3  3   a2  b2 c   a2  c2 b2         a 9  9 4  5a b  c 2 2 Mặt khác : a b  c  2bc cos A 2a 2a  a 5a  2bc cos A  bc   cos A cos  SABC  bc sin A a tan  Bài A E F B D C sin  2sin   cos 2 bẳng sử dụng tam giác cân a) Trước hết chứng minh cơng thức  đỉnh A có A 2 thơng qua cơng thức diện tích để đến kết luạn 1 A A SABC  bc sin A, SABD  cl A sin , S ACD  bl A sin 2 2 2bc A S ABC S ABD  S ACD  l A  cos bc Mà A 1  b  c    b)   lA  bc  2b 2c B C cos   ,cos   2a 2c lC 2a 2b Tương tự lB cos A B C cos cos   1   lA lB lC a b c cos  A B C cos cos         1 11 lA lB lC l A lB lC l A lB lC a b c cos  c Ta có: Bài A N M G P C B D Gọi D điểm đối xứng A qua trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC hình bình hành SGBD SGBC S AGB S AGC  S ABC Dễ thấy 2 ma , mb , mc 3 Mà GBD có ba cạnh  SGBD  2    3 m  m  ma   m  mb   m  mc   S ABC 3SGBD  Bài m  m  ma   m  mb   m  mc  B a A x C b c d D     Do ABCD nội tiếp nên sin ABC sin ADC ; cos ABC  cos ADC 1 S ABCD S ABC  S ADC   ab  cd  sin B   ab  cd   cos B 2 2 Trong tam giác ABC có AC a  b  2ab cos B 2 Trong tam giác ADC có AC c  d  2cd cos D 2  a  b  2ab cos B c  d S ABCD a  2cd cos D  cos B   b2    c2  d   ab  cd    a  b2    c  d   1    ab  cd   cos B   ab  cd      2  ab  cd    Do 1 2 2   ab  cd     a  b    c  d      a  b    c  d     c  d    a  b     4   a b c  d   a b  c d   a  b c d    a b c d           2 2      a b c d  S ABCD   p  a   p  b   p  c   p  d  voi : p  Bài a a   b  c   1  a2 a2   b  c  1 1  ; 2 2 2 b b   c  a c c   a  b Tương tự: 1 1 1      a b2 c a   b  c  b2   c  a  c   a  b  Nên 1     a  b  c  a  b  c  b  c  a  b  c  a  c  a  b  c  a  b   1   4 p  b  p  c 4 p  c  p  a  4 p  a   p  b  4 p  a   p p2 p2   2 p  b   p  c  p  p  a   p  b   p  c  4S 4r Bài  x2     x 1 2 x    x2   x   x2  x  Điều kiện a, b, c ba cạnh tam giác  Với x   a  b, a  c nên a cạnh lớn cos A   A 120 Tính Bài Gọi O tâm đường tròn nội tiếp A A S ABC  pr  bc.sin A bc.sin cos  1 2 Ta có 10 A O C B Từ hình vẽ: r  p  a  tan A S A  ABC  p  a  tan   p  Từ (1) (2)  S ABC  p  p  a  tan A A A bc.sin cos 2 p  p  a  p  b  p  c A A bc  p  a  sin  sin  p 2 Bài 10   p  b  p  c  bc  a b  c  a b  c  a  b c   a b c  S ABC       2 2      Theo Hê rông :   a  b  c  a b  2  a  c  b   a  b  c   a  b  c   a  b  c    a  b  c  c   a  c  b   a  b  c    a  b  c   b  c a Vậy tam giác ABC vuông A Đề từ 11 đến 20 Bài 11.Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp r  tam giác Chứng minh R Bài 12.Cho tam giác ABC Chứng minh : 11 cos A  cos B   cot A  cot B  2 sin A  sin B b)3S 2 R  sin A  sin B  sin C  a) c) p  p  a  p  b  p  c  p d )S   a  b4  c4  16 Bài 13.Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh a, b, c Chứng minh : c a  b  2ab.cos C  AB c, BC a , CA b  Bài 14 Quan sát hình vẽ , tính N , M MNL (làm trịn đến phút) L 30° H 4,2 M 3,8 Bài 15.Cho hình vẽ Tính DAC , BXD 12 N E D C X B A Bài 16.Cho ABC vuông A, đường cao AH , trung tuyến AD Tính cạn tam giác ABC biết AH 4cm, AD 5cm Bài 17.Cho tam giác ABC Chứng minh : a b c   3 b c  a a c  b a b  c 1 1 h h h b)    c) b2  c2  a2  hb hc r hb hc r a) 2 Bài 18.Cho tam giác ABC có sin B  sin C 2sin A Chứng minh A 60 4 Bài 19.Cho tam giác ABC có a  b c Chứng minh có góc tù 2 2 Bài 20.Tam giác ABC có a  b  c 36r có tính chất ? Đáp án từ 11 đến 20 Bài 11 S abc r S2 r  ,R    p S R pabc Ta có : 13  p  p  a  p  b  p  c 4 p  a   p  b  p  c   pabc abc Mà 2p  a  b c  2 2p  a  c b   p  a  p  c  2 2p  b  c a   p  b  p  c  2 abc r   p  a  p  b  p  c    R  p  a  p  b  Bài 12 a) BDT   sin A  sin B  1      2 sin A  sin B  sin A sin B  1 1             sin A  sin B  sin A  sin B  sin A sin B   sin A sin B   b)3S 2 R  sin A  sin B  sin C  3abc b3 c3  2 a  2 R      3abc a  b3  c 4R  8R 8R 8R  c) Từ  x  y  z  2 x  y  z  xy  yz  zx   x  y  z   x  y  z 2 2 Nên x, y, z dương x  y  z  x  y  z Áp dụng vào chứng minh : ) p  a  p  b  p  c  p  a  p  b  p  c  p ) 14  p a  p b p c  3  p  a  p  b  p  c  3 p  a b  c  a b  c  a  b c   a b c  d ) S  p  p  a   p  b   p  c       2 2      1 2    b  c   a2   a2   b  c      b  c   a2  a2   16   16  1   b  c  2bc  a  a   2b  2c  a  a 16 16 1   2b a  2c 2a  a    a  b  c  16 16 Bài 13 A c b h x B C H 2 Ta có: AHC có H 90 x  h b (định lý Pytago ) Mặt khác : 2 BH  AB  AH  a  x hay c  h  a  x  2ax c   b  x  2 2 2 Hay a  2ax c  b  c a  b  2ax 2 Vậy c a  b  2ab cos C Bài 14 15 L 30° H 4,2 M 3,8 N Kẻ MH  NL H Xét MHL có H 90 , L 30 , ML 4,2  MH  Và M 90  L 60 Xét MNH có MN 3,8cm, MH 2,1, H 90 MH 2,1   N 33 33' ML 3,8  M 90  N 90  33 33' 56 27'  sin N   NML M  M 56 27 ' 60 116 27' Vậy N 33 33', M 116 27' Bài 15 16 ML 2,1 E D X C B A tan DAC  Xét ACD có C 90 , AC 2CD Ta có :  DAC 26 34' Ta có : BXD 360   C  CDX  CBX  Trong CDX 90  DAC 90  26 34' 63 26' Lại có ECB ACD(c.g c )  EBC ADC 63 26' CD CD   AC 2CD CBX 63 26'  BXD 360   90  2CDX  143 Hay Bài 16 A C B H D Do AD trung tuyến ứng với cạnh huyền BC tam giác ABC vuông A nên BC 2 AD 2.5 10cm 2 2 Áp dụng định lý Pytago vào AHD có HD  AD  AH   3cm 17 AH 2  B 62 26' BH 2 2 Và AB  AH  BH   2 5cm AC BC.sin B 10.sin 62 26' 8,9cm Bài 17 bc aca b a)  b  c  a   c  a  b   c c a  b a b  c a  c  a  b  a  b  c  b c  a b a  c b  b  c  a  b  a  c  abc   a  b  c   a  c  b   b  c  a  abc  1  a  b  c  a  c  b  b  c  a   BH BD  HD 5  2cm  tan B  a b c a b c   3 3 b  c  a a  c  b a  b  c b  c  a a  c  b a  b  c Mà p a b c b) p   a  b  c      S 2S 2S 2S 1 1 1 1         S 2S 2S 2S hb hc r p a b c 2 2S  a  2S  b  2S  c  c)           b  2S  c  2S  a  2S  r a b c 2S a b2 c2        2 p b c a r b c a a a2 2 a  b 2ab   b 2a  2a  b b b Ta có : b2 c2 2b  c, 2c  a a Tương tự : c a b2 c    a  b  c 2 p b c a Cộng lại ta có Bài 18 sin B  sin C 2sin A  b  c 2a 18 cos A  b2  c  a  2bc b2  c 2 2 b  c  cos 60 2bc 4bc b2  c2  Bài 19 4 3 4 4  43   43  4 3 a  b c  c  a  b  a  b  3a b  a  b      4 4 2  43  4 4 3 a  b  3a b  a  b  a  b  2a b a b   a  b  2a 2b  a  b   c  a  b a2  b2  c2 C   C 90 2ab Mà cos Bài 20 S2  p  a  p  b  p  c a  b  c 36 36 p p 36 2  p  b  p  c  p  c  p  a   p  a   p  b p  p  b   p  c   p  b  p  c  a Ta có :  p  b   p  c   p  c   p  a   p  a   p  b  abc   p 8p 9abc  a  b2  c    a  b  c   a  b  c  9abc a b c 2 Mà a  b  c ab  bc  ca   a  b  c   ab  bc  ca  9abc 2  a  b  c   b  c  a   c  a  b  0  a b c 2 2 Vậy tam giác ABC có a  b  c 36r tam giác ABC 19 20