Gt11 c4 full tn vd giới hạn liên tuc

GIỚI HẠN A - LÝ THUYẾT CHUNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa  un  có giới hạn n dần đến dương vô  Định nghĩa 1: Ta nói dãy số  lim un 0 lim un 0 un  , số hạng cực viết n   viết tắt dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở u Định nghĩa 2: Ta nói dãy số  n  có giới hạn số thực a n dần đến dương vô cực viết lim  un  a  0 lim un a n   , viết tắt lim un a un  a , n   Một vài giới hạn đặc biệt 1 lim 0 lim k 0 n n a) ; với k nguyên dương n q 1 b) lim q 0 c) Nếu un c ( c số) lim un lim c c II Định lý giới hạn hữu hạn Định lý 1: lim un a , lim b a) Nếu lim  un   a  b  lim  un   a  b  lim  un  a.b  u a lim n  b (nếu b 0 )  b) Nếu un 0 với n lim un a a 0 lim un  a III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 , u2 , u3 , .un , có cơng bội q với q  gọi cấp số nhân lùi u S u1  u1q  u1q   1 q vô hạn Tổng S cấp số nhân là: Cấp số nhân vơ hạn IV Giới hạn vô cực Định nghĩa:  u Ta nói dãy số  n  có giới hạn  với số dương tùy ý, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi lim  un   lim(un )  un   ta viết u Ta nói dãy số  n  có giới hạn   với số âm tùy ý, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm lim  un    lim un   un    Khi ta viết Một vài giới hạn đặc biệt k a) lim n  với k nguyên dương  n b) lim q  q  Định lý 2: a) Nếu lim un a lim  lim un 0 lim un a  , lim 0  với n lim un  lim a  lim  un   c) Nếu b) Nếu lim un  V Một số lưu ý: Khi làm tập trắc nghiệm, ta làm tập tự luận, sau tính tốn chọn kết phù hợp với u cầu tốn Ngồi sử dụng nhận xét để có kết nhanh chóng, xác Có số tập nhận xét nhanh để loại trừ phương án không phù hợp GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định lý: lim f  x  L lim g  x  M a) Giả sử x  x0 x  x0 Khi đó: lim  f  x   g  x   L  M  x  x0 lim  f  x   g  x   L  M  x  x0 lim  f  x  g  x   L.M  x  x0 f  x L lim  x  x0 g  x  M  (nếu M 0 ) f x 0 x  J \  x0  x b) Nếu   với , J khoảng chứa lim f  x   L L 0 x  x0 Một vài giới hạn đặc biệt lim x k  x    với k nguyên dương k lim x    x   k số lẻ k lim x   x   k số chẵn Một vài quy tắc giới hạn vô cực Định lý giới hạn tích thương hai hàm số áp dụng hàm số có giới hạn hữu hạn Sau số quy tắc tính giới hạn tích thương hai hàm số hai hàm số có giới hạn vô cực Nếu lim f  x  L 0 x  x0 lim g  x   x  x0 lim  f  x  g  x    (dấu “+” hai giới hạn dấu dấu “- “ hai giới hạn khác dấu x  x0 lim f  x 0 g  x lim g  x  f  x x  x0 x  x0 (dấu “+” hai giới hạn dấu dấu “-“ hai giới hạn khác dấu Các quy tắc áp dụng cho trường hợp : x  x0 , x  x0 , x   x    HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số liên tục điểm Định nghĩa: Giả sử hàm số y  f  x gọi liên tục f  x x x0 Hàm số không liên tục x  K Hàm số xác định khoảng K lim f  x   f  x0  x  x0 x x0 gọi gián đoạn x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn Hàm số y  f  x liên tục khoảng liên tục điểm khoảng y  f  x a; b  a, b  Hàm số gọi liên tục đoạn  liên tục khoảng  lim f  x   f  a  lim f  x   f  b  x b x  a  ; Một số định lý Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục tập  Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức) hàm số lượng giác y sin x , y cos x , y tan x , y cot x hàm số liên tục tập xác định chúng Định lý Giả sử a) Các hàm số y b) Hàm số y  f  x y g  x  y  f  x  g  x f  x g  x , liên tục hai hàm số liên tục điểm y  f  x  g  x y  f  x  g  x  x0 Khi đó: liên tục điểm x0 g  x0  0 f x a; b  f a f b 0 Định lý Nếu hàm số   liên tục đoạn      tồn c   a; b  f c 0 điểm cho   x0 B - BÀI TẬP n lim un biết Câu Tìm A  lim un biết Câu Tìm A  un  n k B   k 1 C D C D un  2    n dau can B    1  S        n     Câu Tìm giá trị A 1 B C 2 D C D Không có giới C D  1  lim      1.2 2.3 n  n  1   Câu Tính giới hạn A B   1 lim      1.3 3.5 n  2n  1   Câu Tính A B  1  lim      1.3 2.4 n  n  2   Câu Tính giới hạn: A B C D  1  lim     n(n  3)   1.4 2.5 Câu Tính giới hạn 11 A 18 B D C   1   lim                 n  Câu Tính giới hạn: 1 A B C Câu Tính giới hạn dãy số A  un (1  B   D 1 n(n  1) )(1  ) (1  ) T  T1 T2 Tn n : C D Câu 10 Tính giới hạn dãy số A  un  B   23  33  n3  23  33 1 n3  : C D n Câu 11 Tính giới hạn dãy số A  B   2k  2k : k 1 un  C D n k 1 n  k : C D n Câu 12 Tính giới hạn dãy số A  B   un  2 n q 1 Câu 13 Tính giới hạn dãy số un q  2q   nq với : q A  Câu 14 Biết A 33 lim B   C 1 q q D 1 q 13  23  33   n3 a   a, b    2 n3  b Giá trị 2a  b là: B 73 C 51 D 99 Câu 15 Tính giới hạn dãy số A  B   Câu 16 Tính giới hạn dãy số A  B   Câu 17 Cho số thực a,b thỏa A  un  1    1 2 ( n  1) n  n n  : D C un  (n  1) 13  23   n3 3n3  n  : C a  1; b  B   Tìm giới hạn 1 b C  a D I lim  a  a   a n  b  b   b n D u0 2011   un3 u  u  n lim  n 1 un2 (u ) n Câu 18 Cho dãy số n xác định bởi:  Tìm A  B   C D Câu 19 Cho dãy số lim un 1 A  un   u1 3  n  u  nu  n    lim un  n  n xác định  Tính B lim un 4 C lim un 3 D lim un 0  u1   un 1  , n 1  un  Câu 20 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:  Tìm kết lim un A B C  D u Câu 21 Cho dãy số  n  u2018 7  A u1 2   u  un   , n    n 1   u n u thỏa mãn  Tính 2018 u 2 B 2018 C u2018 7  D u2018 7    x1  , xn 1  xn2  xn ,n 1 ( x ) Câu 22 Cho dãy số n xác định Đặt Sn  1    x1  x2  xn  Tính lim S n A  Câu 23 Cho dãy Tìm B   ( xk ) xác định sau: D C xk  k    2! 3! ( k 1)! n n n lim un với un  n x1  x2   x2011 A  Câu 24 Cho dãy B   ( xk ) xác định sau: C 1 xk  2012! D 1 2012! 1 2012! k    2! 3! ( k 1)! n un  n x1n  x2n   x2011 lim u n Tìm với A  B   C 1 2012! D f  n  a n   b n   c n  n  * Câu 25 Cho hàm số với a, b, c số thỏa mãn a  b  c 0 Khẳng định sau đúng? lim f  n   lim f  n  1 lim f  n  0 lim f  n  2 x   B x   C x   D x   A  Câu 26 Cho a, b  å , (a, b) 1; n   ab  1, ab  2,  Kí hiệu  rn số cặp số (u, v)  å å rn  cho n au  bv Tìm n  n ab lim A  B   C ab D ab  Câu 27 Cho dãy số (un ) xác định u1 3, 2un 1 un  với n 1 Gọi S n tổng n số hạng đàu tiên dãy số (un ) Tìm lim Sn A lim S n  C lim S n 1 Câu 28 Cho dãy số (un ) xác định lim un u1 1, u2 2, un 2  B A  B lim S n   D lim S n  un 1  un với n 1 Tìm C D u u1  , un 1 un2  n với n 1 Tìm lim un Câu 29 Cho dãy số (un ) xác định 1 lim un  lim un  A C B lim un 0 D lim un  Câu 30 Cho dãy số (un ) xác định u1 1, un1 un  2n  với n 1 Khi A  B C D lim un 1 un un 1  un Câu 31 Cho dãy số (un ) xác định với n 1 , a b số thực cho trước, a b Tìm giới hạn (un ) a  2b 2a  b lim un  lim un  B lim un b A lim un a C D u1 a, u2 b, un 2  4n  n  an  , a tham số Để (un ) có giới Câu 32 Cho dãy số (un ) với hạn giá trị tham số a là? A -4 B C D un  Câu 33 Tìm hệ thức liên hệ số thực dương a b để: lim( n  an   n  bn  3) 2 A a  b 2 B a  b 2 C a  b 4 3 Câu 34 Tìm số thực a b cho lim(  n  a n  b) 0 a  a 1 a     A b 0 B b 0 C b  D a  b 4 a 0  D b 1 n 3n  9n uk uk    nu ( u ) k  n  k  n Câu 35 Cho dãy số n Biết với Tìm A B C D  n   32   3k 5k  k 1 Câu 36 bằng: 17 A B 100 n lim  17 C 200 D GIỚI HẠN HÀM SỐ a0 x n   an  x  an A  lim , (a0 , b0 0) x   b x m   b m  x  bm Câu 37 Tìm giới hạn A  B   C D Đáp án khác x  5sin x  cos x x2  Câu 38 x   bằng: A   B D  lim C Câu 39 Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để giới a b   lim    x  x  x  x  x   hữu hạn: hạn: A a  4b 0 B a  3b 0 C a  2b 0 D a  b 0 x4  a4 lim Câu 40 Cho a số thực khác Kết x a x  a bằng: 3 3 A 3a B 2a C a D 4a C lim x Câu 41 Cho A m 2 x  mx  m  ,m x2  tham số thực Tìm m để C 2 B m  C m 1 D m  x  ax  b 6 Câu 42 Cho a b số thực khác Nếu x  x  a  b bằng: A B  C  D lim lim Câu 43 Giới hạn x A x   x 1 a x  x  b (phân số tối giản) Giá trị a  b B C  D 8 x  11  x  m m  x  3x  n n phân số tối giản, m n số Câu 44 Biết x  nguyên dương Tổng 2m  n bằng: A 68 B 69 C 70 D 71 lim x   27 x  54 m  , x x     x  3x  18 n m Câu 45 Biết n phân số tối giản, m n số nguyên dương Khi 3m  n bằng: A 55 B 56 C 57 D 58 lim Câu 46 Cho a , b , c số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a , b , c để ax  b x  5 x   cx  lim a  3b 5 c A a  3b  B c a  3b 5 c C a  3b  c D  x  3x 1  lim    ax  b   0, a x    cx   Câu 47 Cho a b tham số thực Biết b thỏa mãn hệ thức hệ thức đây? A a  b 9 B a  b  C a  b 9 D a  b  1 1 lim    x a x a   x  a  Câu 48 Cho a số thực dương Tính giới hạn  A a B  C   D không tồn   n lim    n x 1  x 1 x   Câu 49 Cho n số nguyên dương Tính giới hạn n n n 1 n2 A B C D lim( k  ) x x  Câu 50 Tìm tất giá trị tham số thực k cho giới hạn x  hữu hạn A k 2 B k 2 C k  D k  n Câu 51 Tìm giới hạn A   ax  ( n  *, a 0) x x : a B   C n B lim n Câu 52 Tìm giới hạn A  A lim m x A  B   N lim x m Câu 54 Tìm giới hạn A  x m Câu 55 Tìm giới hạn A  x am bn D a b  C m n a b  D m n  an  bm  mn C D a b  C m n a b  D m n  ax  n  bx 1 x  : B   G lim 1 am C bn  ax  n  bx x : B   N lim n a  ax  1  bx  với ab 0 : m Câu 53 Tìm giới hạn D 1  ax n  bx  x : B  