GIỚI HẠN LIÊN TỤC

Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 GIỚI HẠN_LIÊN TỤC GIỚI HẠN 1.1 Một số điều cần nhớ  f  x  tồn giới hạn tiến tới x0 nếu: lim f  x   lim f  x  x  x0 x  x0  Bước tính giới hạn thay cận vào biểu thức tính giới hạn  Sau tùy xem giới hạn dạng thường hay dạng vô định để xử lý  Không tồn giới hạn tiến vô hàm lượng giác: sin, cos, tan, cot  Một số giới hạn thường   : lim x      : lim x   0; lim ln x   lim ln x   x  x  lim arcsin x   x 1 1.2   x   a  1: lim a x  ; x  lim a x   x  lim arccot x   lim arccot x  x  lim arccos x  x 1 x  lim arccos x   x 1 Các dạng vô định  ;  Nhóm sơ cấp 1:  Nhóm vơ định dạng lũy thừa mũ: 1.3 x  x  x 0 lim arctan x   x  a  1: lim a x   ; lim a x  0  ; 0. ;  1 ; 0 ; 00 Các giới hạn vô định thường dùng: u  u  x   x   sin x tan x arcsin x ln 1  x  ex 1  ; lim  ; lim  ; lim  ; lim 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x lim sinu tanu arcsin u ln 1  u  eu   ; lim  ; lim  ; lim ;  lim 1 x0 u x 0 u x 0 x 0 x 0 u u u lim 1.4 Các cách xử lý thông dụng tính giới hạn 1.4.1 Chia  Chia cho lũy thừa to  x    Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 L1  lim x   4x  3x     5x   2x 2  1 x  4x 1 x x2 L3  lim  x  1 x  3x   x3 L2  lim x   x  3x e3 x  x  2.arctan x x  x  3.arc cot(2  x) L4  lim  Chia cho nghiệm  x  a  L5  3x  lim x 1  x  1  x  1 L6 x  lim x2  5x2  8x  4 x  x  2 1.4.2 Nhân liên hợp L7  lim x 0  x2   x2 1 x  1 x L8  lim x   x  3x   x 1.4.3 Tách giới hạn phức tạp thành (tổng_tích) tan x  x x 0 x4 L9  lim 1.4.4 Ứng dụng VCB tương đương Các cặp vô bé thường dùng x  : sin x ~ x ; tan x ~ x ; arcsin x ~ x ; ln 1  x  ~ x ;  e x  1 ~ x u  : sinu ~ u ; tanu ~ u ; arcsinu ~ u ; ln 1  u  ~ u ;  eu 1 ~ u L10  lim x 0 sin  x   x x sin x x arcsin L12  lim x 0   L11  lim  Cot 2 x   x 0 4x    x3 ln 1  x  L13  lim x 3 sin  x  x   ln  x3  26  1.4.5 Phương pháp Lopital e x   Cos x  L14  lim x 0 x2 L16  lim x 0 L15  lim ln x ln 1  x  x 1 ln 1  3arctan x  sin 3x  sin 3x   2arcsin 3x e2 x  3sin x  cos3x  2sin x   cos x  L18  lim x 0 x3 sin x  Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 x  L19  lim ln 1  tan x   x x 0 e 2 x   tan  2 x  sin tdt L17  lim x 0  ln   cos t  dt 1 cos3 x 2x L20  lim x 0  e t2   dt x 1.4.6 Phương pháp Logarit giới hạn hàm lũy thừa mũ  tan  sin x   x2 L21  lim   x 0 x   1  L22  lim  sin  cos  x  x x  cot x L23  lim  tan x  x 0 L24  lim  x  2 1.5   x  3x  x  5x  x L  lim e 3 x  x 26 L25  lim  x 0  x 0   x x x  x3  x   1 x sin  2 x  Một số giới hạn khác  L27  lim sin x   sin x  x   L28  lim x  L29  lim e x sin  2 x   3e x cos  2 x  x  x x   cos x x3  x  L30  lim   x2e2 x  xe2 x  3e2 x  x  Trong trình x  , hai VCB sau có tương đương khơng? x6  1  9sin t  t dt sin x 1.6 Một số giới hạn đề K57 L31  lim  x cot x  1  L32  lim   cot 3x  x 0 x 3x   x x 0  L34  lim x  cos3 x x 0 L37  lim  sin x 1  L35  lim  x  sin x  x      ln  4arcsin x  2arcsin x x 0 tan x LIÊN TỤC 2.1 Điều kiện liên tục f  x  có MXĐ: D  cot x   x ln  L33  lim  x  x 0  x ln   x  L36  lim e  sin x x  3x L38  lim sin  x  2  ln   x  x 3 x2  x Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 f  x  liên tục x0  D thỏa mãn điều kiện: lim f  x   f  x0   lim f  x   lim f  x  x  xo x  x0 x  x0 f  x  gọi liên tục phải x0 nếu: lim f  x   f  x0  x  x0 liên tục trái x0 nếu: lim f  x   f  x0  x  x0 2.2 Xét liên tục hàm số (1) f  x   x có liên tục điểm x  ? 1 x 1  2016 x   x sin có liên tục tồn miền xác định? (2) f  x    x  x   (3) Xét liên tục hàm số  1 cos x  x   f  x    e  2.3 x  điểm x0  x  Tìm tham số thỏa mãn điều kiện hàm số liên tục 5 x    x  3 arctan (4) f  x    x 3  k x   2.4 Hàm số sau có liên tục x  không (5) f  x   x 1 1 2 x Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 ĐẠO HÀM_VI PHÂN ĐẠO HÀM 1.1 Định nghĩa đạo hàm: f '  x0   lim 1.2 Bảng đạo hàm x  x0 y  f  x  ; y  f   x  f  x   f  x0  f  x0  x   f  x0   lim x 0 x  x0 x y  f  u  ; u  u  x  ; y  u  x  f   u  C  x a   ax a1    u   au  x   x  u   2uu    x    x2   a x   a x ln a u    u    u2      e   e x a 1 u x  log a x    ln x   a x ln a x  sin x   cos x  cos x    sin x  tan x     tan x cos2 x  cot x       cot x sin x  arcsin x    x2  arccos x     x2  arctan x   1 x2  arc cot x    1 x Quy tắc tính đạo hàm: u  u  x  , v  v  x  hàm số khả vi   Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298  ku   ku ,  u  v   u  v ,  u    e    v ln u  e v 1.3 v ln u v ln u  uv   uv  vu ,  u  uv  vu  v   v2 ,     v ln u  uv Sử dụng định nghĩa, tìm cơng thức đạo hàm hàm số sin x ; cos x; tan x ; arcsin x ; a x ; ln x ; log a x 1.4 Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm điểm (1) Cho hàm số f  x   x Hãy chứng minh hàm số liên tục x  1 x 1 khơng có đạo hàm điểm (2) Hàm số f  x    x  1 arctan  x  1 có đạo hàm x  hay khơng? Giải thích (3) Chứng minh hàm số sau liên tục khơng có đạo hàm x   arctan x f  x      1.5 x  x  Đạo hàm hàm bổ sung, phân rã MXĐ 4 x  3   x  3 cos (1) f  x    x3  x  3  5 x    x   arctan (2) f  x    x2  x   tính f '  x  Tính f '   (3) Tính đạo hàm hàm số y  f  x   x   x  (4) f  x   x  sin  x  1 Liệu có tồn f ' 1 ? (5) Hàm số sau có khả vi x hay khơng? Tính f '  x  tồn f  x   x  ln  x   3   3x  12  sin (6) Cho hàm số: f  x    2x    x  4 x  4 Hãy tìm hàm số f   x  Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 1.6 Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số (1) y   x  3 3x  1 (4) y  e 3 x  x  1 (2) y  x  x  1 (5) y  e   e t  1dt t x  (7) y  2  x   arccos  x  x  x 2 3 x (10) y  1.7  x 1 x  1 arctan x  x    x 2 x  (6) y     2t dt      x x (9) y  0 (3) y  (8) y   x  1 x 2  t dt  x  x2  x x2  x  x arctan    x arctan  ln x     1     4   Ứng dụng phân tích kinh tế 1.7.1 Hệ số co giãn a Một doanh nghiệp độc quyền đứng trước đường cầu D :Q D  100  p Tính hệ số co giãn cầu theo giá mức giá p  10 giải thích ý nghĩa b Một cơng ty độc quyền có hàm doanh thu biên MR  200  Q Xác định hệ số co giãn cầu theo giá sản phẩm mức giá p = 50 giải thích ý nghĩa c Cho hàm cung và hàm cầ u thi ̣trường của hàng hoá là: Qs  p2  50; Qd  35  0,6 p2  0,01M Trong đó M là thu nhâ ̣p dành cho tiêu dùng, cho M = 100 hãy xác đinh ̣ giá cân bằ ng p  và lươ ̣ng cân bằ ng Q của thi ̣trường Tin ́ h ̣ số co dañ của giá cân bằ ng theo thu nhâ ̣p M ta ̣i M = 100 và cho biế t ý nghiã kinh tế của nó d Giả sử hàm cầ u của người tiêu dùng đố i với mô ̣t loa ̣i sản phẩ m là D  600  0, 02 p Hãy tính ̣ số co dan ̃ của cầ u theo giá ta ̣i mức giá p  100 và giải thích ý nghiã kế t quả nhâ ̣n đươ ̣c? Xác đinh ̣ mức giá p để ̣ số co dañ của cầ u theo giá bằ ng -1 e Hàm cầ u và hàm cung của người tiêu dùng đố i với mô ̣t loa ̣i sản phẩ m lầ n lươ ̣t là Qd  54  p ; Qs  p2  10 Go ̣i p0 là mức giá thi trươ ̣ ̀ ng cân bằ ng, tính ̣ số co dãn của hàm cung và hàm cầ u ta ̣i p0 và nêu ý nghiã Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 f Cho hàm cung và hàm cầ u sau Qs  p  50 ; Qd  135  p2 Go ̣i p0 là mức giá thi trươ ̣ ̀ ng cân bằ ng, tiń h ̣ số co dañ của hàm cung và hàm cầ u ta ̣i và nêu ý nghiã g Biết hàm tổng chi phí TC  5000  5Q2 , Q sản lượng Tính hệ số co giãn Q3 TC theo Q Q = 17 giải thích ý nghĩa kinh tế kết nhận 1.7.2 Một số hàm số kinh tế: a Một doanh nghiệp có hàm chi phí biên MC  Q   25  30Q  9Q a.1 Tìm hàm tổng chi phí TC  Q  doanh nghiệp, biết chi phí cố định FC  55 a.2 Xác định hàm chi phí biến đổi bình qn AVC  Q  b Cho hàm doanh thu biên doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại hàng hóa: MR  Q   40  0, 45Q2 Tìm hàm tổng doanh thu hàm cầu hàng hóa doanh nghiệp c Một doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC cho theo mức sản lượng Q sau: TC  20Q3  44Q  60Q  70 (1) Viết hàm chi phí cận biên MC hàm chi phí bình qn AC, tính MC(5) cho biết ý nghĩa số (2) Tính hệ số co giãn TC theo Q mức sản lượng Q = nêu ý nghĩa 1.7.3 Bài toán tối ưu sản xuất a Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên MR  300  Q hàm tổng chi phí TC  2Q  30 Tìm mức sản lượng mà doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận b Ước lươ ̣ng hàm sản xuấ t của công ty có da ̣ng Q  90 L  L   biế t giá sản phẩ m bằ ng 3, giá thuê đơn vi lao ̣ đô ̣ng bằ ng và chi phí cố đinh ̣ là 100.000 Xác đinh ̣ mức sử du ̣ng lao đô ̣ng L để công ty đa ̣t lơ ̣i nhuâ ̣n tố i đa Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 c Giả sử doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm có hàm cầu Q  200  0,5 p hàm tổng chi phí TC  Q3  6Q  180Q  500 Tính hệ số co giãn điểm p0 mà doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận d Cho hàm cầu thị trường sản phẩm nhà sản xuất độc quyền Q = 80 – 0,2p Hàm chi phí cận biên nhà sản xuất mức sản lượng Q MC = 3Q2-20Q+200 Tính hệ số co dãn cầu theo giá mức giá p0 mà doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa nêu ý nghĩa kinh tế kết e Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm thị trường có hàm cầu Q  40  p Biết hàm sản xuất ngắn hạn doanh nghiệp có Q = 9L giá thuê đơn vị lao động $9 Tại mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa tăng đơn vị lao động sản lượng thay đổi xấp xỉ đơn vị? f Hàm cầu thị trường sản phẩm hãng độc quyền có dạng p  1400  4Q (1) Tính hệ số co giãn cầu theo giá mức giá p  80 nêu ý nghĩa (2) Biết hàm chi phí sản xuất hãng TC  Q3  7Q  80Q  844 , xác định mức sản lượng mang lại lợi nhuận tối đa cho hãng Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG 1.1 Dạng 1: Sử dụng định nghĩa a) Cho hàm số w  f  x, y   x2 y  Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm riêng hàm số f(x,y) điểm (1;3) 3x  xy b) Cho hàm số w  f ( x; y )  Tính đạo hàm riêng f x 1;  f y 1;  y2 định nghĩa c) Cho hàm số w  f  x, y   y 3  x Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm riêng hàm số f(x,y) điểm (2;1) d) Tính đạo hàm riêng điểm (0;3) hàm số 2y 1   x, y   : x   x y  arctan x w   x; y   : x   1.2 Dạng 2: a) Tính đạo hàm riêng hàm số: w   x  y  f  x  y   y b) Cho f , g hàm khả vi, tính wx ; wy biết: w   x  y  f  x  y   e xy g   x c) Tính đạo hàm riêng hàm số w  3x  xy  y  x  y  d) Tính đạo hàm riêng hàm số w  f  x; y; z    ax  (a số thực > 0) yz  3y   x  e) Cho f , g hàm khả vi hàm số w   x  y  f   x g   x y  4y  Tìm biểu thức: x w w y x y f) Cho hàm số f  x  khả vi với x f   1  1; f   1  Xét hàm số w   x  y  f  x  y  Hãy tìm đạo hàm riêng cấp 2: 2w  0; 1 xy g) Cho f  u  hàm khả vi z  xf  x  y  Chứng minh rằng: z z z   x x y y x h) Tính đạo hàm hỗn hợp cấp hàm số w  f  x; y; z    y  i) Cho hàm số z  f  x  y; x  y  Tính zxx  zyy  zxy với u  x  y; v  x  y xz j) Cho hàm số f  x; y   x y  xy Tính giá trị 10 Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298  f x  x  y; x  ;  f  x  y; x   x k) Cho hàm số w  x; y; z   e3 x y  5zx  y x  Hãy tính wzx  1;2;0  x y l) Cho hàm số w  f  x; y  khả vi Xét hàm số u  f  ,tan  Cmr x y u u y 0 x y n) Cho hàm số f  u; v  có f 1;0   fu 1;0   2; fv 1;0   1 hàm số m) x y yx  w  x y f  ;sin  Hãy tính wx  2;2  2x  y  x 1.3 Dạng 3:  xy  x  y   x  y  a) Cho hàm số f  x; y    x  y  x  y   Tính f xy  0;0   x3  y x  y   2 b) Cho hàm số f  x; y    x  xy  y Ttính f x  x; y   x  y    x3  xy  y  2 c) Cho hàm số f ( x, y )   x  y x  y  0 x  y   ' ' Tính f x  0,0  f y  0,0   x2  y3 x  y   d) Cho hàm số f  x, y    y  3x  x  y   Tính f ' y  x; y  2  5 xy10 x  y   e) Cho hàm số f ( x, y )   x  y 0 x  y   '' Hỏi f xy  0,0  có tồn k? VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số sau  3x5  z  a w     2y  c w   y  3arc cot x  b w  f  x; y; z    5x  sin y d z   5x2   y 11 3 x  y yz Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 CỰC TRỊ CỰC TRỊ TỰ DO a Tìm trị hàm số (1) u  3x  y  z  xz  x  y  15 (2) w  3x  y  11z  xz  12 x  12 y  20 z  (3) w  2 x  y  3z  xz  y  z  (4) w   x  y  z  yz  x  z  b Tìm cực trị hàm số (1) z  y  xy  x  15 (2) z  y  12 xy  y  11 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN a Sử dụng phương pháp Lagrange, tìm cực trị z  x  3xy  y  30 với điều kiện x  y  12 b Tìm cực trị hàm số z  3x  xy  y  18 điều kiện: 4 x  y  30 1 1 điều kiện:    x y x y 2 d Tìm cực trị hàm số w  x  y  3z với điều kiện x  y  3z  c Tìm cực trị hàm số: z  ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ HÀM SẢN XUẤT Q  f  K; L Hiệu sản xuất: Hiệu suất giảm theo quy mô: t  Q*  f  tK ; tL   tQ  tf  K ; L  Hiệu suất không đổi theo quy mô: t  Q*  f  tK ; tL   tQ  tf  K ; L  Hiệu suất tăng theo quy mô: t  Q*  f  tK ; tL   tQ  tf  K ; L  Sản phẩm cận biên: Theo lao động: MPPL  Q  QL  f L L 12 Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 Ý nghĩa: Cho biết sản lượng tăng thêm đơn vị giữ nguyên đầu vào K tăng sử dụng L lên đơn vị Theo tư bản: MPPK  Q  QK  f K K Ý nghĩa: Cho biết sản lượng tăng thêm đơn vị giữ nguyên đầu vào L tăng sử dụng K lên đơn vị Bài tập Mô ̣t doanh nghiê ̣p có hàm sản xuấ t Q  K  L Hãy tính sản phẩ m hiê ̣n vâ ̣t câ ̣n biên của tư bản và lao đô ̣ng ta ̣i mức L  16; K  và giải thić h ý nghiã 2 Doanh nghiệp có hàm sản xuất : Q  10 K L tính sp vật cận biên tư lao động K = 27, L = 25 Giải thích ý nghĩa kinh tế 3 Cho hàm sản xuất Q  65 K L : a Tính sản phẩm vật cận biên theo vốn lao động mức K = 64, L = 125 cho biết ý nghĩa kinh tế b Nếu giá đơn vị tư K 16$ giá đơn vị lao động L 7$ doanh nghiệp sử dụng yếu tố đầu vào mức k = 64, L = 125 doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị tư hay đơn vị lao động ngày? Vì sao? Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  f  K ; L   100 K 0,3 L0,8 Doanh nghiệp có mức hiệu sản xuất nào? Vì sao? Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  f  K ; L     K  L Doanh nghiệp đạt mức hiệu sản xuất nào? Giải thích ý nghĩa CÁC BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA Loại I Giả sử hàm tổng chi phí doanh nghiệp cạnh tranh là: TC  7Q12  2Q22  5Q1Q2 Biết giá sản phẩm tương ứng p1  65, p2  45 ; định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí: TC  Q12  2Q1Q2  Q22  40 Cầu thị trường xác sản phẩm sau: Q1  35  0,5 p1 ; Q2  40  p2 Hãy chọn mức sản lượng kết hợp giá bán cho lợi nhuậ tối đa Tại điểm tối đa hóa lợi nhuận, giả sản phẩm tăng 3% cầu sản phẩm thay đổi nào? 13 Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 Một doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất kết hoạp loại sản phẩm với hàm tổng chi phí kết hợp” TC  Q12  2Q22  Q32  Q1Q3  2Q2Q3 Hãy chọn kết hợp sản lượng cho lợi nhuận tối đa giá sản phẩm p1  20$, p2  28$, p3  26$ Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất hai mặt hàng với hàm tổng chi phí kết hợp TC  Q12  Q22  2Q32  Q1Q2  Q2Q3  500 Hãy tìm mức sản xuất loại hàng hóa để doanh nghiệp tối đa lợi nhuận giá thị trường mặt hàng p1  12 USD  ; p2  11USD  ; p3  11USD  Mô ̣t doanh nghiê ̣p ca ̣nh tranh thuầ n tuý sản xuấ t loa ̣i sản phẩ m có hàm chi phí 3 kế t hơ ̣p: TC  Q 21  Q 2  Q 23  2Q1Q2  Q1Q3 đó Qi là lươ ̣ng sản phẩ m 2 i  i  1, 2,3 Hãy cho ̣n mức sản lươ ̣ng kế t hơ ̣p  Q1 , Q2 , Q3  để doanh nghiê ̣p thu đươ ̣c lơ ̣i nhuâ ̣n tố i đa giá các sản phẩ m là p1  p2  26$ , p3  19$ Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán hai thị trường (được phân biệt giá) Cho biết hàm chi phí cận biên: MC  3,  0, 05Q  Q  Q1  Q2  Và cầu thị trường sản phẩm: Thị trường 1: p1 = 24 - 0,15Q1 Thị trường 2: p2 = 18 – 0,075Q2 Xác định giá bán, sản lượng thị trường để cơng ty tối đa hóa lợi nhuận Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán hai thị trường (được phân biệt giá) Cho biết hàm chi phí cận biên: MC  10,5  0,1Q  Q  Q1  Q2  Và cầu thị trường sản phẩm: Thị trường 1: p1 = 72 - 0,3Q1 Thị trường 2: p2 = 54 – 0,15Q2 Xác định sản lượng, giá bán thị trường để công ty tối đa hóa lợi nhuận Loại II Mơ ̣t doanh nghiê ̣p hoa ̣t đô ̣ng thi ̣ trường ca ̣nh tranh có hàm sản xuấ t là Q  K 0,5 L0,4 Biế t rằ ng giá thuê đơn vi ̣tư bản, giá thuê đơn vi ̣lao đô ̣ng và giá bán sản phẩ m tương ứng là wK  2; wL  4; p  a Tìm mức sử du ̣ng các yế u tố đầ u vào của sản xuấ t để lơ ̣i nhuâ ̣n doanh nghiê ̣p tố i đa biế t rằ ng kế hoa ̣ch sản xuấ t của doanh nghiê ̣p là sản xuấ t 20.000 sản phẩ m b Nế u doanh nghiê ̣p tăng sản xuấ t thêm 1%, không giải la ̣i bài toán ước lươ ̣ng mức lơ ̣i nhuâ ̣n tố i đa của doanh nghiê ̣p tăng thêm? Cho hàm lơ ̣i ić h của hô ̣ gia điǹ h tiêu dùng loa ̣i hàng hoá U  10 x 0,6 y 0,4 đó x là lươ ̣ng hàng hoá thứ nhấ t, y là lươ ̣ng hàng hoá thứ Trong điề u kiê ̣n giá của hàng hoá thứ nhấ t là 10$, giá của hàng hoá thứ là 3$ và thu nhâ ̣p dành cho tiêu dùng là 3000$ Haỹ xác đinh ̣ cấ u tiêu dùng tố i đa hoá lơ ̣i ić h và xác đinh ̣ mức lơ ̣i ić h tố i ưu tăng thêm lươ ̣ng tiề n dành cho tiêu dùng tăng 1$ 14 Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 Cho hàm lợi ích loại hàng hóa U   x  5 y Hãy xác định túi hàng chi phí tối thiểu đảm bảo mức lợi ích U  224 điều kiện giá đơn vị hàng hóa thứ nhất, thứ 3 Cho hàm lơ ̣i ích U  20 x y với x,y lầ n lươ ̣t là lươ ̣ng cầ u của hàng hóa và hàng hóa Biế t giá mỗi đơn vi ̣hàng hóa lầ n lươ ̣t là $8 và $4 Hãy tìm lươ ̣ng cầ n x,y để người tiêu dùng tố i thiể u hóa chi tiêu của mình với lơ ̣i ić h không đổ i là 400 Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 120K0,7.L0,4 Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất cho doanh nghiệp phải bỏ chi phí nhỏ sản xuất Q0 = 4000 đơn vị sản phẩm, cho biết giá thuê tư lao động wK = 16, wL = 14 Nếu sản xuất thêm 1% sản phẩm chi phí tối thiểu thay đổi nào? 3 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  90 K L Với giá thuê đơn vị tư $12, giá thuê đơn vị lao động $10, xác định mức sử dụng K,L để doanh nghiệp đạt sản lượng tối đa biết ngân sách dành cho sản xuất $1680 Nếu ngân sách dành cho sản xuất tăng thêm đơn vị sản lượng tối đa thay đổi xấp xỉ bào nhiêu đơn vị? Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  20 K L Giả sử giá thuê đơn vị tư $10, giá thuê đơn vị lao động $8 doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định $320 Tìm mức sử dụng lao động tư để doanh nghiệp có sản lượng cực đại Khi ngân sách sản xuất tăng 3% sản lượng cực đại thay đổi nào? Cho biết hàm tiêu dùng: U = x0,4.y0,8 x lượng tiêu dùng hàng hóa thứ nhất, y lượng tiêu dùng hàng hóa thứ hai Hãy chọn túi hàng mang lại lợi ích tối đa cho người tiêu dùng điều kiện giá hàng hóa thứ $20, giá hàng hóa thứ hai $36 thu nhập dành cho tiêu dùng $2700 Để lợi ích cực đại tăng lên % thu nhập dành cho tiêu dùng cần thay đổi nào? Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán hai thị trường khác Cho biết hàm chi phí cận biên: MC  3,  0,1Q  Q  Q1  Q2  Và cầu thị trường sản phẩm: Thị trường 1: p1 = 24 - 0,3Q1 Thị trường 2: p2 = 18 – 0,15Q2 Xác định giá bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa 0,4 0,4 15 Hè 2016 Hồng Bá Mạnh _ 01667.126.298 TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Dạng 1: Phân thức a x d  x dx  a2 b   2x xdx dx   x   e  x b  cos dx  5x  dx  5  x  x  4x c xdx  5x2  f 2 Dạng 2: Lượng giác a  cos d  tan g  sin xdx xdx x cos3 xdx dx x dx e   sin x cos x dx h  cos x  sin x dx c  sin x  cos x f  sin  cos x  dx Dạng 3: Căn thức_Đổi biến_Biến đổi a x dx x4 1 3x   16 x dx d  x2 dx g  x j  4 x dx x   x  3 b  e  dx x2  x dx 1  x  2 h e k  dx  2e  x  arctan x dx 2 x 1 x   dx  x 1  3x  c 2 f x 3x  i x x  1dx l   x   ln  x   c e f   dx dx Dạng 4: Từng phần a   x 1 e d  x 1 dx ln  x   dx x2 b e   6x  2 cos  3x  dx arctan x  x dx 3 x  sin xdx x  x  e dx x x TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Công thức Newton-Leibniz:    ln 2 e x  e x dx dx x x  arctan x   f  x  dx  F  b   F  a  b a  3  x log3 x dx x3 3 1  x  2 16 dx F   x   f  x  3   3x  5 ln  x  1 dx  dx x2 3  x  Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 3x  x3    x  1 2016  dx 1 dx  2x  x  2 x dx x TÍCH PHÂN SUY RỘNG     10 1  dx x  3x  6dx  x  14 x  48 ln  2017  x  dx x2 13 0 e  x cos xdx  16 0 dx   x  1 ln   x  dx 1 x x2  5x  x   x  x e dx  11   dx x x2 1  14       12   dx  x  20  x  x   xdx x  20 x  26  3x   sin xdx hội tụ hay phân kì?? 17 dx x 3x  x  1 0 arc cot x dx x2 arctan x  dx x 1 2  x dx 4  x  2 15   x  1 e x 1dx Hè 2016 Hồng Bá Mạnh _ 01667.126.298 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN xy 1  y 2x  x 2 y y  xy  x y  3x y  x y  3x   y  y  y  x  1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHÂN LY BIẾN Dạng 1: phương trình dạng dy  f  ax  by  dx a y  sin  x  y  c b  y  x  1 dx   x  y  3 dy  d  y  x  3 dx   3x  y   dy  e y  8x  y  1 f 2 Dạng 2: phương trình dạng a  2 x  y  3 dx   x  y  1 dy  dy x  y  b dx x  y y  x  y dy  f  x; y  với f  x; y  hàm bậc dx 2  3x  y  dx   x  y  dy  c  x  xy  y  y  5x  2xy PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỒN PHẦN  xy   x3    2x   x y   dx   x y   y   dy   xy   dx   x   dy  y  y       y   x  y  ln  x  y  dx   x   x  y  ln  x  y  dy   3y  2x   x dx   y  xy  dy   x2 y  dx   y  x3 y  dy  xdx y  3x  dy  y3 y4 xydx   x  y  dy  0; y  1; x  THỪA SỐ TÍCH PHÂN ydx   x  y  dy   y2  x   3x3  dx   xy  y  dy 3   xydx   y  x2  dy  05 y cos xydx   y  xy cos xy  dy  06 18  3x  1 y  x  5y dy  xy  dx x  Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH x dy 2x    x  y   x  x  e 2 xy  y  x 2e x dx y  y    x  ex x dy  xy  dx x 1 y  y  x  y  x x x  3x  1 y  x  5y9 y  y   x  x   ln 3x x 1  3x   y  y  y  x  1 2x  y  2x  x  x  13 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI y y ln x  x x y y  xy  x y  y  y 2e x  y  y y  y  x  xy  y  x3 y xy  y  dy  y tan x  y  x   cos x dx y  3x y  x y 8x y 10  3y2  x  dx   y  xy  dy  dy  y tan x  y   cos x  dx 19 Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 PHỤ LỤC TÍCH PHÂN Bảng nguyên hàm  kdx  kx  C du  u ' dx  dx  x C x  du  u C u  x  dx   u  du   dx  ln x  a  C xa  du  ln u  C u  a x dx   a u du   sin xdx   cos x  C  sinu du   cosu  C  cos xdx  sin x  C  cosu du  sinu  C  tan xdx   ln cos x  C  tanu du   ln cosu  C  cot xdx  ln sin x  C  cotu du  ln sinu  C 10  11  12  x 1  C    1  1 ax C ln a dx  x2 dx x b  arcsin x  C   ln x  x  b  C  dx  arc tan x  C  x2  20 u 1  C    1  1 au C ln a du 1 u2 du u b  arcsinu  C  ln u  u  b  C du  arc tanu  C 1 u2 ... F   x   f  x  3   3x  5 ln  x  1 dx  dx x2 3  x  Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 3x  x3    x  1 2016  dx 1 dx  2x  x  2 x dx x TÍCH PHÂN SUY RỘNG    ...  sin 3x   2arcsin 3x e2 x  3sin x  cos3x  2sin x   cos x  L18  lim x 0 x3 sin x  Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 x  L19  lim ln 1  tan x   x x 0 e 2 x   tan  2... ln   x  L36  lim e  sin x x  3x L38  lim sin  x  2  ln   x  x 3 x2  x Hè 2016 Hoàng Bá Mạnh _ 01667.126.298 f  x  liên tục x0  D thỏa mãn điều kiện: lim f  x   f