1.Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp.. 2.Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một phân thức[r]
(1)Chương IV: GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 1:Tính giới hạn dãy số sau:
a)
2
4
lim
x
n n n
;b)
2
3
lim
1
x
n n
n
;c)
2
lim
1
x n n
d)lim ( 2)1 1 ( 2)
n n
n n
x
;e)
2
lim
x n n n
Bài 2:Tính giới hạn dãy số sau: a)lim 2
x n n n ;b)
3
3
lim
x n n n
c)lim 2
x
n n
n n
;d)
2
4
lim
2
x
n n
n n n
e)lim 1
1.2 2.3 3.4 ( 1)
x n n
Bài 3:Tính giới han sau: a)
4 2
2
lim ;
(2 1)(3 )( 2)
x
n n
n n n
b)
4 2
2
lim
2
x
n n n n
; c)lim 3
2
x
n n n
;d)
3 lim
1
n n x
;e)
1
3
lim
3
n n
n n
x
; f)lim4.3 1;
2.5
n n
n x
g)
5 lim
5
n n x
§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Các định nghĩa giới hạn hữu hạn
1.Cho khoảng K,x0Kvà hàm số f(x) xác định K(hoặc K\ x0 )
0 0
lim ( ) ( ),n n \ ,lim n lim ( )n
xx f x L x x K x x x x f x L
2.Cho hàm sốf(x) xác định khoảng (a,b),x0( , )a b
0 0
lim ( ) ( ),n n ,lim n lim ( )n
x x
x x f x L x x x b x x f x L
0 0
lim ( ) ( ),n n ,lim n lim ( )n
x x
x x f x L x a x x x x f x L
3.Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; )hoặc ( ;a) lim ( ) ( ),n n , lim n lim ( )n
x f x L x x a x x x f x L
lim ( ) ( ),n n , lim n lim ( )n
x f x L x x a x x x f x L
2.Định nghĩa giới hạn
1.Cho khoảng K, x0Kvà hàm số f(x) xác định K(hoặc K\ x0 )
0 0
lim ( ) ( ),n n \ , lim n lim ( )n
xx f x x x K x n x x n f x
2.Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;+)
lim ( ) ( ),n n , lim n lim ( )n
x f x x x a n x n f x
Nhận xét:f(x) có giới hạn khi –f(x) có giới hạn
3.Các giới hạn đặc biệt
0
lim
xx xx lim
(2)2.xlim c c lim 0
x
c x
với c số
3 limx x
lim , k
x x với k nguyên dương
4.xlim xk ,nếu k số lẻ và lim k ,
x x k số chẵn
4.Định lí giới hạn hữu hạn. Định lí 1.Giả sử
0 lim ( )
xx f x Lvà
lim ( ) ,
xx g x M
1
0
lim ( ) ( ) ;
xx f x g x L M 0
lim ( ) ( ) ;
xx f x g x L M
2
0
lim ( ) ( ) ;
xx f x g x L M 0
( ) lim
( )
x x
f x L
g x M
với M0
3
0
lim ( )
xx f x L f(x) 0trong khoảng chứa x0
Định lí 2.Cho khoảng K chứa điểm x0và ba hàm số h(x),f(x),g(x) Nếu h(x)g(x) g(x)với x K\ x0 ) 0
lim ( ) lim ( )
xx h x xx g x L
Thì
0 lim ( )
xx f x L
Định lí
0 lim ( )
xx f x L 0
lim ( ) lim ( )
x x f x xx f x L
Định lí 4.
sin
lim
x
x x
;Hệ quả:Nếu
lim ( )
x u x
sin ( )
lim
( )
x
u x u x
5.Quy tắc giới hạn
*Trường hợp g(x)>0 x x0
0 lim ( )
xx f x
lim ( )
xx g x
0
( ) lim
( )
x x
f x g x
L0
L>0
L<0
*Trường hợp g(x)<0 x x0
0 lim ( )
xx f x
lim ( )
xx g x
0
( ) lim
( )
x x
f x g x
L0 0
L>0
L<0
6.Các dạng vơ định. 1.Dạng
0,tìm
( ) lim
( )
x x
u x v x
,khi 0
lim ( ) lim ( )
xx u x v xx x
0 lim ( )
xx f x
lim ( )
xx g x
lim ( ) ( )
xx f x g x
L>0
(3)2.Dạng
,tìm
( ) lim
( )
x x
u x v x
,khi 0
lim ( ) ; lim ( )
xx u x xx v x
3.Dạng 0.,tìm
0
lim ( ) ( )
xx u x v x ,khi 0 lim ( ) 0, lim ( )
xx u x xx v x
4.Dạng ,tìm
0
lim ( ) ( )
xx u x v x
khi lim ( )xx0u x ,
0 lim ( )
xx v x Hay 0
lim ( ) , lim ( )
xx u x xx v x
*Khi x x x0, x0
,x ,x ta thường gặp dạng vô định tương tự trên.
B.CÁC DẠNG TỐN.
Dạng 1.Tìm giới hạn hàm số thuộc dạng vô định 0 Phương pháp:
1.Nhân biết dạng vô định 0:
( ) lim
( )
x x
u x v x
0
lim ( ) lim ( )
xx u x v xx x
2.Phân tích tử mẩu thành tích nhân tử giản ước
0
( ) lim
( )
x x
u x v x
= 0
0
( ) ( ) ( )
lim lim
( ) ( ) ( )
x x x x
x x A x A x
x x B x B x
tính
( ) lim
( )
x x
A x B x
3.Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến dấu can phân tử mẩu với biểu thức liên hợp,sau phân tích chúng thành tích để giản uớc
Bài 1.Tìm giới hạn hàm số sau: a)
2
2 lim
2
x
x x
x x
;b)
3
(1 ) lim
x
x x
;c)
3
1 lim
1
x
x x x
x
d) 4 2
1
5
lim ;
8
x
x x x
x x
e)
3 2
2 lim
2
x
x x
x x
Bài 2.Tìm giới hạn hàm số sau a)
2
4
lim ;
7
x
x x
b)
5 lim
5
x
x x
;c)
4
lim
5
x
x x
x
d)
2 lim
4
x
x x
x
;e)
2
4 lim
3 2
x
x x
;f)
3
1
lim
x
x x
x
Dạng Dạng vô định Phương pháp:
1.Nhận biết dạng vô định :
0
( ) lim
( )
x x
u x v x
,khi
0
lim ( ) ; lim ( )
xx u x xx v x
lim ( ) ( )
x
u x v x
,khi
lim ( ) ; lim ( )
x u x x v x
2.Chia tử mẩu cho xnvới n số mũ cao biến x(hoặc phân tích thành tích chứa nhân
tử xnrồi giản ước)
3.Nếu u(x)hoặc v(x)có chứa biến x dấu đưa xkra ngồi dấu căn(với k số mũ cao
(4)a) lim 33 32 x x x x x
b)
2
(3 1)(5 3) lim
(2 1)( 1)
x x x x x c)
4 7 5
lim
3 13
x
x x x
x
; d)
2 1 4 1 lim x x x x e) 2 lim
4 1
x
x x x
x x
; f) 2 lim 3 x x x x x
Dạng 3.Dạng vô định ;0.
Phương pháp :
1.Nếu biểu thức chứa biến số dấu nhân chia với biểu thức liên hợp 2.Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức quy đồng mẫu đưa phân thức 3.Thông thường,các phép biến đổi cho ta khử dạng vô định ;0.hoặc
chuyển dạng vơ định ;0
Bài 1.Tìm giới hạn hàm số sau a)
0 1
lim
1
x x x
;b)
2
lim
x x x x
c) lim 2 4 3
x x x x ; d)
3 lim 1 x x x x
e) lim 2 3
x x x x x ;f)
2 3
lim 1
x x x
Bài Tìm giới hạn hàm số sau a)xlim (2 2 x2 x4);b)lim
x x x
c) 3 lim x x x x ;d)
3 2 15 lim ( 2) x x x
Bài Tìm giới hạn hàm số sau a) 3 lim x x x
; b)lim1 3 1 x x x
c) 2
2
1
lim
x
x x x x
x x
; d)
9 16
lim x x x x
e)
1 lim x x x x
; f)
3 lim x x x x
g) 2
1 lim x x x x
; h)
1 lim x x x Bài Tìm giới hạn hàm số sau
a)
3 3 lim x x x x
; b)
2
7
( 1)(1 ) lim x x x x x c) 2
2 lim
4
x
x x x
x x
;d)
2
9
lim
1
x
x x x x
x
e)
4 7 5
lim
3 13
x
x x x
x
; f)
(5)a) lim ( 2 1)
x x x x ;b)
2
lim ( 3)
x x x x x
c) lim (3 2 )
x x x x x ;d) lim (x x x x x)
§3.HÀM SỐ LIÊN TỤC A.KIẾN THỨ CƠ BẢN
I.Các định nghĩa
1.Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a ; b) Hàm số f(x) liên tục điểm
0
0 ( ; ) lim ( )x x ( )0
x a b f x f x
2.Hàm số f(x) liên tục (a ; b) f x( )liên tục điểm x( ; )a b
3.Hàm số f(x) liên tục đoạn a b; f x( )liên tục khoảng ( ; )a b
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a f x f a x b f x f b
4.Hàm số f(x) khơng liên tục điểm x0 thìx0 gọi điểm gián đoạn hàm số f(x) II.Các định lí.
Định lí 1.a)Các hàm đa thức liên tục toàn tập số thực R
b)Các hàm lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lí 2.Giả sử f(x) g(x) hai hàm số liên tục khoảng K,khi
a)Các hàm số f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x).g(x) liên tục khoảng K b)Hàm số ( )
( ) f x
g x liên tục khoảng K g(x) 0, x K c)Hàm số f x( )liên tục khoảng K f(x) 0, x K
Định lí 3.Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn a b; f(a).f(b)<0 tồn điểm
( ; )
c a b cho f(c)=0 B.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1.Xét tính liên tục hàm số f(x) điểm x0 Phương pháp:1.Tính f(x0)
0
lim ( ) ( )
xx f x f x 0 lim lim ( )
xx xx f x
3.Hàm số f(x) liên tục điểm x0
Dạng 2.Xét tính liên tục hàm số f(x) khoảng Phương pháp:
1.Áp dụng định lí 1,định lí để xét tính liên tục hàm số khoảng xác định 2.Nếu hàm số xác định công thức,ta thường xét tính liên tục điểm đặc biệt hàm số
Dạng 3.Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm Phương pháp:
1.Chứng minh phương trình f(x)=0 có nhgiệm -Tìm số a b cho f(a).f(b)<0
-Hàm số f(x) liên tục đoạn a b;
-Phương trình f(x)=0 có nghiệm x0( ; )a b 2.Chứng minh phương trình f(x)=0 có k nghiệm -Tìm k cặp số a b1, 1sao cho khoảng (a b1, 1)rời f(a1).f(b1)<0,!=1,….k
(6)3.Khi phương trình f(x)=0 có chứa tham số cần chọn a,b cho:
-f(a),f(b) khơng chứa tham số chứa tham số dấu khơng đổi -Hoặc f(a),f(b) cịn chứa tham số tích f(a).f(b) ln âm
C.BÀI TẬP
Bài 1.xét tính liên tục hàm số sau
a)f(x)=
3 2 2
; 1
4;
x x x
x x
x
; b)f(x)=
cos ; 0;
x x
x x
c)f(x)=
2
1 ;
0; x
x x
x x
d)f(x)=
2 ; 5; 1;
x x x
x x
Bài 2.a)Tìm a để hàm số f(x)
33 2 2 ; 2
1 ; x
x x
ax x
liên tục R
b)Tìm m để hàm số f(x)=
2 2
; 2
1; x x
x x
m x
liên tục x=2 Bài 3.a)Chứng minh phương trình 2x3 6x 1 0
có ba nghiệm khoảng(-2 ; 2)
b)Chứng minh phương trình x5 x 2 0
có nghiệm x0 32 c)Chứng minh phương trình x4 x 3 0
có nghiệm x0(1;2)và x0 712 Bài 4.
a)Chứng minh phương trình 2x3 10x 7 0
có nghiệm
b)Chứng minh phương trình(1 m x2) 3x 1 0
ln có nghiệm với m
c)Chứng minh phương trình 1
sinxcosx aln có nghiệm khoảng 2;
với a
d)Chứng minh phương trình x3 x 1 0
có nghiệm x0thỏa mản
1
2 x Bài 5
.a)Cho hàm số f(x)
2 4; 2
2
;
7
x x x
x
x x
CMR hàm số liên tục khoảng(-7; )
b)Cho hàm số f(x)
1; ;3 3;
x ax b x
x
(7)
Bài 6.a)Xét tính liên tục hàm số f(x)
2
; 1
1;
x x
x x
x
điểm x=
b)Xét tính liên tục hàm số f(x)
5 sin
; 2;
x x
x x
x x x
điểm x =0
Bài 7.a)Cho hàm số f(x) 2
1 ; 1
; x
x x
m x x
Tìm m để hàm số liên tục điểm x=1 b)Cho hàm số f(x)=
2; 2
3;
ax x x