Tính chất đường phân giác của tam giác

ÔN TẬP TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC A Lý thuyết Định lý: Trong tam giác, đường phân giác góc chia A cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ABC  D  BC   DB AB   A  A DC AC  2 Chú ý 1: Định lý tia phân giác B C D tam giác D ' B AB   AB  AC  D ' C AC Chú ý 2: A Nếu D thuộc BC mà DB AB   AD  DC AC phân giác BAC B D' C B Bài tập Dạng 1: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính dộ dài đoạn thẳng Cách giải: Thực theo hai bước sau - Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỷ lệ - Sử dụng đoạn thẳng tỉ lệ để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết Bài 1: Cho tam giác ABC có AB 30cm , A AC 45cm; BC 50cm , đường phân giác AD a Tính BD, CD b Qua D vẽ DE / / AB, DF / / AC  E  AC; F  AB  Tính B D C cạnh AEDF Lời giải DB AB DB DC DB  DC  BAC       10 DC AC 3 a) Xét ABC , có AD phân giác  DB 20  cm  , DC 30  cm  b) Xét tứ giác AEDF , có: FD / / AE; DE / / AF  AEDF hình bình hành (dhnb)  Lại có AD phân giác A  AEDF hình thoi +) Xét ABC , có DE / / AB  ED DC DE 30     DE 18(cm) AB BD 30 50 (hệ Ta-lét) Bài 2: Cho tam giác ABC , hai đường phân A giác AE BD cắt O Tính AC , biết OA AD  ,  AB 12cm , OE DC 12 D O B E C Lời giải ACE  OA  AB   12  BE 8  cm  OE BE BE Xét AEC , có CO phân giác ACB  AD  AC   12  BC 14  cm  DB BC BC Xét ABC , có BD phân giác Ta có: CE BC  BE 14  6(cm) Xét ABC , AC EC AC EC     AC 9cm     AB EB có AE đường phân giác BAC  AB EB (tính chất đường phân giác)  AC 9cm Bài 3: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AM , BN , CK Biết A AB 30, AC 45 , BC 50 30 a Tính KA, KB, MB, NC , NA K KA MB NC 1 b Chứng minh rằng: KB MC NA B Lời giải KA KA KB KA  KB 35 315 350       KA  , KB  10 19 19 19 19 a) KB 10 45 N M 50 C Tương tự: MB 20, MC 30, NC  225 135 , NA  8 KA MB NC CA AB BC  1 b) KB MC NA CB AC BA Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A , A đường cao AH , AB 15cm, AC 20cm Tia phân giác góc HAB cắt HB O , tia phân giác 20 15 góc AHC cắt HC E Tính AH , HD, HE B D C E H Lời giải 2 2 2 +) Xét ABC vuông A , có: BC  AB  AC  BC 15  20  BC 625  BC 25  BC   1 S ABC  AB AC  BC AH  AB.AC BC AH  AH 12(cm) 2 Ta có: Xét  900 )  BH 9(cm)  HC 16  cm  AHB ( H  Xét ABH , có AD phân giác BAH ( D  BH )  DH AH 12 DH DH         DH 4 DB AB 15 BH 9  Xét ACH , có AE phân giác HAC ( E  CH ) DH HE AH 12 HE HE          HE 6  cm  DB EC AC 20 HC 16 * ABC Bài : Cho tam giác vuông A ,  A đường phân giác AD Tính AB, AC biết y x DB 15cm, DC 20cm B 15 D 20 Lời giải 2 Đặt AB x; AC  y , ta có ABC vng A , theo định lý Pytago  x  y 1225 C x DB 15 x y  BAC       y DC 20 4 Xét ABC , có AD đường phân giác x2 y x2  y x y    49   7  AB 21(cm); AC 28(cm) 16 25 Cách 2: Ta có BC BD  CD 35  cm  25 AB  AC ; BC  AB  AC  BC  AC  AC  AC  AC 28  cm  , AB 21 cm  16 16 * Bài : Cho tam giác ABC , đường phân giác A AD AE  ;  BD CE , biết: DC EB Tính D E cạnh tam giác ABC , biết chu vi tam giác 45cm B C Lời giải Xét ABC , theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có: AE AC AC BC AB AD AB BC AC BC AC BC AB     (1);       (2)    EB BC BC DC 3 6  AB  BC  CA 3 15  AB 15  cm  , BC 18  cm  , AC 12(cm) Bài : Cho tam giác ABC vuông A, AB 12cm , * A AC 16cm, phân giác góc A cắt BC D a Tính BC , BD, CD 16 12 b Vẽ đường cao AH tính AH , HD, AD B H D Lời giải a) Xét ABC , áp dụng định lý Pytago, ta BC 20  cm  BD CD BD CD BC  BD     12 16 16 Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có: AB AC C  16 BD 12 BC  12 BD  28BD 12 BC  BD 11, 43  CD 8,57  cm  1 S ABC  AH BC  AB AC  AH BC  AB AC  AH 9, 6(cm) 2 b)  Xét ABH ( H 90 )  BH 7, 2(cm), BD 8,57(cm)  HD 1,37(cm)  Xét ADH ( H 90 ) , áp dụng định lý Pytago ta AD 9, 69(cm) Dạng 2: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song Cách giải: Thực theo hai bước: - Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ - Sử dụng tỉ số có, tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian định lý đảo định lý TaLet để tính tỉ số đoạn thẳng chứng minh hệ thức, từ suy đoạn thẳng hay đường thẳng song song Bài 1: Cho tam giác ABC có đường phân A giác AD, BE , CF DB EC FA 1 a Chứng minh: DC AE FB E F b Khi tam giác ABC cân A , chứng minh EF / / BC B D C AB  c Biết AC , tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD ACD Lời giải    a) Xét ABC có AD, BE , CF ba đường phân giác góc A, B, C nên theo tính chất DB EC FA AB BC CA  1 đường phân giác tam giác ta có: DC EA FB AC BA CB (đpcm) b) Khi ABC cân A  AB  AC  AE BA AC AF     EF / / BC CE BC BC BF (Ta-lét đảo) DB AB   c) Ta có DC AC Gọi h chiều cao từ đỉnh h.BD S ABD DB    S ACD h.DC DC A xuống đáy BC , ta có: Bài 2: Cho tam giác ABC , đường phân A giác AD, BE , CF giao I Chứng minh: DI BC  a) DA C ABC E F I DI EI FI   1 b) DA EB FC B D C Lời giải ABD  DI  DC AI AC (tính chất đường phân giác) a) Xét ABD , có BI đường phân giác Tương tự ta có: DI BC DI DC DI DB DC DB  DC BC DI BC           AD PABC AI AC AI AB AC AB  AC AB  AC AI  DI AB  AC  BC DI EI FI   1 b) Sử dụng kết câu a, ta có DA EB FC Bài 3: Cho tam giác ABC ( AB  AC ), đường E  phân giác AD BAC  D  BC  Từ trung A F điểm M BC , kẻ đường thẳng song song với AD , cắt AC F cắt tia đối tia AB E Chứng minh: AE  AF B Lời giải    Ta có: AEF BAD ; EFA DAC (góc so le trong)  AEF cân A  EA FA D M C Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, phân giác B   góc A; D cắt đường chéo BD AC C N M M N Chứng minh MN / / AD I A D Lời giải Gọi I giao điểm BD AC Xét ABD, có AM phân giác  AB BM  AD DM CD CN  AD AN Tương tự ta có: Mà AB CD  BM CN BM CN BD CA DI AI   1  1      MN / / AD DM AN DM AN DM AN DM AN Bài 5: Cho tam giác ABC , trung tuyến AM A Phân giác góc AMB cắt AB D , phân D giác góc AMC cắt AC E I a Chứng minh DE / / BC b Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh I trung điểm DE Lời giải AD AM  a Xét AMB , phân giác MD có: BD BM AE AD   DE // BC Tương tự ta có: CE BD b Vì DE // BC  DI AI IE   , MB MC  DI IE BM AM MC BÀI TẬP VỀ NHÀ B M C Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A có A AB 6cm, AC 8cm đường phân giác BD a Tính độ dài DA, DC I D E b Tia phân giác góc C cắt BD I Gọi M trung điểm BC Chứng minh B M C  BIM 900 Lời giải b) Theo câu a ta có: MB MC 5cm    CID CIM  IMC IDC Trong tam giác BMI có góc IMC góc ngồi nên ta có:    ; IDC      IMC BIM  IBM BAD  ABD  BIM  IBM BAD  ABD     mà ABD IBM  BIM BAD 90 Bài 2: Cho tam giác ABC có BC 15cm , B CA 18cm, AB 12cm Gọi I G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác G ABC I a Chứng minh IG / / BC b Tính độ dài đoạn thẳng IG A Lời giải a) Gọi M trung điểm BC AD tia phân giác góc BAC ( D nằm BC ) Tính CD 9cm Trong tam giác ACD , phân giác CI  AI AC 18   9 DI CD AG AG AI 2    dpcm MG DI Chứng minh được: MG b) Ta tính DM 1, 5cm D M C Vì IG // DM  IG AG 2    IG  DM 1cm DM AM 3 Bài 3: Cho tam giác ABC có AB 4cm A AC 5cm, BC 6cm Các đường phân giác BD CE cắt I D E I a Tính AD, CD B b Tính tỉ số diện tích tam giác DIE ABC Lời giải a) AD 2, AD 2, CD 3 , AE  20 24 , EB  11 11 b) Tam giác DIE DCE có chung chiều cao hạ từ D nên:  S DIE IE IE EB 4      S DIE  S DCE (1) S DCE CE IE  IC EB  BC 5 Tam giác DCE ACE có chung chiều cao hạ từ E nên:  S DCE DC 3    S DCE  S AEC (2) S ACE AC 5 Tam giác ACE ABC có chung chiều cao hạ từ C nên:  S AEC 5   S AEC  S ABC (3) S ABC 11 11 12 S 12  S DEI  S ABC  S ABC  DEI  5 11 55 S ABC 55 Từ (1)(2)(3) 10  S ACE AE 20   :4  S ABC AB 11 11 C