Phân thức đại số

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức đại số có A dạng B , A B đa thức khác , A gọi tử thức (hay tử), B gọi mẫu thức (hay mẫu) Chú ý: Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức Hai phân thức A C Hia phân thức B D gọi A.D B.C Chú ý : - Các tính chất tỷ lệ thức dãy tỷ số phân số cho phân thức - Các giá trị chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị gọi giá trị làm phân thức vô nghĩa hay không xác định B Bài tập vận dụng dạng tốn Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức *) Chú ý : Các phân thức xác định mẫu thức nhận giá trị khác Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 5x  a x  x b 2018 x  x  1  x   xy x2  c  x  x  d  x  3   y   Lời giải  x 0  x  x 0  x  x  1 0    x  a) Điều kiện xác định b) Điều kiện xác định x  x  1  x   0  x   0;1; 2 c) Ta có  x  x    x      với x nên phân thức cho ln có nghĩa d) Điều kiện xác định x  3; y 2 không đông thời xảy Bài 2: x  2y Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa x  x  y  Lời giải Ta có x  x  y   x  1  y  1  Vậy với x, y biểu thức ln có nghĩa Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức sau x2  a x  16 3x  b x  x  2x2  c x  x2  y d x 2 e  x  1  x  3 x 1 f x  x  g x  y x2 y  2x h x  x  5x  y i x  x  10 2x  y k x  2 3x  y l  x  1  y 2018 x  2019 y m x  24 x  16 Lời giải  x   x  16 0   x    x   0   x   a) Điều kiện xác định b) Điều kiện xác định x  x  0  x   0  x 2 c) Điều kiện xác định x  0   x  1  x 1 0  x 1 d) Điều kiện xác định x 0  x 0 e) Điều kiện xác định  x 1  x 3  x  1  x  3 0    x 2 x  x  0   x  3  x   0    x 3 f) Điều kiện xác định g) Điều kiện xác định x y không đồng thời 2 h) Điều kiện xác định x  x  0   x  1 0  x 1 i) Ta có x  x  10  x  3   với x Nên phân thức cho xác định với giá trị x k) Điều kiện xác định x  0   x    x   0  x 2 l) Điều kiện xác định x 1; y 0 không đồng thời xảy m) Điều kiện xác định x  24 x  16 0   3x   0  x  Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải: Thực theo bước - Bước 1: Lựa chọn cách biến đổi thường dùng sau Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái Cách 3: Biến đổi đồng thời vế - Bước 2: Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bước 3: Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung sử dụng định nghĩa hai phân thức cần, từ suy điều phải chứng minh Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau y2  y  y2  3y    y 2; y 4  y b) y  2x   1   x  2; x   2 a) x  2 x  3x   c) 3a  10a  3  a   a 3  a  3 2 b  3b  b   b 2; b 3 d) b  27 b  5b  Lời giải a) Ta có VP  2x  1  VT  dpcm x  3x  x  2 y  y   y  1  y   y  y   y  1  y   VT    y  1;VP    y   VT VP y y y y b) Ta có VT  c) Ta có d) ta có VT  3a  10a   3a  1  a  3 3a     a  VP  dpcm  a  3 a 2 b  3b  b  ;VP    VT VP  dpcm b  27 b b  5b  b  Bài 2: Chứng minh đẳng thức xy x y  35 x y a) x  ( x  2)  b) x  x  x ( x  3) x  c) x( x  3) x  x2  8x  x2  6x   x x 1 d) Lời giải a) Ta có: xy x y  35 x3 y xy 35 x3 y 7.5 x y 35 x y  x  ( x  2)  x   x   x    x    x   x  b) Ta có:   2 c) Ta có: d) Ta có: x ( x  3)  x  3  x  x  3  x   x ( x  3) x  x( x  3) x 3   x   x  1  x  x   x  1  x2  8x  x2  x   x x 1 Bài 3: Ba phân thức sau có không 2x  x  13 x  24 10 x  11x  A ;B  ;C  15 15 x  20 75 x  30 Lời giải Ta có  x  3  15 x  20  5  x  3  x   15  x  13 x  24   A B  1 x  3  75 x  30  15  x    x   15  10 x  11x     Lại có Từ (1)(2)  A B C A C   Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Cách giải: Thực theo hai bước sau Bước 1: Phân tích tử mẫu thành nhân tử hai vế Bước 2: Triệt tiêu nhân tử chung rút đa thức cầm tìm Bài 1: Tìm đa thức A để phân thức sau 3x  a) A x  A x  3x  b) x  x  x  3x3 A  c) ( x  3)( x  3) x  7( x  y ) x  y  A d) Lời giải 3x 3 x( x  1)   A  x( x  1) a) Ta có A x  A x2  3x (6 x  x)(2 x  1)   A 3 x x2  b) Ta có x  x  x  3 x  x    x  3x3 A   A  A x ( x  3)( x  3) x  ( x  3)( x  3) c) Ta có   x  y 7( x  y ) x  y   A  A 4  x  y  A 7( x  y ) d) Ta có Bài 2: Tìm đa thức A để phân thức sau A x  3x  3   x   2 a) x  x   c) b  3b b  3b  3    b  ; b 3  A   b) 2b  3b  2y  1     y  ; y 1; y 3   y  3 B y  y    a B   a 2  d) a  2a  a  Lời giải A x  3x A x     A x 2x  2x  a) Cách 1: Ta có x  x  A  2x  x   x  3 4x  Cách 2: Ta có b) Ta có :  x  x  3  x  3 x  A x  x  3  x  3 b  b  3 b  b  3 b  3b    A 2b  9b  2b  3b   2b  3  b  3 A 2 c) Ta có y  y   y  1  y  3  B 2 y  y  d) Ta có : a   a   a  2a   B a  3a    Bài 3:  x 1 P   x  1 Q Tìm cặp đa thức P Q thỏa mãn đẳng thức x  x2  4x   x 2  Lời giải  x 1 P   x  1 Q Ta có : x  x  4x   P  x  1  x   Q  x  1  x   Chọn Q  x  1  x    P  x  1  x   Bài 4: Cho đẳng thức x2  x 1   x  2;1;3  x  x 1 A  x  x   B Hãy tìm cặp đa thức A B thỏa mãn đẳng thức Lời giải Ta có: x  x   x  1 ; x  x   x    x  3  B  Chọn A  x    x  3  B x  x A  x    x  3 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức có điều kiện Cách giải: Thực theo hai bước sau Bước 1: Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất phân thức Bước 2: Thu gọn biểu thức dựa vào điều kiện đề cho để lập luận Bài 1: P P R P R R   P Q   Cho hai phân thức Q S thỏa mãn Q S Chứng minh R S Q  P R  S Lời giải P R P R   P  R  S  R  P  Q   PS RQ    dpcm  Q S Điều cần chứng minh Q  P R  S Bài 2: P Q R S P P R R   S với hai phân thức Q S thỏa mãn Q S Chứng minh đẳng thức Q Lời giải P R P R P Q R S      1   dpcm  S Q S Ta có: Q S Q BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau y3  y  y  y  1  y  2  b)  10 y x  x  3x    x 1 x2  a) x  Hướng dẫn 2 a) Gợi ý: x  3x   x  1  x   ; x   x  1  x  1  dpcm b) Gợi ý: y  y  y  y  1  y  1 Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau a)  u  3u  u  4u    u 2; u 1  u2  u    u  1 v3  27 v  b) v  3v  Hướng dẫn a) Gợi ý: b) Gợi ý :  u  3u    u   u  1 ; u  4u    u  v  27  v  3 v  3v    Bài 3: Tìm đa thức M đẳng thức sau 3x  x  3x   3   x  1; x   M 2x   2 a) x  3x  M   x 2  x 4 x  4x  b) Hướng dẫn a) Đáp số: M  x  1  x  3 b) Đáp số: M  x  1  x   Bài 4: Tìm đa thức N đẳng thức sau x 1 x  x    x  1; x   x3  a) N  x  3 N b) 3 x x3  x  x  36   x 3; x   2 x Hướng dẫn a) Đáp số: N  x  1  x   b) Đáp số: N 2  x  3  x  3 Bài 5: A C E A C E AC  E A    Cho hai phân thức B D F thỏa mãn B D F Chứng minh B  D  F B Hướng dẫn AC  E A   CB  EB DA  FA Ta có: B  D  F B A C A E   AD BC ;   A.F  B.E  B F Mà B D đpcm Bài 6: Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên a) x  b) x  c) x  x  2 Hướng dẫn a) Vì x nguyên nên x  nguyên x  nguyên  x  1 U  3  1; 3  x    1; 0;1; 2 b) Vì x nguyên nên x  nguyên 10  x 0  x  1  x 0     x 2  x  5  x 4  x  x  ngun c) Vì x nguyên nên x  x  nguyên  x  x  1 0  x  x  1  x  x 1      x    2;0;1;3  x  x   x  x           x  x  nguyên Bài 7: a) Tính giá trị biểu thức b) Tính giá trị biểu thức A 3x  y x  y , biết x  y 20 xy y  3x  B x y x  y 10  x  y , biết xy  x  y Hướng dẫn a) Vì y  3x  nên 3x  y  3x  y  suy A  2 A Ta có  A  3x  y    3x  y   x  y  12 xy 20 xy  12 xy xy    x  y  12 xy 20 xy  12 xy 32 xy 1 (vì A  ) x  y 10    x  y  10 xy xy b) Ta có B  x  y   x  y 2 x  y  xy  x  y   xy 10 xy  xy xy      x  y  xy  x  y   xy 10 xy  xy 16 xy Vì  x  y  x  y  x  y  Suy B x y 1 0 B  xy 11