RÚT GỌN PHÂN THỨC A Kiến thức *) Để rút gọn phân thức ta làm sau: Bước 1: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử mẫu thành nhân tử Bước 2: Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho *) Tính chất phân thức A A.M B B.M ( M đa thức khác đa thức ) A A: N B B : N ( N nhân tử chung) A A *) Quy tắc đổi dấu phân thức: B B B Bài tập dạng toán Dạng 1: Rút gọn phân thức Cách giải: Thực theo hai bước sau Bước 1: Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử Bước 2: Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung Bài 1: Rút gọn phân thức sau x 12 x 2; x 0 a) 24 x 48 x b) 48a 75a a ; a 2 a a 4a Lời giải a) Ta có: b) Ta có : x 2 x 12 24 x 48 x 24 x x x 3a 16a 25 3a 4a 4a 3a 4a 48a 75a a a 4a a 4a a a 4a Bài 2: Rút gọn phân thức sau b 2b b 1; b 0 a) 3b 3b 9u v 3u u 0; v 0 b) 12uv 4uv Lời giải b 2b b 3b a) Ta có: 3b 3b 9u v 3u 3u b) Ta có: 12uv 4uv 4v Bài 3: Đơn giản phân thức sau y3 y y 1 y 3; y 1 y y y a) m4 n4 m n 3 b) n m Lời giải a) Ta có: b) Ta có: 2 y y y y 1 y 1 y y3 y y y 3 y 1 y 2 m n m2 n2 m4 n4 m n m n m n n3 m3 m n m mn n m mn n Bài 4: Tối giản phân thức sau 48 y 12 y y y y 64 b) x3 x x 1 a) x Lời giải a) Ta có : x x 1 x3 x 7x x 1 x 1 x 1 x b) Ta có : y y y 16 48 y 12 y y 3y y 64 y y y 16 y Bài 5: Thu gọn phân thức sau M x10 x8 x x x x x x 30 x 24 x18 x12 x Lời giải Ta có: TS x10 x x8 x x x x 1 x 1 x x x 1 x4 x2 x 1 MS x 24 x 1 x12 x 1 x 1 x 1 x 24 x12 M 24 12 x x 1 Bài 6: Thu gọn phân thức sau N x7 x6 x5 x x3 x x x2 Lời giải Ta có: x x x5 x x x x x 1 x x x 1 x x x N x2 x x 1 x 1 Bài 7: Cho phân thức A x x3 x x x3 x x a) Rút gọn A b) Chứng minh A không âm với giá trị x Lời giải a) Ta có: x 1 x x 1 x 1 x x3 x A x x x x x x 1 x 1 x 1 2 b) Với x , ta có: x 1 0; x 1 A 0 dpcm Bài 8: Cho phân thức B a a3 a a a 3a 2a a) Rút gọn B b) Chứng minh B không âm với giá trị a Lời giải a 1 a a3 a B a a 3a 2a a 2 a) Rút gọn b) Ta có: 2 a 1 0; a B 0m dpcm Bài 9: Rút gọn phân thức sau a) A x10 x8 x x x x4 b) B x 40 x30 x 20 x10 x 45 x 40 x 35 x5 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: A x10 x8 x x x x8 x x4 x 1 B x 40 x30 x 20 x10 x 40 x30 x 20 x10 1 45 40 35 45 35 25 15 40 30 20 10 x x x x ( x x x x x ) ( x x x x 1) x Bài 10: Cho x Hãy rút gọn A x x x 3x x Lời giải Ta có: x x x 1 x; x x A 1 x 1 x 3x x 1 3x 3x x 1 3x Bài 11: ( x y z )( a b c ) x y z A 0 (ax+by+cz) Cho a b c , rút gọn Lời giải x y z (k a k 2b k c )(a b c ) k 0 x ak ; y bk ; z ck A 1 2 a b c [ k (a b c )] Đặt Bài 12: Rút gọn phân thức sau 15 x y z 3 a) x y z y xy b) xy y x3 x x x3 c) xy x3 y d) x xy x y xy 2 e) x y x x xz xy yz f) x xz xy yz x4 x2 1 g) x 3x Lời giải 15 x y z z 3 x y z 3x a) Ta có: b) Ta có: y y x y xy 1 xy y 4y x y 2 x 1 x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 c) Ta có: d) Ta có: xy x3 y xy y x y x y y x x xy x x y e) Ta có: x y xy x y x y x y x x 1 y x y x xz xy yz x y x xz xy yz xy f) Ta có: g) Ta có: Bài 13: mn n (n m) A m n 2n m Cho a) Rút gọn A b) Chứng minh A c) Với giá trị m biểu thức A đạt GTLN Lời giải b) Ta có c) Ta có A A mn n (n m) 1 0 4 m n 2n m m 1 m maxA= m 0 m 2 2 Bài 14: Cho A 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x4 x2 1 x3 x x3 x x x x x 1 x x x 1 x 1 x x x3 x 10 x x3 x x 20 a) Rút gọn A b) Với giá trị x A 0; A Lời giải a) Ta có A x3 x 10 x x x x 12 x x ( x 1)( x 2) x x x 20 x ( x 4) 5( x 4) x2 x x A 0 ( x 1)( x 2) 0 x b) Ta có: x1 A ( x 1)( x 2) x2 c) Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải: Cách 1: Thực theo hai bước sau Bước 1: Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử Bước 2: Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung A C AD BC Cách 2: Dùng định nghĩa hai phân thức B D Bài 1: x xy y y x; y x 2 x x y xy y x y Chứng minh đẳng thức Lời giải VT Ta có 2x x y y x y x y x y VP dpcm x x y y x y 2x y x2 y x y Bài 2: a 2b 2ab b3 ab b b 2a; b a 2 2a b Chứng minh đẳng thức 2a ab b Lời giải Ta có b a b b a b a 2b 2ab b3 VT VP 2 2a ab b 2a b a b 2a b Bài 3: Cho hai phân thức P xy x y x3 x3 x y xy x y x Q x 0; x 1; x 2 y x x2 Chứng tỏ P Q Lời giải Cách 1: Rút gọn Cách 2: Xét P xy x y x3 x y Q x3 x y 4x P Q xy x y x x x xy x y x x x y Sử dụng phương pháp nhân đa thức với đa thức để đưa biểu thức Bài 4: Chứng tỏ hai phân thức A x xy y 1 B y 2 x 2 y y x 12 yx x 2x y Lời giải Ta có: x y B dpcm x xy y A 2 y y x 12 yx x y 2x x y BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Rút gọn phân thức sau x xy x y x 1; x y x xy x y b) x2 5x x 3 a) x x Hướng dẫn x 5x x a) Ta có x x x x xy x y x y b) Ta có x xy x y x y Bài 2: Thu gọn phân thức sau 10 pq 2q 1 1 p 0; p 2 b) 15 p 30 p a 6a 9a a 3 a2 a) Hướng dẫn a 6a 9a a 3a a2 a 3 a) Ta có 10 pq 2q 1 2q p 1 p2 b) Ta có 15 p 30 p Bài 3: Tối giản phân thức sau 4m 8mn a) 2n m b 2 b b) b 10b 25 m 2 n Hướng dẫn 4m 8mn a) Ta có 2n m 4m 2n m 2 b 2 1 b b) Ta có b 10b 25 b Bài 4: Rút gọn phân thức sau P x7 x x3 x6 x5 x x x Hướng dẫn Ta có x 1 x x 1 x 1 x x x3 P x x x5 x x x x2 x 1 x4 1 Bài 5: x4 Q 10 x 1 x x x6 x4 x2 Cho phân thức Chứng minh Q nhận giá trị âm với x 1 Hướng dẫn Thu gọn x2 x4 Q 10 0x 1 x x x6 x4 x2 x Bài 6: u uv v u u v v 1 Chứng minh đẳng thức v 3v 3v v 2v Hướng dẫn Ta có v u v u v v 1 u uv v u VT v 3v 3v v 2v v 1 Bài 7: Chứng tỏ hai phân thức A ab cx ax bc x b B ay 2cx 2ax cy x y với y x; a c Hướng dẫn A Ta có : a c x b x b B dpcm ab cx ax bc ay 2cx 2ax cy a c x y x y Bài 8: Tìm GTNN phân thức sau a) A x2 x b) B 1 2x Hướng dẫn a) Ta có: b) x x ( x 2) 2x R A x 0 x 0 x 4 ( x 2) 2 x R A x 3 1 2x 4 B x 5 Bài 9: Tìm GTLN phân thức sau A a) 12 x 1 y b) B 4x 4x y y2 Hướng dẫn -1 x= x y 3 A 4 maxA=4 y 1 a) Có: 2 2 x x y y (2 x 1) ( y 1) 1 N 5 Bmax ) Có: b 10 1 x 5 y