Vận dụng cao thầy trần công diêu chương 5 vận dụng cao hình học không gian 3

CHƯƠNG 05 (tiếp theo) BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG ĐỀ SỐ Bài 1: Cho lăng trụ lên mặt phẳng A có đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc điểm trùng với trọng tâm tam giác Biết khoảng cách hai đường thẳng Khi thể tích khối lăng trụ là: B C D Lời giải C' Gọi M trung điểm BC, dựng MH vng góc với B' Suy A' Đặt ta có: H C Từ M B Vậy A Chọn A Bài 2: Cho tứ diện ABCD với phẳng Gọi kính tiếp xúc với CD Giá trị A B cạnh cịn lại góc tạo hai mặt trung điểm cạnh BC, AD Giả sử hình cầu đường là: C D Lời giải Gọi O trung điểm F điểm tiếp xúc hình cầu đường kính IJ đường thẳng CD Hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD khoảng cách từ O đến CD nửa độ dài IJ Ta có Vì FC CI hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm nên FC=CI= Tương tự, ta có Tam giác Suy ra: cân có đường trung tuyến nên tam giác vuông J Do vậy, Chọn B Bài 3: Cho hình chóp với SA vng góc với mặt phẳng Gọi hình chiếu A lên SB SC Mặt cầu qua điểm có bán kính bằng: A B C D.Khơng đủ kiện để tính Lời giải Gọi AD đường kính đường tròn Suy ra, hay S S K K H A C 600 H A C 600 D B B Tương tự, Suy mặt cầu qua điểm Chọn A Bài 4: Cho hình chóp có đường kính có đáy tam giác cạnh Hình chiếu S lên mặt phẳng góc điểm H thuộc AB cho mặt phẳng Biết Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC: A B Lời giải + D đỉnh hình bình hành C D thì: + Kẻ HE vng góc AD, E thuộc AD Kẻ HI vuông SE, I thuộc AE + Tính Chọn A Bài 5: Cho hình chóp tam giác cạnh đến mặt phẳng A Lời giải có đường thẳng vng góc với mặt phẳng tam giác ABC Tính theo khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC B C D S Gọi M trung điểm BC, ta có Kẻ đường cao AN tam giác SAM, nên Khoảng cách từ A đến N Ta có: Kẻ A nên Khoảng cách từ G đến G Ta có: C H M B Vậy khoảng cách từ G đến Chọn A Bài 6: Cho hình chóp có Tính theo vng góc với mặt phẳng khoảng cách từ A đến mặt phẳng A B C D Lời giải S H A C M B Kẻ Ta có nên từ A đến mặt phẳng Áp dụng định lý cô sin tam giác Diện tích tam giác Mặt khác suy ta có: Vậy ta có khoảng cách Ta có Khoảng cách từ A đến mặt phẳng Chọn A Bài 7: Cho hình chóp tam giác có đường thẳng SA vng góc mặt phẳng Góc mặt phẳng mặt phẳng Tính theo thể tích khối chóp A B C D Lời giải Xét tam giác ABC, áp dụng định lý cô sin: S Với suy ra: Ta kẻ đường cao AH tam giác ABC, 3a ta có: A Do diện tích tam giác 2a H là: Vì C 4a B nên góc SHA góc mặt phẳng Xét tam giác SAH ta có: Vậy thể tích khối chóp là: Chọn B Bài 8: Cho hình chóp có đáy ABC tam giác cạnh tạo với đáy góc hình chiếu vng góc S mặt phẳng A B Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng Các mặt bên Tính thể tích V khối chóp nằm bên tam giác C D Biết Kẻ S B C F H D E A Khi ta có: Ta có suy ra: Vậy Chọn D Bài 9: Cho hình chóp tứ giác phẳng đáy thỏa mãn có đáy hình vng Mặt phẳng cạnh góc mặt bên qua AC vng góc với mặt phẳng chia khối chóp thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau: A B C D Lời giải hình chóp tứ giác Gọi trung điểm CD S Kẻ Ta có: nên mặt phẳng + Xét tam giác M A vng N có: D N O B C + Xét tam giác vuông O có: Ta có: Xét tam giác vng M có: Ta có: Mặt phẳng chia khối chóp thành hai khối Do đó: Chọn A Bài 10: Thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện có cạnh cạnh lại A B C D Lời giải Gọi I trung điểm cạnh CD A Theo đề ta có mặt phẳng trung trực cạnh CD Gọi M giao điểm BI với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Suy đường tròn lớn đường tròn Mặt phẳng cắt theo đường tròn qua BM đường kính D B I C Từ Chọn A Suy M Bài 11: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh vng góc với đáy Gọi M điểm thuộc cạnh SC cho chóp A B Mặt bên tam giác Tính thể tích hình C D Lời giải Ta có: S (là đường cao ) Suy ra: Tính : ( cạnh M ) B H Tính: N A C D Chọn B Bài 12: Cho hình chóp có đáy vng góc đỉnh S mặt phẳng đường cao tam giác A hình vng cạnh điểm hình chiếu thuộc đoạn Tính thể tích khối tứ diện B cạnh bên Gọi theo C D Lời giải Gọi tâm hình vng Ta có: S M A D O B Chọn A Bài 13: (Hình học khơng gian) Cho tứ diện Mặt phẳng tứ diện A Lời giải cắt C thuộc cho Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối bị chia mặt phẳng B C D A Gọi kẻ P Q K I H Suy Đặt B Ta có: D N M C Vậy mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích Chọn B Bài 14: Cho hình chóp vng có SA vng góc với đáy, Đáy hình thang Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A B C D Lời giải S x R K I R E A a B D H a C Gọi H trung điểm CD đường thẳng qua H vng góc với đáy Gọi I R tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp Suy I thuộc D Đặt Trong mp kẻ đường thẳng qua I song song với AH cắt AS K Ta có: Suy ra: Vậy bán kính mặt cầu Chọn C Bài 15: Cho bát diện đều, tính tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện A B C D Lời giải Gọi cạnh bát diện bát diện có mặt chéo hình vng; độ dài đường chéo Mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp có tâm O, bán kính mặt cầu ngoại tiếp Bán kính mặt cầu nội tiếp khoảng cách từ O đến mặt bên Hình có Có tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp cho khối cầu ngoại tiếp là: Chọn D Bài 16: Cho hình lăng trụ tam giác Lấy M, N cạnh A có cạnh đáy cho cạnh bên Tính thể tích V khối B C D Lời giải Gọi G, K tâm hình chữ nhật A' C' Ta có: (Do G trung điểm AB’) Xét tam giác có AG trung tuyến Suy N trọng tâm tam giác Do BM q ua trung điểm I AA’ B' K I M G C A Ta có: (Do K trung điểm A’C) Xét tam giác có H trung tuyến B Suy N trọng tâm tam giác Từ M trọng tâm tam giác Gọi Do qua trung điểm I AA’ N trọng tâm tam giác thể tích khối chóp Suy ra: Ta có: Mà Hạ AH vng góc với BC H thuộc BC Ta AH vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng cách từ A đến nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng khoảng AH Ta có: Suy : Chọn B Bài 17: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng trung điểm cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng Gọi G trọng tâm tam giác A Bán kính mặt cầu tâm G tiếp xúc với mặt phẳng B C là: D Lời giải + Gọi H trung điểm BC + S + Bán kính mặt cầu là: + Gọi E hình chiếu H AB K hình chiếu H SE Chứng minh: G M C B H E + Tính : + K A Chọn A Bài 18: Cho hình chóp có chân đường cao nằm tam giác mặt phẳng tạo với mặt phẳng góc Biết đường thẳng SB tạo với đáy góc Tính thể tích V khối chóp A B C D Lời giải S Gọi J chân đường cao hình chóp L hình chiếu J cạnh AB, BC CA Suy góc tạo mặt phẳng với mặt phẳng Theo giả thiết ta có: , suy tam giác vng Từ đó, Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng cơng thức Hê- rơng, ta tính diện tích tam giác ABC Kí hiệu P nửa chu vi tam giác ABC, bán kính đường trịn nội tiếp ABC Ta có y=9 z=17 A K z=17 y=9 J L H B K z Chọn A y J H Giải hệ phương trình ta Thể tích V khối chóp y z Ta có hệ phương trình: Ta có tam giác vng cân J x=8 x=8 A Đặt C suy SJB là x x B L C ĐỀ SỐ Bài 1: Một hình hộp có mặt hình thoi có góc hình hộp A B Lời giải Ta có: Chân đường cao C cạnh Tính thể tích D tứ diện trùng với tâm tam giác ABD Từ tìm Chọn B Bài 2: Cho hình chóp có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi thể tích khối chóp Tìm giá trị nhỏ S M P A N D C B A B C Lời giải Đặt Khi ta có: Ta có: Lại có: Từ D Từ suy ra: Khảo sát hàm số: Chọn B Bài 3: Nếu tứ diện có cạnh có độ dài lớn thể tích tứ diện lớn bao nhiêu? A B Lời giải Giả sử tứ diện C có cạnh lớn D , suy tam giác ACD BCD có tất cạnh khơng lớn Các chiều cao AF BE chúng không lớn A Chiều cao hình tứ diện (do tam giác AHF vng H có AF cạnh huyền) Thể tích khối tứ diện là: B Để tìm giá trị lớn V ta xét biểu thức Vì nên D F H C Chọn C Bài 4: Cho hình chóp phẳng vng góc với A có hình vng cạnh tam giác nằm mặt Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B C D Lời giải Trong đó: + bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác + bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng + Chọn D Bài 5: Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trùng với tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách A Tính thể tích V khối lăng trụ B C D Lời giải Gọi M trung điểm Gọi hình chiếu vng góc Vậy đoạn vng góc chung AA’ A' C' B' K BC, đó: H A vng G, HG đường cao, C G M B Chọn C Bài 6: Cho hình chóp mặt đáy Gọi diện hình chóp A có đáy ABC tam giác cạnh đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng qua B vng góc với SC Khi diện tích thiết cắt mặt phẳng B là: C D Lời giải Gọi M trung điểm AG S Kẻ BN vng góc SC N Khi đó: Thiết diện cần tìm tam giác BMN vng M N A M C Ta có: Vậy: Diện tích tam giác BMN B Chọn D Bài 7: Cho hình chóp có đáy ABC tam giác vng B, Tam giác SAB có góc nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng A B C D Lời giải Trong mp kẻ Trong tam giác BCH kẻ Ta có: C Vậy khoảng cách từ B đến BK K Xét tam giác vng CBH, ta có: A B H S Vậy Chọn B Bài 8: Cho khối trụ tam giác có đáy tam giác cạnh phẳng góc Tính thể tích khối tứ diện A B C tạo với mặt D Lời giải A1 C1 B1 A C H K B Gọi H hình chiếu mặt phẳng Khi Mà nhận thấy khối lăng trụ chia làm ba khối chóp Khối chóp có Khối chóp ; khối chóp có Chọn A Bài 9: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh vng góc với mặt phẳng đáy góc với mặt phẳng Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp SABH đạt giá trị lớn bằng: A B C Lời giải Ta có góc SC mặt phẳng Trong tam giác SBC có Trong tam giác SAB có Thể tích khối chóp Ta có D là: theo bất đẳng thức ta có: Đẳng thức xảy Khi Chọn D Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A B C D Lời giải Đặt R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Dựng hình bên với IG trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IG’ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB S K I G' C A G H B Ta có: Do vậy, Chọn B Bài 11: Bài thể tích liên quan đến cực trị: Cho hình chóp đường cao, đáy hình chữ nhật với mặt phẳng lấy G trọng tâm tam giác , qua G kẻ đường thẳng cạnh SD N, mp cắt SC K Xác định M thuộc SB cho nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ A B C D đạt giá trị lớn Lời giải S K M G N A D O B C Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD Ta có: Tương tự Do đó: và K trung điểm SC Trong cắt cạnh BS M, cắt S H N G M D O B Trong mp : Do M, N nằm cạnh SB, SD nên: Đặt Nhận thấy đạt GTLN, GTNN nếu: với Ta có Nên (loại) Do GTLN M trung điểm SB M trùng với B GTNN MB chiếm phần SB Chọn A Bài 12: Cho lăng trụ đứng B Lời giải Suy ra: tam giác cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng A Do có đáy nên thể tích khối lăng trụ C D Hạ Suy ra: Hạ Do Ta có: Chọn A Bài 13: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R Xác định chiều cao bán kính đáy để hình trụ tích lớn A B C D Lời giải Gọi chiều cao hình trụ, bán O A kính đáy hình trụ Ta có: Thể tích hình trụ là: I Xét hàm: K O' A' Từ bảng biến thiên ta có đạt giá trị lớn H B Suy Chọn B Bài 14: Một hình trụ có bán kính đáy R chiều cao Hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ Tính khoảng cách AB trục hình trụ A B Lời giải Kẻ cắt đường trịn Góc AB OO’ góc khoảng cách OO’ Khi Chọn B C D Hạ OH vng góc AB Khoảng cách AB OO’ Bài 15: Với miếng tơn hình trịn có bán kính Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng: A B C D Lời giải r I N M h R S Gọi chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình nón đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón có độ dài Bán kính đáy xác định đẳng thức Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là: Thể tích khối nón: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: Do V lớn khi: Chọn A (Lưu ý sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải dài hơn) Bài 16: Có miếng nhơm hình vng, cạnh người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau: Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ