Đang tải... (xem toàn văn)
2.. Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a.. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. Tính cạnh đáy của hình chóp. Tính độ dài cạng đáy AB. Khi quay tam giác. vuông OAB quanh cạnh góc[r]
(1)KẾ HOẠCH DẠY PHỤ ĐẠO LỚP 12 (TĂNG TIẾT)
HỌC KÌ I:
I THỜI GIAN: (3 tháng = 12 tuần)
a) Lớp 12A/4: 12 tuần x 2 tiết = 24 tiết b) Lớp 12A/7: 12 tuần x 2 tiết = 24 tiết
II NỘI DUNG:
1 Giải tích: (16 tiết) Chủ đề 1 : (8 tiết)
Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Đơn điệu (sự đồng biến và nghịch biến) của hàm số (1 tiết)
Bài 2: Cực trị (cực đại, cực tiểu) (1 tiết)
Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (2 tiết) Bài 4: Đường tiệm cận (1 tiết)
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (3 tiết) Chủ đề 2: (8 tiết)
Hàm số lũy thừa Hàm số mũ và hàm số lôgarit Bài 1: Lũy thừa (1 tiết)
Bài 2: Hàm số lũy thừa (1 tiết) Bài 3: Lôgarit (1 tiết)
Bài 4: Hàm số mũ Hàm số lôgarit (1 tiết)
Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit (2 tiết)
Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (2 tiết) 2 Hình học: (8 tiết)
Chủ đề 1: (5 tiết)
Khối đa diện Bài 1: Khái niệm về khối đa diện (1 tiết)
Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều (1 tiết) Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện (3 tiết)
Chủ đề 2: (3 tiết)
Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay (2 tiết)
(2)NỘI DUNG CHI TIẾT
1 Giải tích: (16 tiết) Chủ đề 1 : (8 tiết)
Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Đơn điệu (sự đồng biến và nghịch biến) của hàm số (1 tiết)
Ghi nhớ: Xét dấu y’ vận dụng các quy tắc sau:
* Nếu y’ là nhị thức bậc nhất (y’ = ax + b), Quy tắc: Phải cùng Trái trái dấu với hệ số a * Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có hai nghiệm phân biệt
Quy tắc: Trong trái Ngoài cùng dấu với hệ số a
* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm Quy tắc: Cùng dấu với hệ số a
Đặc biệt: * Nếu y’ là hàm bậc ba (y’ = ax3 + bx2 + cx + d) có 3 nghiệm phân biệt Quy tắc: Đổi dấu từ Phải sang Trái theo dấu hệ số a
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a/ y = x3 – 6x2 + 9x (ĐB:( ;1),(3;); NB: (1; 3)) b/ y = x4 – 2x2 (ĐB: (-1; 0),(1;); NB:( ; 1),(0;1))
c/ y =
3 2x x 7
(NB:( ; 7),( 7; )) d/ y =
2
x 5x 3
x 2
(ĐB: ( ;2),(2;))
e/ y = x + 2cosx, x
5 ; 6 6
(NB: 5 ; 6 6
) f/ y = 2x x 2 (ĐB: (0; 1); NB: (1; 2)) Bài 2: Cực trị (cực đại, cực tiểu) (1 tiết)
Tìm cực trị các hàm số sau: a/ y = x3 – 3x2 – 24 + 7 (y
CĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73)
b/ y = x4 – 5x2 + 4 (y
CĐ = y(0) = 4; yCT = y( 5 2
) = 9 4
)
c/ y =
2
x 3x 3
x 2
(yCĐ = y(1) = -1; yCT = y(3) = 3)
d/ y = sin2x (yCĐ = y(4
+ k) = 1; yCT = y( 3
4
+ k) = -1, k Z vì hàm số có chu kì T = )
e/ y = x2 x 1 (yCT = y( 1 2) =
3 2 )
Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (2 tiết)
Ghi nhớ: * GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
Bước 1: Tính f(x) Giải PT f(x) = 0 nghiệm xi ; Bước 2: Tính f(a), f(b) Bước 3: Tính f(xi) với xi [a; b] ; Bước 4: So sánh f(a), f(b) và f(xi) GTLN – GTNN
Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a/ y = x + 4
x (x > 0)((0;min y) y(2) = 4) b/ y = 2 x
4 x ((max y y(0) 4 ; ) )
c/ y = 1
sin x trên (0; ) (min y(0; ) y(2
(3)e/ y = x4 – 3x2 + 2 trên [2;5](max y y(5) 552[2;5] ; min y [2;5] y(2) = 6)
f/ y = 2 x 1 x
trên [-3; -2]([ 3; 2]
4 max y y( 2)
3
; [ 3; 2]min y y(-3) = 5 4 ) g/ y = 25 x 2 trên [-4; 4] (max y y(0) 5[ 4;4] ; min y[ 4;4] y(4) = 3)
h/ y = 2sin2x – cosx + 1
(Biến đổi về dạng: f(t) = -2t2 – t + 3 trên [-1; 1]) ( [ 1;1]
1 25 max y y( )
4 8
; min y[ 1;1] y(1) = 0)
i/ y = 2sinx – 4
3 sin3x trên [0; ]
(Biến đổi về dạng: f(t) = 2t – 4
3t3 trên [0; 1]) ( [0;1]
2 2 2 max y y( )
2 3
; min y [0;1] y(0) = 0) Bài 4: Đường tiệm cận (1 tiết)
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các hàm số sau:
a/ y =
2x 1 x 2
b/ y =
5
2 3x c/ y = 2
2
x 12x 27 x 4x 5
d/ y =
2 2 x 3x
x 4
e/ y = 2
2 x x 4x 3
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (3 tiết)
Ghi nhớ: a) PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; y0)
Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = f(x0)(x – x0) Bước 2: Tính f(x) Bước 3: Tính f(x0) Bước 4: Thay x0, y0 và f(x0) vào bước 1 b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước
Bước 1: Tính f(x) Bước 2: Giải phương trình f(x0) = k nghiệm x0
Bước 3: Tính y0 = f(x0) Bước 4: Thay x0, y0 và k = f(x0) vào PT: y – y0 = f(x0)(x – x0) Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x3 – 3x2 b/ y = - x3 + 3x – 1 c/ y = 3x – 4x3 d/ y = x3 – 3x2 + 3x – 2 Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x4 – 2x2 – 1 b/ y = 4
2
x 3
x
2 2
c/ y = - x4 + 2x2 d/ y = x4 + x2 – 2 Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y =
2x 4 x 1
b/ y =
1 2x x 2
c/ y = 6
x 3 d/ y =
2x 8 x
Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 2 + m = 0 ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + 2
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng:
A A
B A B A
x x y y
x x y y
ĐS: y = 2x + 2 Bài 5: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1
(4)b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0 ĐS: * k > 4: 1 n0; * k = 4: 2 n0; * 0 < k < 4: 3 n0; * k = 0: 2 n0; * k < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 HD: Thế x = -1 vào (C) y = 3: M(-1; 3) ĐS: y = -3x
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1
Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: 2 n0; * 1 < m < 2: 4 n0; * m = 1: 3 n0; * m < 1: 2 n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2
HD: Thế y = 2 vào (C) x =1: M(-1; 2), N(1; 2) ĐS: y = 2 Bài 7: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24 ĐS: y = 24 – 43 Bài 8: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 5
x 1 3
ĐS: y =
5x 83
3 27
; y =
5x 115
3 27
Bài 9: Cho hàm số (C): y = x 1 x 3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài 10: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4) ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = 9
x 1 8 Bài 11: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1 b) Xác định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = 1
c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x4 – 8x2 – k = 0 có 4 nghiệm phân biệt ĐS: -14 < k < 0
Bài 12: Cho hàm số (Cm): y =
mx 1 2x m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
HD: Chứng minh tử thức của y’ > 0 suy ra y’ > 0(đpcm)
c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2) ĐS: m = 2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1; 1
4) ĐS: y =
(5)Bài 13: Cho hàm số (Cm): y =
(m 1)x 2m 1 x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0 c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3; -3) ĐS: m = -4 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung x = 0, thay x = 0 vào (C) y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x – 1 Bài 14: Cho hàm số (Cm): y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m
a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1 ĐS: m = 3 2 HD: * Tìm y’, tìm y” và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x =
a 0 y ( ) 0 y ( ) 0
a 0 hay y ( ) 0
y ( ) 0
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2
HD: (Cm) cắt trục hoành tại x = -2 y = 0, thay vào (Cm) ĐS: m = 5 3 Bài 15: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định y’ 0 (hay y’ 0)
a 0
0( 0)
a 0 hay
0( 0)
* m2 – 2m + 1 0 m = 1
(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1 b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
* Để hàm số có cực trị (hay có một cực đại và một cực tiểu) y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 0(hay 0)
* m2 – 2m + 1 > 0 m 1
(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m 1 c) Xác định m để y”(x) > 6x ĐS: m < 0
Bài 16: Cho hàm số (Cm): y =
mx 3 x m 2
a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó y’ > 0 (hay y’ < 0) tử thức > 0 (hay tử thức < 0) ĐS: - 3 < m < 1
* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu b) Tìm trên (C-1) những điểm có tọa độ nguyên
(6)Bài 17: Xác định m để h/số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến trên R ĐS: 2
m 1 3
Bài 18: Định m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị ĐS: m < 2
Bài 19: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3 ĐS: m = 27
4 Bài 20: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đạt cực trị tại x = y’() = 0 (giải Pt suy ra giá trị m) ĐS: m = -4
Bài 21: Định m để hàm số y = 1 3
x3 + (m – 2)x2 – mx + 3m giảm trên R ĐS: 1 m 4 Chủ đề 2: (8 tiết)
Hàm số lũy thừa Hàm số mũ và hàm số lôgarit
A LÝ THUYẾT:
L
Ũ
Y
T
H
Ừ
A
1
n
n n thừa số a a.a a
2 a0 = 1 ( a 0) 3
1 n 1 n
n a
a a
4
n n
b a
a b
5 xn b(1): * Nếu: n lẻ và b: (1) x = n b
* Nếu: n chẵn và b < 0: (1) Không tồn tại n b * Nếu: n chẵn và b = 0: (1) x = n b = n 0 = 0 * Nếu: n chẵn bà b > 0: (1) x = n b
6 n a bn n ab 7
n n n
a a
b
b 8 m
m n
n a a
9 n k a nka 10
n
n a a khi n leû a khi n chaün
11 n1 1 (n N, n 2) 12 n 1 = - 1 ( n lẻ) 13
m
m n n
a a 14
1 n n
a a 15 a am n am n
16
n
m m.n
a a 17
m m m
ab a b 18
m
m n n
a a a
19
m m
m
a a
b b
20 * Nếu
1 m n
a
a a m n
* Nếu
0 a 1 m n a a m n
H
À
M
S
Ố
L
Ũ
Y
T
H
Ừ
A 1 y = x: * Nếu nguyên dương: TXĐ: D = R tức là x R
* Nếu nguyên âm hoặc bằng 0: TXĐ: D = R\ 0 tức là x 0 * Nếu không nguyên: TXĐ: D = (0; ) tức là x 0
2 x x1(x > 0) 3 u u u1 (u > 0) 4 * Nếu 0
m m
a b
a b m
* Nếu 0
m m
a b
a b m
(7)L Ô G A R IT
1 a b log ba
(a, b > 0; a 1); log
ab đọc là: lôgarit cơ số a của b
2 loga1 = 0 3 logaa = 1 4 a
log b
a b 5 log aa
6 loga(b1.b2) = logab1 + logab2 7
1
1 2
2
a a a
b
log log b log b
b
8
1
a a
log log b
b 9 log ba log ba
10
1 n
a a
log b log b n 11 c a c log b log b log a
12 logac.logcb = logab 13
1 a b log b log a 14 1 a a
log b log b
14 log ba log ba
15 lg1 = 0 16 lg10 = 1 17 ln1 = 0 18 lne = 1 19
a
ln b log b
lna
20 * Nếu
1
a a
a
log m log n m n
* Nếu
0 1
a a
a
log m log n m n
21 * Nếu
a
a c
c
log b m
log b log d log d m
H S M Ũ V À H S L Ô G A R IT
1
x x
e e 2 eu u eu
3 ax a lnax 4 au u a lna u 5
1 a
log x
xlna
6 a
u log u
ulna
7 1 lnx
x
8 u ln u
u
9
1 10 lgx
xln
10 10 u lgu
uln lnx đọc là: lôgarit nêpe của x hay lốc nêpe của x
logx hay lgx đọc là: lốc của x
P T M Ũ V À P T L Ô G A R IT
Phương trình mũ:
1 ax = b (1): * Nếu b > 0: PT (1) có nghiệm x = log ab * Nếu b 0: PT (1) vô nghiệm
2 ax = ay x = y
Phương trình lôgarit:
1 logax = b x = ab (x > 0; a 1 và b)
(8)B Ấ T P T M Ũ V À B Ấ T P T L Ô G A R IT
Bất phương trình mũ: 1 ax > b (1): * Nếu b > 0:
Với a > 1: PT (1) x > logab Với 0 < a < 1: PT (1) x < logab * Nếu b 0: PT (1) R
2 ax > ay (1) : * Nếu a > 1: (1) x > y * Nếu 0 < a < 1: (1) x < y
Bất phương trình lôgarit:
1 logax > b (1): * Nếu a > 1: PT(1) x > ab
* Nếu 0 < a < 1: PT(1) 0
b x a x
2 logax > logay (1): * Nếu a > 1: PT(1)
0 0 x y x y
* Nếu 0 < a < 1: PT(1)
0 0 x y x y Bài 1: Lũy thừa (1 tiết)
Bài 1: Tính: a)
4 0 75 3 1 1 16 8 ,
(24) b)
3 3 4 4
144 9: (8) c) 43 2.21 2.2 4 2
(8)
d)
3 5 2 5 1 5
6 2 3
(18) e) 48 3:(2 48.3 3 2 )(9) f) 2( 3 1 )2.4 3 (16) Bài 2: Rút gọn:
a) 3 1 3 1 a a
(a) b)
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a (a a ) a (a a )
(a) c)
1 1
3 3
6 6
a b b a a b
(3 ab) d)
1 6 a a a a a a a33 2
(a > 0) (a1772
) e)
4 2 3 23 3 2 3 (
5 24 2 3 )
Bài 3: So sánh các cặp số sau: a) 4 3
và 4 2
b) 1 9 và
3 14 1 9 , c) 310 và 5 20 d) 2300 và 3200
Bài 4: Chứng minh rằng: a)
2 5 3 2
1 1
3 3
b) 76 3 73 6 Bài 5: Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần:
a)
1 2 1 9
2 ; ( , ) ; ;
b)
2 2 2 2
3 3 3 3
0 5 1 3 2
(9)Bài 2: Hàm số lũy thừa (1 tiết)
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)
3 5 6 4
y ( x) b)
1 2 4 3
y ( x )
c) y (x 2 4)3 d) y (x 3 2x2 3x5)2 e) y (x 2 x 2)0 f) y512 x x2 Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
1
2 3
2 1
y ( x x ) b)
1 2 4 4
y ( x x ) c) y ( x )3 1 2
d) y (5 x) 3 e) y5 x2 x 4 f) y3 (x2 3x2)2 Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a)
3 5
y x b)
1 3 y x
Bài 3: Lôgarit (1 tiết)
Bài 1: Không sử dụng máy tính, hãy tính: a) 2
1 8 log
(-3) b) 14
2 log
( 1 2
) c) log3 4 3 ( 1
4) d) log0 5, 0 125,
(3)
e) log264 (6) f) 1
3 81 log
(-8) g) 4
2 5 a
log a (101 ) h) 3
4 a
log (a a) (125 ) Bài 2: Tính các giá trị sau:
a) 4log23
(9) b) 27log92
(2 2) c) 9log32
(16) d) 4log827
(9) e) log3log28 (1)
f) 2
1 10 2
8 log (10 10) g) 53 2 log54 (
125
16 ) h) 71 2 log74
(112) i) a3loga2 (64)
j)
1 10
lg ln e ln e
(2) k) eln ln3 2 e2ln 5 3 ln32 5lne1
(9)
l)
3
1 1 1
3 3 3
1
2 6 400 3 45
2
log log log
(-4) m)
3
7 7 7
1
36 14 3 21
2log log log (-2) Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a) log36.log89.log62 ( 2
3) b) log 62.log236 (4) c)
3
2 25
1
2 5
log log
( 1 12
) Bài 4: a) Cho log23 = và log25 = Tính log2600 và log2 270 theo và
ĐS: * log2600 = 3 + + 2 * log2 270 = 1
2(1 + 3 + )
b) Cho log52 = Tính log2050 theo (
2 2 1
)
c) Cho log103 = và log105 = Tính log6016 theo và ( 4 1 2
( ) ) Bài 5: So sánh các cặp số sau:
a) log35 và log74 b) log0,32 và log53 c) log210 và log530
d) 3 6 5 log
và 3 5 6 log
e) 13
9 log
và 13
17 log
f) 12
log e
và 12
(10)Bài 4: Hàm số mũ Hàm số lôgarit (1 tiết) Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = 2xex + 3sin2x (2ex(x + 1) + 6cos2x) b) y = 5x2 – 2excosx (10x + 2x(sinx – ln2cox))
c) y = 1 3x x
(
1 1 3
3x (x )ln
) d) y = 3x2 – lnx + 4sinx (6x – 1
x + 4cosx) e) y = log(x2 + x + 1) ( 2
2 1 1 10 x
(x x )ln
) f) y = 3 log x
x ( 2 1
3 lnx x ln
)
g) y = log8(x2 – 3x – 4) ( 2
2 3 3 4 8
x
(x x )ln
) h) 3 3 1 9 x
y log ( )
(
1 1 3 3 9
x x
)
i)
2
2 5
5x x y
(( x )4 1 52x x2 5ln5
) j) y 7lnx (
7ln xln7 x )
k) y ln(sinx) (cot x) l) y ln (cos x) 2 3 (6sin xln(cos x)3 3 ) m) y (x 2 x )e1 x (ex(x2 + x)) n) y (sinx cosx)e 3x (e3x(4cosx + 2sinx)) o) y ex 2008x (
2008 2008 2
x
x x
e ln
e ) p) y ln x2 2008
( 2 2008
x x ) Bài 2: Chứng minh rằng:
a) Với hàm số y = e-sinx, ta có: y’cosx – ysinx + y” = 0 b) Với hàm số y = ecosx, ta có: y’sinx + ycosx + y” = 0 c) Với hàm số y = excosx, ta có: 2y’ – 2y – y” = 0 d) Với hàm số y = (x + 1)ex, ta có: y’ – y = ex Bài 3: Tìm tập xác định của các hàm số: a) y log ( 2 5 2 x) b)
2
3 2
y log (x x) c)
2 1 5
4 3 y log (x x ) d) 0 4
3 2 1 ,
x y log
x
e)
2
3 5 6
y log ( x x ) f) y log (2x 2)
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 5x b)
1 4
x y
c) y = logx d) y = 2lnx Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit (2 tiết)
Bài 1: Giải các phương trình sau: a) (3,7)5x – 2 = 1 (
2
5 ) b) 1
25 5
x
(-2) c) 2x23x2 4
(0; 3)
d) 5x25x6 1 (-1; 6) e)
2 3 3 7
11 7
7 11
x x
(2) Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 32x – 1 + 32x = 108 (2) b) 3x + 1 + 3x – 2 - 3x – 3 + 3x – 4 = 750 (5)
c)
2 7
1 1 6
6 1
4 8 2
x
x x
(-1;
9
2) d) 5x25x6 2x3
(3; 2 + log52) Bài 3: Giải các phương trình sau:
(11)d) 2.16x – 17.4x + 8 = 0 (
3 1
2; 2) e) 4.9x + 12x – 3.16x = 0 (1) f) 2 3 2 3 4
x x
(2) g) 52x – 7x – 52x.17 + 7x.17 = 0 (0) Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5) (VN) b) log(x – 1) – log(2x – 11) = log2 (7) c) log2(x – 5) + log2(x + 2) = 3 (6) d) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) (5) e) log4(x + 2) = logx (2) f) log4x + log24x = 5(4)
g) log7(x – 1)log7x = log7x (8) h)
8 1 x
log logx x
(4)
Bài 5: Giải các phương trình sau: a)
2
1 1
5 5
2log(x x ) log x log 5x (2) b)
2 1
4 1 8 4
2log(x x ) log x log x (5) c) log x2 4log x log x4 8 13 (8) d) logx216log2x64 3 (4; 3
1 2 ) Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (2 tiết)
Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) 2x23x 4
(x < 1 hoặc x > 2) b)
2
2 3
7 9
9 7
x x
(
1
1 2 x ) c) 3x + 2 + 3x – 1 28 (x 1) d) 22x – 1 + 22x – 2 + 22x – 3 448 (x
9 2
)
e) 3x x2 6 1 (-2 < x < 3) f)
2
4 15 13
3 4 1
2 2
x x
x
(
3 2 x
) Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 4x – 3.2x + 2 > 0 (x < 0 hoặc x > 1) b) (0,4)x – (2,5)x + 1 > 1,5 (x < -1) c) 9x – 5.3x + 6 < 0 (log
32 < x < 1) d) 16x – 4x – 6 0 (x log43) Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a) 12 12
2 3 3 1
log ( x ) log ( x )
(x > 2) b) log8(4 – 2x) 2 (x - 30)
c) 15 15
3 5 1
log ( x ) log (x ) (
5
3
3x ) d) log0,2x – log5(x – 2) < log0,23 (x > 3) e) log x23 5log x3 6 0 (9 x 27) f) log3(x + 2) > log9(x + 2) (x > -1)
2 Hình học: (8 tiết) Chủ đề 1: (5 tiết)
Khối đa diện
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12
I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 sin = AB
BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cos = AC
BC (KỀ chia HUYỀN)
3 tan = AB
AC (ĐỐI chia KỀ) 4 cot = AC
AB (KỀ chia ĐỐI)
II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
H C
B
(12)1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) 2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC
4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
III ĐỊNH LÍ CÔSIN
1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV ĐỊNH LÍ SIN
a b c
2R sin A sin B sin C
V ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC ; b)
AM AN MB NC
VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1 Tam giác thường: a) S =
1 ah
2 b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2 Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h =
a 3
2 ; b) S = 2 a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3 Tam giác vuông:
a) S = 1
2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S = 1
2a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2 5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB c) AC = a 3
2 d) S = 2 a 3
8 6 Tam giác cân: a) S =
1 ah
2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8 Hình thoi: S = 1
2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường tròn) b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)
VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
N M
C B
A
60o 30o
C B
A
G P
N M
C B
(13)1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG = 2
3 BN; * BG = 2GN; * GN = 1 3BN 2 Đường cao:
Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3 Đường trung trực:
Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4 Đường phân giác:
Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1 Hình tứ diện đều:
a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy) c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2 Hình chóp đều:
a) Có đáy là đa giác đều b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3 Đường thẳng d vuông góc với mp():
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là:
d a; d b a b
a,b
d ()
b)
( ) ( ) ( ) ( ) a a d ( )
d ()
c) Đt d vuông góc với mp() thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp() 4 Góc giữa đt d và mp(): d cắt () tại O và Ad
Nếu
AH ( ) H ( )
thì góc giữa d và () là hay AOHˆ = 5 Góc giữa 2 mp() và mp():
Nếu
( ) ( ) AB FM AB;EM AB EM ( ),FM ( )
thì góc giữa () và () là hay EMFˆ = 6 Khoảng cách từ điểm A đến mp(): (hình ở mục 4)
Nếu AH () thì d(A, ()) = AH (với H ())
IX KHỐI ĐA DIỆN:
1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
F
E
M B
A
O
H A
d' d
(14)a H M
D
C B
A 2 Thể tích khối chóp: V =
1 Bh
3 (diện tích đáy là đa giác)
3 Tỉ số thể tích của khối chóp:
S.A B C S.ABC
V SA SB SC V SA SB SC
4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1
Bh
3 (diện tích đáy là đường tròn)
6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = R2h ( h: chiều cao khối trụ)
8 Diện tích của mặt cầu: S = 4R2 (R: bk mặt cầu )
9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V =
3 4
R
3 (R: bán kính mặt cầu) Bài 1: Khái niệm về khối đa diện (1 tiết)
Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều (1 tiết) Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện (3 tiết)
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
HD: * Đáy là BCD đều cạnh a H là trọng tâm của đáy * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =
1 3Bh =
1
3SBCD AH * Tính: SBCD = 2 3
4 a
(BCD
đều cạnh a)
* Tính AH: Trong VABH tại H :
AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH =
2
3 BM với BM =
3 2 a
) ĐS: V =
3 2 12 a
Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a
HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a H là giao điểm của 2 đường chéo
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a * Tính: V =
1 3Bh =
1
3SABCD SH * Tính: SABCD = a2 * Tính AH: Trong VSAH tại H:
SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH =
2 2 a
) ĐS: V =
3 2 6 a
Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a ĐS: V =
3 2 3 a
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
HD: a) * Đáy A’B’C’ là đều cạnh a AA’ là đường cao
* Tất cả các cạnh đều bằng a
* VABC.A B C = Bh = SA B C .AA’
a H
S
D
C B
A
B' A'
C
(15)* Tính: SA B C = 2 3
4 a
(A’B’C’ là đều cạnh a) và AA’ = a ĐS: VABC.A B C =
3 3 4 a
b) VA BB C = 1
3 VABC.A B C ĐS: 3 3 12 a
( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C
= 600, đường chéo
BC’
của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300.
a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a) * Xác định là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’) + CM: BA ( ACC’A’)
BA AC (vì ABC vuông tại A) BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) + = BC A
= 300 * Tính AC’: Trong VBAC’ tại A (vì BA AC’) tan300 =
AB
AC AC’ = 300
AB
tan = AB 3
* Tính AB: Trong VABC tại A, ta có: tan600 =
AB AC
AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) ĐS: AC’ = 3a b) VABC.A B C = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC =
1
2AB.AC =
1
2.a 3.a = 2 3
2 a
* Tính CC’: Trong VACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = 2a 2 ĐS: VABC.A B C = a3 6
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều
các
điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600 Tính thể tích của lăng trụ.
HD: * Kẻ A’H (ABC)
* A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ABC đều cạnh a * Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là = A A H
= 600
* Tính: VABC.A B C = Bh = SABC.A’H
* Tính: SABC = 2 3
4 a
(Vì ABC đều cạnh a) * Tính A’H: Trong VAA’H tại H, ta có:
tan600 =
A H AH
A’H = AH tan600 =
2
3AN. 3 = a
ĐS: VABC.A B C = 3 3
4 a
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a.
Tính thể tích của lăng trụ HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a * Tính: VABC.A B C = Bh = SABC.AA’
C'
60 30
C' B'
A'
C B
A
a 60
N H
C'
B' A'
C
B A
2a 3a
C' B'
(16)* Tính: SABC = 1
2 AB.AC (biết AC = a)
* Tính AB: Trong VABC tại A, ta có:
AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2 ĐS: VABC.A B C =
3 3 3
2 a
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A
= 600 Chân đường vuông góc
hạ từ
B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy Cho BB’ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD
* B’O (ABCD) (gt)
* Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là = B BO
* Tính = B BO
: Trong VBB’O tại O, ta có: cos =
OB BB =
OB a
+ ABD đều cạnh a (vì A
= 600 và AB = a) DB = a OB =
1
2 DB = 2 a
Suy ra: cos =
1
2 = 600
b) * Đáy ABCD là tổng của 2 đều ABD và BDC SABCD= 2 2 3
4 a
=
2 3 2 a
* VABCD.A B C D = Bh = SABCD.B’O = 2 3
2 a
.B’O * Tính B’O: B’O =
3 2 a
(vì B’BO là nửa tam giác đều) ĐS:
3 3
4 a
Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH
a) Chứng minh: SABC
b) Tính thể tích của hình chóp HD: a) Gọi M là trung điểm của BC
* CM: BCSH (SHmp( ABC))
BC AM
BCmp(SAM) Suy ra: SABC (đpcm) b) * Tất cả các cạnh đều bằng a
* Tính: VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC SH * Tính: SABC = 2 a 3
4
* Tính SH: Trong VSAH tại H, ta có: SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH =
2
3 AM mà AM =
a 3
2 vì ABC đều cạnh a) ĐS: VS.ABC =
3 a 2
12
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy
một
góc 600 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
a A
a
60 a
O
D' C'
B' A'
D C
B A
a
M H
C
B A
(17)b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC
HD: a) Hạ SH (ABC) H là trọng tâm của ABC đều cạnh a Gọi E là trung điểm của BC
* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là =
SA E = 600 * Tính:
S.DBC S.ABC
V SD SB SC SD
V SA SB SC SA
* Tính SD: SD = SA – AD
* Tính SA: SA = 2AH (vì SAH là nửa tam giác đều) và AH =
2
3AE mà AE = a 3
2 vì ABC đều cạnh a Suy ra: SA =
2a 3 3
* Tính AD: AD =
AE
2 ( vì ADE là nửa tam giác đều) Suy ra: AD =
a 3 4
* Suy ra: SD =
5a 3
12 ĐS:
S.DBC S.ABC
V SD 5
V SA 8
b) Cách 1: * Tính VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC.SH * Tính: SABC = 2 a 3
4 (vì ABC đều cạnh a)
* Tính SH: Trong VSAH tại H, ta có: sin600 =
SH
SA SH = SA.sin600 = a Suy ra: VS.ABC =
3 a 3
12
* Từ
S.DBC S.ABC
V 5
V 8 Suy ra: VS.DBC = 3 5a 3
96
Cách 2: * Tính: VS.DBC =
1 3Bh =
1
3SDBC.SD * Tính: SDBC = 1
2DE.BC
* Tính DE: Trong VADE tại D, ta có: sin600 =
DE
AE DE = AE.sin600 =
3a
4 Suy ra: SDBC = 2 3a
8
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và
vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB a) Chứng minh rằng: SH (ABCD)
b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) * Ta có: mp(SAB) (ABCD)
* (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB) * SH AB ( là đường cao của SAB đều)
Suy ra: SH (ABCD) (đpcm)
b) * Tính: VS.ABCD =
1 3Bh =
1
3SABCD.SH
* Tính: SABCD = a2 * Tính: SH =
a 3
2 (vì SAB đều cạnh a)
ĐS: VS.ABCD =
3 a 3
6
60
E D
a H
C
B A
S
S
D a
H C
(18)Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo
với đáy
một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó.
HD: * Hạ SH (ABC) và kẻ HM AB, HNBC, HP AC
* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là = SMH
= 600 * Ta có: Các vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh
góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600)
* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC * Tính: VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC SH
* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)
= p(p AB)(p BC)(p CA) (công thức Hê-rông) * Tính: p =
5 6 7 9 2
a a a a
Suy ra: SABC = 6 6a2 * Tính SH: Trong VSMH tại H, ta có: tan600 =
SH
MH SH = MH tan600
* Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH MH =
ABC S
p = 2 3 6 a
Suy ra: SH = 2a 2 ĐS: VS.ABC = 8a3 3
Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
3 3 6 a
Tính độ dài cạnh bên của hình chóp ĐS: SA =
5 2 a
Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng
3 2
a
và thể tích bằng a3
Tính cạnh đáy của hình chóp ĐS: AB = a 2
Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a3/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một
góc 600 Tính độ dài cạng đáy AB ĐS: AB = a 3
Chủ đề 2: (3 tiết)
Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay (2 tiết)
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3 Khi quay tam giác
vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15
Tính: AB = 5 ( AOB tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OB OA = 2 1
3 4
3 = 12
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
7a
6a 5a
N
M H
P
C
B A
60 S
S
3 4
A
(19)b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2
* Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OB SO =
3 2
1 3
3
3 3
a a a
Tính: SO =
2 3
3 2
a a
(vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = a2 2
Tính: SA = a 2; OA = a ( SOA tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy = a2 2 + a2 = (1 + 2) a2
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO =
3 2
1
3 3
a a a
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = 2
l
.l =
2 2 l
Tính: OA = 2
l
( SOA tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2 2 l
+
2 2
l
=
2 1 1
2
2 l
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO =
2 3
1
3 2 2 6 2
l l l
Tính: SO = 2
l
( SOA tại O)
Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A
= B
= 300
hay ASO
= BSO
= 600
* Sxq = Rl = .OA.SA = .a 3.2a =
2
2a 3
Tính: OA = a 3; SA = 2a ( SOA tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2
2a 3 + 3a2 =
2 2 3 3 a
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO =
2 3
1 3
3 a aa
2a
A B
O
45 S
B A
O
l
45 S
B A
O
120
a S
B A
(20)
Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A
= B
=
* Sxq = Rl = .OA.SA = lcos.l =
2
l cos
Tính: OA = lcos ( SOA tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2
l cos
+ l2cos2 = 1cos l cos2
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO
=
2 1 3
2
.l cos lsin
=
3 3 2 l cos sin
Tính: SO = lsin ( SOA tại O)
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2a2.
Tính thể tích của hình nón
HD: * Sxq = Rl Rl = 2a2 R =
2 2
2 2
2
a a a
l a
* Tính: SO = a 3 ( SOA tại O)
* V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO =
3 2
1 3
3
3 3
a a a
Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9 Tính thể tích của hình
nón
HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều * Sđáy = R2 9 = R2 R2 = 9 R = 3
* SO =
3 2 3
3 3
2 2
AB R
* V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO = 2 1
3 3 3 9 3 3
Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600 Tính diện tích của thiết diện này
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = 2
a
.a =
2 2 a
Tính: OA = 2
a
( SOA tại O)
l
S
B A
O
2a
S
B A
O
45 a
S 60
S
B A
(21)* Stp = Sxq + Sđáy =
2 2 a
+
2 2
a
=
2 1 1
2
2 a
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO =
2 3
1
3 2 2 6 2
a a a
Tính: SO = 2
a
( SOA tại O)
c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600: SMO
= 600
* SSAC =
1
2SM.AC = 1 2 .
6 3 a
2 3 3 a
=
2 2 3 a
* Tính: SM =
6 3 a
( SMO tại O) * Tính: AC = 2AM = 2 3
3 a
* Tính: AM = OA2 OM2 =
3 3 a
* Tính: OM =
6 6 a
( SMO tại O)
Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích của thiết diện đó
HD: a) * Sxq = Rl = .OA.SA = .25.SA = 25 1025(cm2)
Tính: SA = 1025 ( SOA tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 25 1025 + 625
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO =
2 2 1
25 20 3 (cm3)
c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH SI OH = 12cm
* SSAB =
1
2.AB.SI = 1
2 .40.25 = 500(cm2)
* Tính: SI =
OS.OI OH =
20 12
.OI
= 25(cm) ( SOI tại O)
* Tính: 2
1
OI = 2 1
OH - 2 1
OS OI = 15(cm) ( SOI tại O)
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
* Tính: AI = OA2 OI2 20(cm) ( AOI tại I)
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có
cạnh huyền bằng a 2
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A
= B
= 450
l
h O I
H
B A
S
C
M B
(22)* Sxq = Rl = .OA.SA =
2 2 a
.a =
2 2 2 a
Tính: OA = 2
AB
=
2 2 a
; Tính: SA = a ( SOA tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2 2 2 a
+
2 2
a
=
2 2 1
2 ( ) a
b) V =
2 1
3R h =
2 1
3.OA SO =
2 3
1 2 2
3 2 2 12
a a a
Tính: SO =
2 2 a
( SOA tại O)
c) * Kẻ OM BC SMO
= 600 ; * S SBC =
1
2SM.BC =
1 2 2 2 3 3
a a
=
2 2 3 a
* Tính: SM =
2 3 a
( SOM tại O) * Tính: BM = 3 a
( SMB tại M)
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R.2R = 4R2
* OA =R; AA’ = 2R
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .R R2 2 2 R3
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2)
* OA = 5cm; AA’ = 7cm
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2)
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .52.7 = 175(cm3)
c) * Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm
* SABB A = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)
* AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) ( OAI tại I)
Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và
trục của hình trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.r r 3 = 2 3 r2
C
M a 2
S
B
A O
A
B O
O' A'
B'
l h
h r
l
B' A' O'
I
O B
A
A
(23)* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2r2 3 + 2r2 = 2 ( 3 1 )r2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .r r2 3 r3 3
c) * OO’//AA’ BAA
= 300
* Kẻ O’H A’B O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB
và trục OO’ của hình trụ
* Tính: O’H =
3 2 r
(vì BA’O’ đều cạnh r)
* C/m: BA’O’ đều cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r
* Tính: A’B = r ( AA’B tại A’)
Cách khác: * Tính O’H = O A 2 A H 2 =
2
2 3
4 2
r r r
( A’O’H tại H)
* Tính: A’H = 2
A B
= 2
r
* Tính: A’B = r ( AA’B tại A’)
Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình
trụ là R 2.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R R 2 = 2 2 R2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 R2 + 2R2 = 2 ( 2 1 )R2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .R R2 2 R3 2
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
( Cách giải và hình vẽ như bài 14)
ĐS: a) * Sxq = 2Rl = 5000(cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 + 5000 = 10000(cm2)
b) * V = R h2 = 125000(cm3)
c) * O’H = 25(cm)
Bài 2: Mặt cầu (1 tiết)
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và
AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD * Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh: DAC vuông tại A OA = OC = OD = 1 2CD
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
* Chứng minh: DBC vuông tại B OB = 1 2 CD
r 3
H B
O' A'
R 2 R
A' O'
O A
(24)* OA = OB = OC = OD =
1
2CD A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; 2 CD
)
b) * Bán kính R = 2
CD
=
1
2 AD2 AC2 = 1
2 AD2 AB BC2 2
=
1 2
2 2 2 5 2
25 9 16
2 a a a a
* S =
2
2 5 2
4 50
2
a a
; * V = 4
3 R3 =
3
3 4 5 2 125 2
3 2 3
a a
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy) Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS
b) R = OA =
2 2 a
; S = 2a2; V =
3 2
3 a
Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a SA = 2a và vuông
góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) * Gọi O là trung điểm SC
* Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC
lần lượt vuông tại A, D, B
* OA = OB = OC = OD = OS = 2
SC
S(O; 2 SC
)
b) * R = 2
SC
=
1
2 SA2 AB BC2 2 = 6 2 a
* S =
2
2 6
4 6
2
a a
; * V =
3 3
4 6
6
3 2
a a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và
ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
HD: * Gọi I là trung điểm AB Kẻ vuông góc với mp(SAB) tại I
* Dựng mp trung trực của SC cắt tại O OC = OS (1)
* I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (vì SAB vuông tại S)
OA = OB = OS (2)
* Từ (1) và (2) OA = OB = OC = OS
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
* R = OA =
2 2
2 2
2 2
SC AB
OI AI =
2 2 2
4 a b c
* S =
2
2 2 2
2 2 2
4
4
a b c (a b c )
C
B A
2a
a S
O
D
C B
A
c
b
a I
O S
C
B
(25)* V =
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 1
3 4 6
a b c (a b c ) a b c