Vận dụng cao thầy trần công diêu chương 5 vận dụng cao hình học không gian 2

CHƯƠNG 05 (tiếp theo) BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ MẶT NĨN – KHỐI NĨN Định nghĩa mặt nón Δ Cho đường thẳng Xét đường thẳng cắt O không vng góc với Mặt trịn xoay sinh đường thẳng quay quanh gọi mặt nón trịn xoay hay đơn giản mặt nón - gọi trục mặt nón O - gọi đường sinh mặt nón - O gọi đỉnh mặt nón - Nếu gọi góc gọi góc đỉnh M mặt nón Hình nón khối nón Cho mặt nón với trục , đỉnh O góc đỉnh Gọi mặt phẳng vng góc với I khác O Mặt phẳng cắt mặt nón theo đường trịn có tâm I Gọi mặt phẳng vng góc với O Khi đó: - Phần mặt nón giới hạn mặt phẳng với hình trịn xác định gọi hình nón - Hình nón với phần bên gọi khối nón Diện tích hình nón thể tích khối nón - Diện tích xung quanh hình nón: với R bán kính đáy, - Thể tích khối nón: với R bán kính đáy, độ dài đường sinh chiều cao Lý thuyết ngắn gọn thế, nhiên có nhiều tập vận dụng cao đòi hỏi khả tư cao BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một hình thang cân Cho hình thang quay quanh A có đáy nhỏ đáy lớn cạnh bên vật trịn xoay tích bằng: B C Lời giải D H K C M A B N D Kẻ vng góc với CD Gọi điểm đối xứng H qua AD K qua BC tam giác MAD tam giác NBC tam giác vng cân có Chọn A Bài 2: Cho hình bình hành có quanh AB, ta vật trịn xoay tích là: A B C Quay D Lời giải Kẻ Các tam giác vuông HAD NBC D C a α A H B N Khi quay quanh AB, tam giác vng tạo thành hai hình nón trịn xoay nên: Chọn C Bài 3: Cho hình lập phương Gọi O’, O tâm hai hình vng ABCD và Gọi thể tích hình trụ tròn xoay đáy hai đường tròn ngoại tiếp hình vng thể tích hình nón trịn xoay đỉnh O’ đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích A Lời giải B Gọi M trung điểm AB tam giác OAM vuông cân M là: C D.6 B C O R2 M R1 D B Chọn D Bài 4: Cho vuông cân C, nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính AB.Xét điểm S nằm ngồi mặt phẳng cho tạo với góc Hãy chọn phát biểu đúng: A Hình nón đỉnh S, đáy đường trịn ngoại tiếp hình nón trịn xoay B Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân C Khoảng cách từ O đến thiết diện qua đỉnh D Cả Lời giải Kẻ Ta có : Vậy, O’ tâm đường trịn ngoại tiếp nên có nên tam giác vng cân S:B Vì vng cân C nên kẻ thì: Chọn D Bài 5: Cho tứ diện có OAB tam giác vng cân Xét hình nón trịn xoay đỉnh C, đáy đường trịn tâm O, bán kính A Hãy chọn phát biểu sai: A Đường kính hình nón B Khoảng cách từ O đến thiết diện C Thiết diện tam giác D Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc Lời giải Tam giác OAB vng cân O nên Vì sai Chọn C Bài 6: Hình nón trịn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: A B C D Lời giải Gọi tứ diện cạnh A Gọi H trung điểm cạnh BC Kẻ S đường sinh hình nón Ba điểm thẳng hàng C A H O B Chọn A Bài 7: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: A B C D Lời giải S Kẻ a Ta có: A O C H B Chọn C Bài 8: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy đường trịn tâm O, bán kính Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng cách từ O đến thiết diện là: A B C D Lời giải kẻ Kẻ nên Chọn B Bài 9: Hình nón trịn xoay có trục với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F cho Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm: A B C D Lời giải Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì: S Ta có: r A Vậy Chọn B R I O' O B CHỦ ĐỀ MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ Định nghĩa mặt trụ Δ Cho đường thẳng Xét đường thẳng song song với , cách khoảng R Khi đó: Mặt trịn xoay sinh đường thẳng gọi mặt trụ tròn xoay hay đơn giản mặt trụ gọi trục mặt trụ, gọi đường sinh R gọi bán kính mặt mặt trụ Hình trụ khối trụ Cắt mặt trụ trục , bán kính R mặt - phẳng phân biệt R M1 R M l1 l vng góc với ta giao tuyến hai đường tròn a) Phần mặt trụ nằm hai mặt phẳng gọi hình trụ - Hai đường trịn với hai hình trịn xác định gọi hai đường trịn đáy, hình trịn xác định chúng gọi mặt đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ Khoảng cách mặt đáy gọi chiều cao hình trụ - Nếu gọi O O’ tâm hai hình trịn đáy đoạn OO’ gọi trục hình trụ - Phần mặt trụ nằm đáy gọi mặt xung quanh hình trụ b) Hình trụ với phần bên gọi khối trụ Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Với R bán kính đáy, chiều cao - Diện tích xung quanh hình trụ: - Diện tích tồn phần hình trụ: - Thể tích khối trụ ( chiều cao nhân diện tích đáy) Trước hết xin nhắc lại, hai đề Minh họa tháng 10 vừa Bộ Giáo dục Đào tạo , hai mức vận dụng thấp BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Từ tơn hình chữ nhật kích thước người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):  Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng  Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu thể tích gị thùng theo cách tổng thể tích hai gị thùng theo cách Tính tỉ số ↓ A B C D Lời giải Một đường trịn có bán kính chu vi diện tích Gọi chiều dài tơn tổng diện tích đáy thùng theo cách là: Chọn C Bài 2: Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có Gọi M, N trung điểm AD, BC Quay hình chữ nhật xung quanh trụ MN, ta hình trụ Tính diện tích tồn phần hình trụ A M D A B C B D N C Trích đề minh họa THPT Quốc gia 2017 Lời giải Ta có Ta có bán kính đường trịn chiều cao Suy Chọn A Sau tìm hiểu tốn khó hồn tồn có đề thi THPT Quốc gia 2017 Bài 3: Cho thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A, B thuộc đường trịn tâm O) Cho biết thể tích hình trụ Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng là: A B C D Lời giải Kẻ B' O' A' Và Ta có Mà B H O A Chọn B Bài 4: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau: A Vừa đủ B Thiếu 10 viên C Thừa 10 viên D Khơng xếp Lời giải Vì chiều cao viên phấn 6cm, nên chọn đáy hộp carton có kích thước Mỗi viên phấn có đường kính 1cm nên hộp ta đựng 5.6=30 viên Số phấn đựng 12 hộp là: viên Do ta có 350 viên phấn nên thiếu 10 viên, nghĩa đựng đầy 11 hộp, hộp 12 thiếu 10 viên Chọn B Bài 5: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao A Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho Tính thể tích khối tứ diện A B C D Lời giải Kẻ đường sinh AA’ Gọi D điểm đối xúng A’ qua O’ H hình chiếu vng góc B đường thẳng A’D Do đó, BH chiều cao tứ diện Thể tích khối tứ diện Tam giác vuông A’ cho: Tam giác Suy A' tam giác cạnh A O' H D B Từ Do nên tam giác vng cân O Diện tích tam giác là: 2a A a O Vậy Chọn A Bài 6: Cho lăng trụ đáy tam giác có góc Gọi thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính tỉ số A B C Lời giải Áp dụng đinh lý cosin tam giác ABC ta c Diện tích tam giác ABC là: Mặt khác: C' A' O' B' C A 600 O B với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC D Ngồi ra: bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Hình trụ ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ cho có bán kính đáy chiều cao hình lăng trụ Giả sử chiều cao hình lăng trụ, ta có: và có chiều cao Vậy Chọn A Bài 7: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy Tính thể tích khối trụ A B chiều cao nội tiếp khối trụ C D Lời giải Hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABC tam giác cạnh a nên hình trụ có bán kính là: C' O' M' B' A' với Chiều cao hình trụ chiều cao lăng trụ Vậy thể tích khối trụ là: C M O B A Chọn A Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho A B C D Lời giải Giả sử khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho Từ giả thiết, suy hình trụ có chiều cao đáy hình vng nội tiếp đường trịn bán kính D' O' A' C' B' Do Diện tích hình vng là: D A O Vậy thể tích khối lăng trụ cho là: B C Chọn A Bài 9: Một khối lăng trụ tam giác cạnh đáy góc đường chéo mặt bên mặt đáy Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ A B C D Lời giải Xét hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy góc đường chéo A’B với mặt đáy Suy ra: Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ có đường cao A’A, đáy đường tròn ngoại tiếp hai mặt đáy , C' B' A' C có bán kính R cho B Thể tích khối trụ: a (đvdt) A Chọn A Bài 10: Cho hình trụ có bán kính đáy R=5, chiều cao h=6 Một đoạn thẳng AB có độ dài 10 có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ? A B C D Lời giải Gọi hai đường tròn đáy Kẻ hai đường sinh ta tứ giác hình chữ nhật Do đó, khoảng cách OO’ AB khoảng cách từ O đến Tam giác ACB vuông C nên ta có: B O' D C Gọi I trung điểm AC, ta có: I O A Vậy khoảng cách đường thẳng AB trục OO’ hình trụ là: Chọn B Bài 11: Cho hình lăng trụ tứ giác có cạnh đáy vng Tính diện tích xunng quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ A B C Lời giải mặt chéo hình D Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tứ giác chiều cao (Do mặt chéo Diện tích xung quanh hình trụ là: có bán kính đáy là hình vng nên D' ) C' O' A' B' D C O A B Chọn A Bài 12: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R A B C D Lời giải Giả sử đường tròn O, Từ A vẽ đường song song OO’ cắt đường tròn A’ O A Vẽ O’H vng góc A’B Từ H vẽ đường thẳng song song với OO’, cắt AB K Vẽ Ta có: nên: I K Vậy tứ giác hình chữ nhật Vậy KI đoạn vng góc chung AB vng O' A' H B Do H trung điểm A’B nên: Do đó: Chọn A Bài 13: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ A B C D Lời giải Gọi R Ta có: bán kính đáy chiều cao hình trụ (khơng đổi) O Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương, Ta có: h (hằng số) R O' Do đó: S tồn phần đạt giá trị nhỏ Chọn A Bài 14: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Bên hình trụ có hình lăng trụ tứ giác nội tiếp Nếu thể tích hình lăng trụ V thể tích hình trụ bao nhiêu? A B C D Lời giải Gọi cạnh đáy lăng trụ Thiết diện qua hình trụ hình vng D' C' O' Thể tích lăng trụ V A' B' Thể tích hình trụ tính theo D Thay Chọn A C O A B CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ Bài 1: Một hộp hình lập phương cạnh bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ A B C D Lời giải B Ta có ; C O A E D Thể tích là: B' C' O' Chọn C D' A' Bài 2: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 Tính thể tích A B C D Đề Thi Thử Lần Chuyên KHTN HN 2017 Lời giải Thật phần phía tính từ A hình trụ có chiều cao AB bán kính O’B Ta xét mặt thiết diện qua trục khối trụ trục dài eip có: B O C A Chọn D Bài 3: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có kích thước (biết giá tơn 90000 đồng) cách: Cách 1: Gị tơn ban đầu thành hình trụ hình Cách 2: Chia chiều dài tơn thành phần gị tơn thành hình hộp chữ nhật hình Biết sau xây xong bể theo dự định, mức nước đổ đến giá nước cho đơn vị nghiệp Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo chọn cách làm để khơng vượt q kinh phí (giả sử tính đến chi phí theo kiện tốn) Hình Hình 1m 6m 4m A Cả cách C Cách Lời giải Ở cách 2: 6m 4m B Không chọn cách D Cách Ta có Do tổng tiền phương án Ở cách 2: Ta có Do tiền nước: 253.454 đồng Tổng tiền: 2.053.454 đồng Vậy thầy nên chọn cách Chọn C Bài 4: Cho khối cầu bán kính R Đâm thủng khối cầu khối trụ có trục qua tâm mặt cầu chiều dài hình trụ thu (xem hình vẽ) Tính thể tích vật thể lại sau đục thủng A B C D Lời giải Gọi bán kính khối trụ Khi hai chỏm cầu có chiều cao Thể tích vật thể lại Nhận xét: Kết khơng phụ thuộc vào bán kính R mà phụ thuộc vào chiều dài hình trụ Chọn A Bài 5: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép , phần thừa) A B C Lời giải D 30cm 10cm A ; Chọn D Bài 6: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh ống lõi B C hình trụ rỗng có đường kính Biết độ dày giấy cuộn đường kính cuộn giấy Tính chiều dài cuộn giấy A B C D Lời giải Gọi chiều rộng băng giấy , chiều dài băng giấy L độ dày giấy ta tích băng giấy: Khi cuộn lại ta tích: Từ suy ra: Bài 7: Xét hình trụ nội tiếp tronh hình nón hình bên , S đỉnh hình nón, O tâm đường trịn mặt đáy Các đoạn AB, CD đường kính đường trịn đáy hình nón hình trụ ; AC, BD cắt điểm Biết tỉ số thể tích hình trụ hình nón Tính tỷ số A B C D Lời giải Ta có: Theo định lý tam giác ta có: hay Chọn C Bài 8: Một hình hộp chữ nhật kích thước chứa khối cầu lớn có bán kính tám khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là: A B C D Lời giải Gọi tâm hình cầu lớn I tâm bốn hình cầu nhỏ tiếp xúc với đáy ABCD Khi ta có hình chóp với cạnh bên cạnh đáy chiều cao hình chóp Suy khoảng cách từ tâm I đến mặt đáy chữ nhật : hay chiều cao hình hộp suy thể tích hình hộp Chọn A Bài 9: Người ta dùng loại vải vintage33 để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối có dạng hình cầu đường kính Biết vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này? A đồng B đồng C đồng D đồng Lời giải Với Vậy Vậy cần tối thiểu số tiền: Chọn C Bài 10: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm hình trụ nửa hình cầu đầu, biết hình cầu có đường kính chiều dài hình trụ Hỏi bồn chứa tối đa lít xăng giá trị sau đây? A B đồng 3,62m 1,8m C D Lời giải Ta có: Vì thể tích nửa hình cầu nên tổng thể tích nửa hình cầu khối cầu có Vậy Vậy bồn xăng chứa: 12265 Chọn C Bài 11: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao bán kính đáy cốc miệng cốc Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa số lựa chọn sau: A B C 4cm B D B G 3cm G C A A D Lời giải Suy Vậy lượng nước tối đa Chọn B Bài 12: Cho sáu khối chóp tứ giác lắp ghép lại tạo thành khối lập phương hình Biết sáu khối chóp cho thể tích khối lập phương tạo thành Tính diện tích xung quanh khối chóp tứ giác cho? A B S A B M O D C C D Lời giải Gọi độ dài cạnh hình lập phương , ta có: Giả sử hình chóp hình chóp, hình chóp có cạnh đáy Kẻ Xét O ta có: Vậy Chọn D Bài 13: Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Người ta cắt bỏ tam giác cân bên nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm để khối chóp nhận tích lớn A B C D Lời giải x h x y z x Ta có: Chiều cao hình chóp: lớn hàm số đạt GTLN Chọn A Bài 14: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích , chiều cao chỏm cầu bán kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống khoét thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xun qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần dưa cịn lại A B C Lời giải Đặt bán kính hình cầu Chiều cao lỗ 12 nên chiều cao chỏm cầu lag Bán kính chỏm cầu, bán kính đáy hình trụ là: Thể tích hình trụ Thể tích chỏm cầu: Thể tích lỗ là: H A O K B D Thể tích hình cầu Chọn C nên thể tích cần tìm :