Vận dụng cao thầy trần công diêu chương 4 vận dụng cao số phức chương 4 so phuc phan 1

CHƯƠNG 04 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC …………………………………………………………  Các khái niệm Chủ đề Các tốn tính tốn số phức  Bài tập áp dụng  Lời giải chi tiết Chủ đề Phương trình số phức  Bài tập áp dụng  Lời giải chi tiết Chủ đề Các toán liên quan đến biểu diễn điểm, tập hợp điểm  Bài tập áp dụng  Lời giải chi tiết CHƯƠNG 04 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC Trong chương trình phổ thơng, tốn số phức thường đơn giản, khơng q khó Tuy nhiên có toán vận dụng vận dụng cao mà chúng a không nghiên cứu kĩ lưỡng, lần gặp khó giải Trước đến với lớp toán nhắc lại khái niệm Các khái niệm Định nghĩa - Một biểu thức dạng với gọi số phức - Đối với số phức ta nói phần thực, phần ảo - Tập hợp số phức kí hiệu  Hai số phức - Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng - Cơng thức: - Biểu diễn hình học số phức Điểm hệ tọa độ vng góc - Môđun số phức Cho số phức véctơ - gọi điểm biểu diễn số phức có điểm biểu diễn gọi mô đun số phức Độ dài kí hiệu Cơng thức  Số phức liên hợp - Cho số phức số phức dạng Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia - Cho số phức ta có - Cho số phức ta có - Cho số phức Cho số phức ta có (với Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai thức nếu:  mặt phẳng tọa độ gọi số phức liên hợp ) tacó : với - phương trình có nghiệm thực - phương trình có hai nghiệm thực phân biệt - phương trình có hai nghiệm phức Acgumen số phức ĐỊNH NGHĨA Phương trình có biệt Cho số phức Gọi điểm mặt phẳng phức biểu diễn số Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu tia cuối gọi acgumen CHÚ Ý Nếu acgumen (hình dưới) gọi acgumen có dạng (người ta thường nói: Acgumen xác định sai khác ) y M(z) O x  Dạng lượng giác số phức Xét số phức Kí hiệu (hình dưới) dễ thấy rằng: Vậy viết dạng mơ đun acgumen y M (a+bi) r O ĐỊNH NGHĨA Dạng Dạng x , gọi dạng lượng giác số phức , gọi dạng đại số số phức Nhận xét Để tìm dạng lượng giác cho trước ta cần: Tìm mơ đun biểu diễn số mặt phẳng phức Tìm acgumen số khác khoảng cách từ gốc số thực cho số đo góc lượng giác tia đầu CHÚ Ý số phức tia cuối đến điểm số Khi acgumen khơng xác định (đôi coi acgumen số thực tùy ý viết Cần để ý đòi hỏi dạng lượng giác số phức  Nhân chia số phức lượng giác Ta công thức nhân chia số phức dạng đại số Sau định lý nêu lên công thức nhân chia số phức dạng lượng giác; chúng giúp cho quy tắc tính tốn đơn giản nhân chia số phức ĐỊNH LÝ Nếu ; Thì Nói cách khác, để nhân số phức dạng lượng giác, ta lấy tích mơ đun tổng acgumen; để chia số phức dạng lượng giác ta lấy thương mô đun hiệu acgumen Chứng minh Mặt khác, ta có Theo cơng thức nhân số phức, Ta có:  Cơng thức Moa-vrơ (Moivre) Từ cơng thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số ngun dương Và ta có Cả hai cơng thức gọi cơng thức Moa – vrơ  Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức có bậc hai Để nắm kiến thức học sinh cần phải luyện tập nhiều tập, xin ý để làm tập sau quý bạn đọc cần phải vững phần số phức CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TÍNH TỐN SỐ PHỨC Bài 1: Cho hai số phức thảo mãn Tính A B C D Nhận xét: Bài nhìn vào khó, em cần phải bình tĩnh, cần gọi sau viết hết giả thiết đề cho: Và viết cần tính bình phương lên dùng giả thiết Lời giải Ta có: Vậy: Chọn A Bài 2: Tính A B Lời giải Ta có Suy Chọn A Bài 3: Tìm số phức có A B Lời giải Đặt Hãy quan sát cần tính thấy cần có kết quả: C D và C D Khi ta có: Do giá trị lớn đạt Chọn C Bài 4: Trong số phức thỏa mãn Tìm số phức A B C D để Lời giải Giả sử Vì Khi đó: Xét hàm số đoạn ta có: đạt giá trị lớn Ta có: Vậy Vậy Chon A Bài 5: Cho số phức có mơ đun 2017 số phức A Lời giải số phức thỏa mãn Mô đun là: Từ B C D ta suy Lấy mơ đun hai vế ta có Chọn C Bài 6: Số phức A có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện B là: C D Lời giải + Gọi Từ giả thiết ta có: + Đồng thời Chọn D Bài 7: Số phức A lớn Kiểm tra đáp án so sánh thỏa mãn B Lời giải Ta có Mặt khác suy Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức C D Suy giá trị lớn giá trị nhỏ Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Chọn B Bài 8: Tìm phần thực số phức A Lời giải Điều kiện Phương trình: thỏa mãn phương trình: B C D (so đk) Vậy phần thực số phức Chọn D Bài 9: Cho số phức thảo mãn A B Lời giải Giả sử ta có: Tìm giá trị nhỏ C D Đặt Đặt Dấu xảy Vậy Chọn A Bài 10: Trong sô phức thỏa điều kiện A B Lời giải Giả sử số phức mô đun nhỏ số phức bằng: C D Theo đề Mà (thay vào) Chọn A Bài 11: Tìm số phức A Lời giải có mô đun lớn thỏa mãn điều kiện B C D Gọi (Thay số phức vào mô đun lớn ta chọn) So với đáp án ta chọn đáp án A Chọn A Bài 12: (A+A1 2012) Cho số phức thỏa mãn Tính mô đun số phức A B Lời giải Giả sử C D Chọn A Bài 13: Cho hai số phức phân biệt đúng? A Lời giải Thì thỏa mãn điều kiện B C số ảo Khẳng định sau D số ảo Chọn C CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC Bài 1: Tìm số thực nghiệm chung A cho hai phương trình B có C Lời giải D Theo giả thiết phương trình có nghiệm Tương tự phương trình Từ có nghiệm suy Chọn A Bài 2: Gọi nghiệm phương trình tập số phức Tìm mô đun số phức A Lời giải B Phương trình có Suy phương trình có hai nghiệm Thay vào Thay vào C D ta : Vậy Chọn B Bài 3: Tìm số thực để phương trình (với ẩn A Lời giải B Nếu C ) nhận nghiệm D nghiệm : Một phương trình bậc hai với hệ số thực, có nghiệm phức nhận Vậy nghiệm nghiệm Theo định lý Vi-ét: lam nghiệm Chọn A Bài 4: Tìm số thực nghiệm nhận để phương trình (với ẩn làm nghiệm A C Lời giải ) nhận làm B D nghiệm ngiệm Từ ta có hệ phương trình Từ suy Từ suy Thay vào Với Chọn A ta có: Bài 5: Phương trình A nghiệm Lời giải có nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: Chọn C Bài 6: Số nghiệm phức phương trình A nghiệm Lời giải Giả sử với ; B nghiệm ? C nghiệm khơng đồng thời D nghiệm Khi Khi phương trình Lấy chia Ta có theo vế ta vào Với (Loại) Với Ta có số phức Chọn B Bài 7: Gọi trị nghiệm phức phương trình Tìm tất giá để A Lời giải Nếu B C D Khi Hoặc Kết hợp lại thỏa mãn tốn Chọn D CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU DIỄN ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện A.Đường thẳng qua gốc tọa độ C Đường trịn tâm bán kính Lời giải B Đường trịn bán kính D Đường trịn tâm bán kính Điều kiện: Gọi với điểm biểu diễn số phức: Khi Vậy tập hợp điểm số phức mặt phẳng tọa độ đường trịn tâm Chọn C Bài 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức A.Đường thẳng qua gốc tọa độ C Đường trịn tâm bán kính Lời giải Đặt bán kính mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện: B Đường trịn bán kính D Đường trịn tâm bán kính ta có Do đó: Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm thuộc đường trịn bán kính tâm Chọn C Bài 3: Trên mặt phẳng tạo độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức A.Đường thẳng qua gốc tọa độ C Đường tròn tâm bán kính Lời giải Gọi thỏa mãn điều kiện B Đường trịn bán kính D Đường trịn tâm bán kính ta có: Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm bán kính Chọn D Bài 4: Trên mặt phẳng tạo độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức A.Đường thẳng qua gốc tọa độ C Đường trịn tâm bán kính Lời giải thỏa mãn điều kiện B Đường tròn bán kính D Đường trịn tâm bán kính Gọi ta có: Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng qua gốc tọa độ Chọn A Bài 5: Trên mặt phẳng tạo độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện A Đường thẳng qau gốc tọa độ B Đường trịn bán kính C Nửa trái mặt phẳng tọa độ không kể trục D Đường trịn tâm bán kính Lời giải Gọi ta có: Tập hợp điểm biểu diễn số phức nửa trái mặt phẳng tọa độ không kể trục Chọn C Bài 6: Trong mặt phẳng A tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức B C thỏa mãn D Lời giải Vậy điểm biểu diễn số phức Chọn A Bài 7: Trong mặt phẳng tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức A B C Lời giải D thỏa mãn điều kiện Vậy tập hợp điểm cần tìm đường trịn Chọn A Bài 8: Cho số phức thỏa mãn điều kiện A Lời giải B Các điểm bán kính biểu diễn số phức (Ý nghĩa hình học Ta có Tìm giá trị nhỏ C thỏa mãn nằm đường tròn độ dài OM ) tâm y đạt giá trị nhỏ điểm D x O nhỏ M (Bài hình học giải tích quen thuộc ) C Ta có: Dấu xảy điểm giao II đoạn thẳng Vậy GTNN Chọn A Bài 9: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức cho số ảo A Đường tròn tâm bán kính khuyết điểm B Đường trịn tâm bán kính khuyết điểm C Đường trịn tâm bán kính khuyết điểm D Đường trịn tâm bán kính khuyết điểm Lời giải Giả sử đó: Tử số số ảo : Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức điểm Chọn A đường trịn tâm bán kính , khuyết Bài 10: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức tam giác Diện tích bằng: A B C D Lời giải Dùng máy tính Casio ta có Dùng cơng thức với Dùng máy tính ta có kết B: (Có thể dùng cơng thức tính diện tích phần tính nhanh hơn) Chọn B Bài 11: Trong mặt phẳng có biểu diễn số phức C biểu diễn số phức Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A C có tọa độ B hình thoi C biểu diễn số phức D biểu diễn số phức Lời giải Ta có biểu diễn cho biểu diễn biểu diễn cho Các câu lại dễ dàng kiểm tra Chọn C Bài 12: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức là: A Đường tròn B Đường tròn C Đường tròn D Đường tròn Lời giải Đặt Chọn C Bài 13: Cho A điểm biểu diễn số phức: số phức Điều kiện để cân là: A B C Lời giải D cân Chọn B nên hay: điểm biểu diễn Bài 14: Biết điểm biểu diễn số phức phức A B Lời giải Vì điểm biểu diễn nên Do đó: Chọn A Bài 15: Trong mặt phẳng phức Trọng tâm tam giác A mặt phẳng tọa độ phức Tính mơ đun số C D biểu diễn số phức biểu diễn số phức sau đây? B C D Lời giải Trọng tâm tam giác Vậy biểu diễn số phức Chọn B Bài 16: Trong mặt phẳng phức, gọi Biết tam giác A Lời giải Ta có: Tam giác điểm biểu diễn số phức vng Tìm tọa độ C? B vng C nên với Vậy Chọn A Bài 17: Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn nghiệm phương trình điểm sau đây? A B C D Lời giải Vậy điểm biểu diễn nghiệm phương trình cho D Chọn A Bài 18: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức A Elip B Parabol C Đường tròn Lời giải Đặt D Đường thẳng biết là: điểm biểu diễn Ta có Vậy: Chọn D Bài 19: Trong mặt phẳng phức, cho theo thứ tự điểm biểu diễn hai số phức Tìm tập hợp điểm điểm cho: Điểm nằm trục tung A Đường tròn tâm bán kính B Đường trịn tâm ngoại trừ điểm bán kính ngoại trừ điểm C Đường thẳng ngoại trừ điểm D Đường thẳng ngoại trừ điểm và Lời giải Ta có: Trường hợp nằm trục tung số ảo khác đường trịn tâm bán kính Chọn A Bài 20: Trong mặt phẳng phức, cho ngoại trừ điểm theo thứ tự điểm biểu diễn hai số phức Tìm tập hợp điểm điểm cho: Điểm hồnh A Đường trịn tâm B Đường trịn tâm bán kính bán kính ngoại trừ điểm ngoại trừ điểm C Đường thẳng ngoại trừ điểm D Đường thẳng ngoại trừ điểm và và nằm trục Lời giải Ta có: Trường hợp nằm trục tung số thực đường thẳng ngoại trừ điểm Chọn D Bài 21: Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn số phức biết số phức A Hình trịn B Hình trịn C Hình trịn D Hình trịn thỏa mãn: Lời giải Giả sử Ta có: Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức hình trịn nằm biên) Chọn A Bài 22: Trong mặt phẳng phức, gọi theo thứ tự điểm biểu diễn số: Tìm tập hợp điểm A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm (kể điểm chạy đường tròn bán kính bán kính C Trục tung D Trục hồnh Lời giải Ta có: Vì chạy đường trịn: nên ta có Vậy tập hợp điểm trục tung Chọn C Bài 23: Gọi điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức Tìm tập hợp điểm cho tích số thực A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm bán kính bán kính C Là hyperbol vng góc D Là hyperbol Lời giải Ta có: Tích số thực Trong mặt phẳng phức, tập hợp Chọn C Bài 24 : Gọi hyperbol vuông góc có phương trình: điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức Tìm tập hợp điểm cho tích số ảo A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm bán kính bán kính C Là hyperbol vng góc có tâm đối xứng có trục thực nằm trục trục D Là hyperbol có tâm đối xứng có trục thực nằm trục Lời giải Tích số ảo Phần thực độ dài độ dài trục Trong mặt phẳng phức, tập hợp hyperbol có tâm đối xứng có trục thực nằm trục độ dài trục Chọn C Bài 25: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn hệ thức A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm C Đường thẳng D Đường thẳng Lời giải Đặt với bán kính bán kính Ta có Tập hợp điểm Chọn D mặt phẳng biểu diễn số phức gồm hai đường thẳng: