BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CHỦ ĐỀ CÂU 44: TỐN THỰC TẾ HÌNH TRỤ, NĨN, CẦU ĐỀ GỐC Câu 1: Ơng Bình làm lan can ban cơng ngơi nhà kính cường lực Tấm kính phần mặt xung quanh hình trụ hình bên Biết giá tiền m2 kính 1.500 000 đồng Hỏi số tiền ( làm tròn đến hàng nghìn) mà ơng Bình mua kính bao nhiêu? A 23.591 000 đồng B 36.173 000 đồng C 9.437 000 đồng D 4.718 000 đồng Lời giải Chọn C O Xét đường trịn đáy hình trụ có dạng hình vẽ Ta có: π ^ AMB=150∘ ⇒ ^ ANB=30∘ ⇒ ^ AOB=2 ^ ANB=60∘= ΔAMBAMB nội tiếp ( O , R ) AB =4,45 ⇒ Theo định lý sin , ta có R= sin ^ A MB Áp dụng cơng thức tính độ dài cung: π l=α R= ⋅ 4,45 m Do mặt cong có chiều cao h=1,35 m π ⇒ Diện tích mặt cong S=l h= × 4,45 ×1,35 m ⇒ Số tiền ơng Bình bỏ để mua kính: π M =S ×1,5= × 4,45 ×1,35 ×1,5 ≈ 9,437 triệu đồng ĐỀ PHÁT TRIỂN Trang 1/8 – Bài giảng điện tử-2021 Câu 44.1: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt, phải chứa thể tích xác định V cho trước Tính diện tích tồn phần bé S hộp sữa hai phương án 3 3 A S =√ π V B S =6 √ V C S =3 √ V D S =3 √ π V Lời giải Chọn D TH1: Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật Gọi x , y , z độ dài ba cạnh khối hộp Khi đó: V =xyz Diện tích tồn phần khối hộp chữ nhật là: St p=2 ( xy+ yz+ zx ) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương ( xy , yz , zx ) ta có: 3 Stp =2 ( xy + yz + zx ) ≥ √ x y z 2=6 √ V 2, dấu đẳng thức xảy x= y =z Vậy S =6 √ V (1) TH2: Hộp sữa có dạng khối trụ Gọi R , h bán kính đáy chiều cao khối trụ Khi đó: V R h Diện tích tồn phần khối trụ là: Stp =2 π R 2+2 πRh=2 π R2 + πRh+ πRh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương ( π R ; πRh; πRh ) ta có: 3 Stp =2 π R 2+ πRh+ πRh≥ √ π R h2=3 √ π V 2, Dấu đẳng thức xảy h=2 R Vậy S =3 √ π V (2) Từ (1) (2), nhận thấy √3 V >3 √3 π V 2, nên S =3 √ π V Câu 44.2: Ông An dự định làm bể chứa nước hình trụ inox có nắp đậy với thể tích k ( m ), ( k > ) Chi phí m đáy 600 nghìn đồng, m nắp 200 nghìn đồng m2 mặt bên 400 nghìn đồng Hỏi ơng An cần chọn bán kính đáy bể để chi phí làm bể nhất? k 2π k k A r = B r = C r = D r = π k 2π √ √ √ √ Lời giải Trang 2/8 – Bài giảng điện tử-2021 Chọn C Gọi R , h bán kính đáy chiều cao hình trụ bể nước Khi đó: k =π R h ( m3 ) Gọi S1 , S , S diện tích đáy trên, đáy mặt bên khối trụ 2k Trong đó: S1=S 2=π R2 ; S3=2 πRh= (1) R Theo giả thiết, ta có tổng chi phí ơng An cần để làm bể là: T =200 S +600 S 2+ 400 S (đơn vị: nghìn đồng) (2) k Thay (1) vào (2): T =200 S +600 S 2+ 400 S ⇔T =800 π R +800 R k k ⇔ T =800 π R2 +800 +800 2R 2R k k ; 800 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương 800 π R ; 800 2R 2R ( ) k k πk ⇔ T =800 π R +800 +800 ≥ 2400 2R 2R k k ( m ) Dấu đẳng thức xảy R3= ⇔ R= 2π 2π √ √ Vậy chi phí làm bể T =2400 π k (nghìn đồng) √ Câu 44.3: Cơng ty X muốn thiết kế hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích 100 cm 3, bán kính đáy x cm, chiều cao h cm Khi thiết kế, công ty X đặt mục tiêu cho vật liệu làm vỏ hộp nhất, nghĩa diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Khi đó, kích thước x h gần số số để công ty X tiết kiệm vật liệu nhất? A h ≈ 6,476 cm x ≈ 2,217 cm B h ≈ 5,031 cm x ≈ 3,124 cm C h ≈ 5,031 cm x ≈ 2,515 cm D h ≈ 3,261 cm x ≈ 3,124 cm Lời giải Chọn C Ta có: V =π x h Theo giả thiết thể tích hình trụ 100 cm3 nên: V =100 ⇔ π x h=100 ⇔h= 100 (¿) π x2 Trang 3/8 – Bài giảng điện tử-2021 Chi phí sản xuất thấp diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Stp =S xq +2 S d (**) 100 ) Thay (*) vào (**) ta có: Stp=2 π (x + πx 100 50 50 2500 x 2500 ( Bất đẳng thức Cosi cho số dương) =x + + ≥3 2 =3 πx πx πx π x π2 50 Dấu xảy x= ≈ 2,515 π x 2+ √ √ √ Câu 44.4: Cho bình làm thủy tinh dạng hình trụ có thành đáy bình dày có đáy kín, coi đáy hở Biết chiều cao bên bên 40 cm 41 cm, bán kính đường trịn đáy ngồi 15 cm Thể tích thủy tinh làm bình có giá trị bằng: A 1160 π cm 3.B 1189 π cm 3.C 1385 π cm Lời giải Chọn A D 1512 π cm Bình dày nên thành bình đáy bình dày : cm Ta chia bình thành hai phần Phần đáy bình coi hình trụ đặc có bán kính đáy 15 cm chiều cao cm Có thể tích tương ứng : V 1=π 152 1=225 π ( c m ) Phần phần thân bình, trụ rỗng có chiều cao 40 cm, bán kính 14 cm bán kính ngồi 15 cm Thể tích là: V 2=π ⋅ ( 152−14 ) ⋅ 40=1160 π ( c m ) Suy tổng thể tích làm bình là: V =V 1+V =225 π +1160 π =1385 π ( c m ) Câu 44.5: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay ( H ) , mặt phẳng chứa trục ( H ) cắt ( H ) theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích ( H ) (đơn vị c m 3) Trang 4/8 – Bài giảng điện tử-2021 A V ( H ) =23 π B V ( H ) =13 π C V ( H ) = 41 π D V ( H ) =17 π Hướng dẫn giải: Chọn C 16 π Thể tích khối trụ V tru =Bh=π 1.52 4=9 π Thể tích khối nón V non = π 4= 3 2π 16 π π 41 π − = Thể tích phần giao là: V p giao= π 2= Vậy V ( H ) =9 π + 3 3 Câu 44.6: Một bút chì có dạng khối trụ lục giác có cạnh đáy ( mm ) chiều cao 200 (mm) Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính 1(mm) Giả định m3 gỗ có giá a triệu đồng, m than chì có giá a triệu đồng Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết quà đây, giả sử phần lõi gỗ bút chì bỏ khơng đáng kể? A 8,45 a đồng B 7,82 a đồng C 7,82 a đồng D 78,2 a đồng Lời giải Chọn B m3 gỗ có giá a triệu đồng suy mm3 gỗ có giá đồng suy mm3 than chì có giá a đồng m than chì có giá a triệu 1000 6a đồng Phần chì bút có thề tích 1000 Trang 5/8 – Bài giảng điện tử-2021 V 1=200 ⋅ π ⋅ 12=200 π ( mm3 ) Phần gỗ của bút chì tích 32 √ 3 V 2=200.6 ⋅ −200 π =2700 √3−200 π ( mm ) a ⋅ V 1+ a ⋅ V Số tiền làm bút chì ≈ 7,82 a đồng 1000 Câu 44.7: Khi cho hình lục giác ABCDEF có cạnh a quay quanh cạnh AB thể tích khối trịn xoay thu có giá trị tương ứng ? 15 π a3 π a3 A B C π a3 D π a Lời giải Chọn B Hình vẽ minh họa: Khi cho hình phẳng ABDE quay quanh cạnh AB thu hình trụ tích V 1=π ( a √ ) a=3 π a3 Thể tích hai hình phẳng AFE BCD quay quanh AB V Gọi V thể tích trịn xoay cho tam giác HAE quay quanh AB ; V thể tích trịn xoay cho tam giác HFK quay quanh AB, thể tích trịn xoay cho tam giác AFK quay quanh AB Để ý cho tam giác HFK HAE quay quanh AB ta thu hai hình trịn đồng dạng với theo tỷ lệ :2 Suy V 3=8V Ta tích hình nón cho tam giác HAE quay quanh AB có bán kính đáy AE=a √ π a3 chiều cao HA=a, tính V 3= π ( a √ ) a=π a3 ⇒ V = π a3 π a3 Suy V 2=V −2V 4=π a3 −2 = Tổng thể tích trịn xoay thu cho hình lục giác quay quanh cạnh AB : π a π a3 V =V 1+2 V =3 π a + = Câu 44.8: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối ( H ) hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích ( H ) Trang 6/8 – Bài giảng điện tử-2021 A V (H )=192 π B V (H )=275 π C V (H )=704 π D V (H )=176 π Hướng dẫn giải Chọn D Đường kính đáy khối trụ √ 102−6 2=8 Bán kính đáy khối trụ R=4 Thể tích khối trụ H V 1=π R h1=π 42 8=128 π Thể tích khối trụ H V 2=π R h2=π 6=96 π 1 Thể tích H V =V 1+ V 2=128 π + 96 π =176 π 2 Câu 44.9: Cho khối nón ( N ) có chiều cao √ lần bán kính đáy Dùng mặt phẳng vng góc với trục ( N ) để chia ( N ) thành hai phần tích Hỏi tỉ lệ diện tích tồn phần phần chứa đỉnh nón so với diện tích tồn phần phần khơng chứa đỉnh nón bao nhiêu? 3 A B C D √ 3−1 √ 4−1 √ 2−1 √3 Lời giải Chọn A 1 2 √3 Thể tích khối nón ( N ) V = π r h= π r ( r √ ) =π r 3 h h' Ta ln có = =√ r r' Suy thể tích hai phần (sau chia mặt phẳng vng góc với SO) V ' = V π r3 = 2 Trang 7/8 – Bài giảng điện tử-2021 V π r √ ( ' )2 ' ( ' )2 ' √ π ( r ' )3 ⇒ r=r ' = = π r h = π r r √ 3= √ 3 Diện tích tàn phần khối nón bên là: Cũng tính V ' = √ 2 2 √ S1=π ( r ' ) + π r ' ( r ' ) + ( h' ) =π ( r ' ) + π r ' ( r ' ) + ( r ' √3 ) =3 π ( r ' ) Diện tích tàn phần khối nón bên là: √ 2 2 2 S2=πr √ r 2+ h2−π r ' ( r ' ) + ( h' ) + π ( r ' ) +π r 2=(2 π r 2−2 π ( r ' ) )+ π ( r ' ) + π r S2=3 π r 2−π ( r ' ) 2 S2 π (r' ) π ( r' ) = =3 Suy tỷ lệ = 23 2 ' ' ' S π r −π ( r ) π ( r ) √ 4−π ( r ) √ 4−1 Câu 44.10: Cho hình nón ( N ) có bán kính đáy r chiều cao h Một mặt cầu ( S ) tiếp xúc với tất đường sinh hình nón tiếp xúc với đáy nón, có tâm cầu nằm hình nón bán kính R=3 Thể tích khối nón ( N ) lớn A 72 π B 36 π √3 C 54 π D 96 π Lời giải Chọn A SI ℑ h−R R R2 h = ⇔ 2 = ⇒r = SA OA √ h + r r h−2 R π π R2 h π R2 h2 Thể tích khối nón ( N ) : V ( N )= r h= h= 3 h−2 R h−2 R Khảo sát nhanh theo biến chiều cao h>2 R vận dụng BĐT CƠ-SI ta có : Ta có : V ( N )= π R2 h2 π R2 R2 π R2 ( R2 = h+2 R+ = h−2 R ) + +4 R h−2 R h−2 R h−2 R ( ) ( ) 2 2 Suy V ( N )= π R ( h−2 R ) + R +4 R ≥ π R ( h−2 R ) R + R = π R h−2 R h−2 R ( ) (√ ) R2 ⇔ h=4 R h−2 R π R3 π 33 GTNN thể tích khối nón : V ( N ) = = =72 π h=4 R=12 3 Dấu = xảy : h−2 R= Trang 8/8 – Bài giảng điện tử-2021