Dạng toán 49 tính thể tích khối đa diện

GV: LÊ QUANG XE 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 49: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP BIẾT GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A ,   AB a , SBA SCA 900 , góc hai mặt phẳng  SAB   SAC  600 Thể tích khối cho a3 B A a a3 C a3 D CÁCH 1: Xác định góc hai mặt phẳng Phân tích hướng dẫn giải Dạng tốn: Tính thể tích khối chóp , biết góc hai mặt phẳng Phương pháp: Tìm đường cao hình khai thác giả thiết góc đề Hướng giải: B1: Tìm đường cao hình : học sinh phải tìm đường cao cách suy từ quan hệ vng góc đường với đường để chứng đường vng góc với mặt, hay phục dựng hình ẩn để xác định đường cao B2: · Để khai thác giả thiết góc ta thường làm : + Xác định góc Trong q trình xác định góc phải tránh bẫy đưa góc hai đường thẳng cắt góc khơng tù + Cần chọn ẩn (Là chiều cao hay cạnh đáy giả thiết chưa có) sau sử dụng giả thiết góc để tìm ẩn · Có thể sử dụng nhiều phương pháp khác ngồi hai cách truyền thống để tính góc hai mặt bên ( a ) ( b) Phương pháp khoảng cách : giả sử j góc hai mặt bên sin   d ( M , ( )) d ( M , d ) d        , M      ABC   ABD  Phương pháp diện tích hai mặt bên : giả sử j góc hai mặt bên VABCD  Cơng thức đa giác chiếu : cos   SABC SABD 3.VABCD AB sin   sin   AB SABC SABD S S Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Trang GV: LÊ QUANG XE 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA Chọn D S I A C a a B Hai tam giác vuông SAB SAC chung cạnh huyền SA Kẻ BI vuông góc với SA suy CI vng góc với SA IB IC SA  IC , SA  IB  SA   IBC  I 1 1 VS ABC VA.IBC  VS IBC  S IBC AI  S IBC SI  S IBC  AI  SI   S IBC SA 3 3   SAB  ,  SAC    IB, IC    IB, IC  60   BIC 60 0  BIC 120  Ta có IC IB  AB a mà BC a nên tam giác IBC suy BIC 120 IB  IC  x  x   Trong tam giác IBC đặt có: cos1200  2 IB  IC  BC    IB.IC  2x2  a 2x   x a a  IB  IC  3 a 6 a AI  AB  IB  a       Trong tam giác ABI vng I có: 2 AB IA.SA  SA  Trong tam giác SAB vng B đường cao BI có: AB a2  a IA a 3 VS ABC Vậy 11 1 a  a3   SIBC SA  IB.IC.SA sin BIC    a sin120  32 6  CÁCH 2: Xác định đường cao hình chóp Phân tích hướng dẫn giải 1.Dạng tốn: Đây dạng tốn tính thể tích khối chóp có lồng ghép góc hai mặt phẳng Phương pháp Trang GV: LÊ QUANG XE 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA V  S h Sử dụng cơng thức tính thể tích khối chóp Hướng giải: B1: Gọi H chân đường cao kẻ từ S Khi tứ giác ABHC hình vng B2: Xác định góc hai mặt phẳng  SAB   SAC  từ tính độ dài đường cao SH B3: Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D  ABC   SH   ABC  Gọi H hình chiếu S phẳng SH  AB    AB   SDH   AB  BH SB  AB  Ta có Chứng minh tương tự AC  HC Lại có AB  AC  ABHC hình vng Gọi K hình chiếu vng góc B lên SA Khi CK  SA ( SBA SCA ) Suy góc hai mặt phẳng  SAB   SAC  góc hai đường BK CK SC CA2 a2 x2 a x BK CK    SC  CA2 a  x a  x Đặt SB x , đó:  cos BKC cos 600  BK  CK  BC   2.BK  BC BK 2 BK CK  a x 2  a  x 2a  x  a (l )  2.BK  BC BK  BK BC         2 2  a x 2  2.BK  BC  BK  3.BK BC  x a  a  x 2a 2 2 Với x a  SH a Trang GV: LÊ QUANG XE VS ABC 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 a3  S ABC SH  AB.AC HS  3 Bài tập tương tự: Câu 49.1:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân A , với AB  , BC 2 Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 Thể tích V khối chóp S ABC A V 3 B V 3 C V D V Lời giải Chọn C Kẻ SH   ABC  , H   ABC  Ta có  HA2 SA2  SH  2  HB SB  SH  HC SC  SC  Mà SA SB SC  HA HB HC Suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đặt AB  AC x   S ABC  AB BC CA x x2   HA HA HA (1)    Từ SH  ( ABC )  SA; ( ABC )) SAH  SAH 60  SH 3 9   SH  SA    sin 60   SA 2   cos 60  HA   HA  SA  9   SA 2 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA Gọi I  AH  BC mà AB  AC  IB IC  BC 1  AI  AB  BI  x  1  S ABC  BC AI  2 x   x  2 Thay vào (1) ta  x 9  x 2 x 2  x 81 x  1   x  x 1   9 Kết hợp với x  ta x 3 Suy S ABC 2 1 3 V  SH S ABC  2  3 Vậy Câu 49.2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật E điểm cạnh AD cho BE vng góc với AC H AB  AE , cạnh SH vng góc với mặt phẳng đáy, góc  BSH 45 Biết 16a A AH  2a , BE a Thể tích khối chóp S ABCD 32a C 32a B 15 8a D Lời giải Chọn B 2 Đặt AB x , ABE vuông A  AB  AE BE  AE  BE  AB  (a 5)2  x  5a  x Xét ABE vuông A , đường cao AH có 1 1     2 2 2 AE AB AH 5a  x x 4a Trang GV: LÊ QUANG XE 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA  x a   x 2a  x  5a x  4a 0 Loại x a AE 2a  AB a Suy AB 2a  BH  AB  AH  Xét ABC vuông B , đường cao VS ABCD 4a BH 4a  SH    5 tan BSH BH  1  BC  AB.BH 4a   2 2 AB  BH AB BC BH 1 4a 32a  SH S ABCD  2a.4a  3 15 Câu 49.3:Cho tứ diện ABCD có AC  AD a , BC BD a , khoảng cách từ điểm B đến mặt a a 15  ACD  thể tích tứ diện ABCD 27 Góc hai mặt phẳng phẳng  ACD   BCD  A 90 B 45 C 30 D 60 Lời giải Chọn B Gọi M trung điểm CD  AM  CD  CD   ABM   BM  CD  ACD  BCD  A B Xét cân cân nên   ACD  ,  BCD   AMB Kẻ BH vng góc với AM H  BH  AM CD   ABM   CD  BH  BH   ACD  Mà   a BH d  B,  ACD    VABCD  BH SACD Suy với 3V a  BH Đặt CD 2 x  S ACD  a2 2  S  AM CD  x a  x  2 2 ACD Suy AM  AC  MC  2a  x Trang GV: LÊ QUANG XE  x 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA a 2a a  CD   BM  BC  CM  3  sin BMH  Xét tam giác BHM vng H có  AMB 45   ACD  ,  BCD  45   BH  sin AMB BM  Câu 49.4:Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D , đáy ABCD hình thoi, góc BAD 60 Gọi M  ABC  góc điểm thuộc miền hình thoi ABCD , biết AM tạo với mặt phẳng 60 AM 4 Độ dài cạnh AB thể tích khối lăng trụ 12 ? B AB 2 A AB 2 C AB 4 D AB 4 Lời giải Chọn A  BD  x x2  AB x, BAD 60    S ABCD  AC  x   Đặt Ta có AA   ABCD   AM   ABC  hình chiếu AM mặt phẳng     MA 60   AM ,  ABCD    AM , AM  A Xét AAM vng A , có sin AMA  AA  AA 2 AM  Ta lại có VABCD ABC D 12  AA S ABCD 12  S ABCD 2  x2  x 2  AB 2 Vậy AB 2 Câu 49.5:Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  cạnh đáy , khoảng cách từ tâm tam giác ABC đến mặt phẳng A 16  ABC  Thể tích khối lăng trụ 12 B 16 C 16 D Lời giải Chọn C Trang GV: LÊ QUANG XE 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA Gọi I tâm tam giác ABC , M trung điểm AB d  I ,  ABC   IM 1     d  A,  ABC   3  d  A,  ABC   AM AA   ABC  Xét tứ diện A ABC có Kẻ AH  AM (1)  AM  BC  BC   AAM   BC  AH  M  BC A  Ta có (2) Từ (1), (2) ta có AH   ABC   AH d  A,  ABC    1 AM AH    AA   2 2 AH AM AA AM  AH Xét AAM vuông: Vậy VABC ABC   AA.S ABC  3  4 16 Câu 49.6:Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA BC 5a ; cos   SAB SCB  SBC SBA     90 Biết góc hai mặt phẳng 16 Thể a với tích khối chóp S ABC 50a A 125 a 18 C 125 a B 50a D Lời giải Chọn C Trang GV: LÊ QUANG XE 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA Ta có hai tam giác vng SAB SBC chung cạnh huyền SB Kẻ AI  SB  CI  SB góc hai mặt phẳng ( SBA) ( SBC ) góc hai đường thẳng AI CI  ( AI ; CI )   CBA 90  180  AIC  90  AIC 180    cos AIC  16 Do Có AC 5 2a, AIC cân I, nên có : AI  AC 2 AI  AC  cos AIC    AI 16a  AI 4a 2 16 AI AI  BI 3a  SI  AI 16 25a  a  SB  IB 3 Cách :  BA  SA  BA  AD  BA  SD SD  ( ABC )  D Dựng Ta có: Tương tự BC  CD Nên tứ giác ABCD vuông cạnh 5a Þ BD = 2a Þ SD = SB - BD = a 1 125 a VSABC  SD BA2  25 a  3 18 Vậy 1 VS ABC = VS ACI +VB ACI = SI S ACI + BI S ACI = SB.S ACI 3 Cách : V AIC cân I, nên Vậy VS ABC S ACI = 7a2 AI sin a = 16a = 2 16 25a a 125 a = = 3 18 · · Câu 49.7:Cho hình chóp S ABC có BC 2 BA 4a , ABC = BAS = 90° Biết góc hai mặt phẳng  SBC  ( SBA) 60o SC SB Thể tích khối chóp S ABC Trang GV: LÊ QUANG XE 50 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA 32a A 8a B 16a C 16a D Lời giải Chọn B Tam giác SBC cân cạnh đáy BC = 4a Gọi E trung điểm BC ta có V SEB vng E , BE = 2a = BA Đưa toán gốc với chóp S ABE AB  EB  BC 2a Hai tam giác vuông SAB , SEB chung cạnh huyền SB ,  SBA  SBC  góc hai mặt phẳng Kẻ AI  SB  EI  SB góc hai mặt phẳng  SBA EI   AI ; EI  60 góc hai đường thẳng AI o · · ·CBA = 90o Þ 180o > ·AIE > 90o Þ AIE = 120 Þ cos AIE =- Do  SBE  Có AE 2 2a , V AIE cân I, nên có : 2 AI - AE 2 AI - AE Û AI = 8a Þ AI = 2 a · = cos AIC Û =3 AI 2 AI 2 Þ BI = 2a AI 4a 6a Þ SI = = Þ SB = IB 3 Cách :  BA  SA  SD   ABC  Dựng D Ta có:  BA  SD  BA  AD Tương tự BE ^ ED Nên tứ giác ABED hình vng cạnh 2a  BD 2 2a  SD  SB  BD 2a Thể tích VS ABC 1 8a  SD  BC BA  2a 4a  3 Trang 10