Dạng toán 40 khối nón

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 40: KHỐI NĨN KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Các yếu tố hình nón: A α h l r B I C + Chiều cao: h + Bán kính đường trịn đáy: r + Độ dài đường sinh: l + Góc đỉnh: 2  0    90  2  Mối liên hệ chiều cao, đường sinh bán kính đáy hình nón: l h  R  Hình nón trịn xoay tạo thành quay tam giác: Cho AIB vuông tại I quay quanh cạnh góc vng AI thì đường gấp khúc ABI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) + Đường thẳng AI gọi trục, A đỉnh, AI gọi đường cao AB gọi đường sinh của hình nón + Hình trịn tâm I , bán kính r IB đáy của hình nón  Cơng thức diện tích hình nón thể tích khối nón: Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy r đường sinh l thì ta có: S xq  r.l + Diện tích xung quanh: + Diện tích tồn phần hình nón:  Thiết diện hình nón + TH1:  P Stp S xq  Sð  P Sð  r 1 Vnon  Sð h   r h 3 + Thể tích khới nón: cắt mặt phẳng qua đỉnh của hình nón - Nếu  P  N + Diện tích đáy (hình tròn):  P :  N : tiếp xúc với mặt nón  N theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện của mặt nón - Nếu  P cắt mặt nón - Đặc biệt: Nếu  P  N theo đường sinh  Thiết diện tam giác cân qua trục của mặt nón  N  Thiết diện tam giác cân có cạnh bên l cạnh đáy 2r Trang GV: LÊ QUANG XE + TH2:  P 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA khơng qua đỉnh của hình nón  N : - Nếu  P vng góc với trục hình nón  giao tuyến đường trịn - Nếu  P song song với đường sinh hình nón  giao tuyến nhánh của hypebol Nếu  P song song với đường sinh hình nón  giao tuyến đường parabol  Công thức tính độ dài cung trịn có số đo a , bán kính R : l  Ra 180  Tính chất ABC cạnh a : a + Độ dài đường cao, đường trung tuyến: + Diện tích tam giác: S a2 BÀI TẬP MẪU Cho hình nón có chiều cao Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có diện tích Thể tích khới nón giới hạn hình nón cho 32 5 A C 32 5 B 32 D 96 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính thể tích của khới nón trịn xoay HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm bán kính hình trịn đáy B2: Áp dụng cơng thức tính thể tích Từ đó, ta có thể giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác SAB Trang GV: LÊ QUANG XE Ta có: S SAB  50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA AB 9  AB 36  SA2 36 2 Ta có: R OA  SA  SO  36  20 4 1 32 5 V   R h   42  3 Thể tích của khới nón là: Bài tập tương tự phát triển: Câu 40.1:Hình nón có chiều cao 3 cm , góc đường sinh mặt đáy 60 Tính diện tích S tồn phần của hình nón A Stp 18 cm B Stp 81 cm C Lời giải Stp 27 cm D Stp 9 cm Chọn C S l h 60° A Tam giác SAO vng tại O có Độ dài đường sinh r h.cot 60  l  h2  r   3 Khi diện tích xung quanh hình nón Diện tích đáy: O 3 3  cm   32 6  cm  S xq  rl  3.6 18  cm  S  r  32 9  cm  Diện tích toàn phần: r Stp S  S xq 9  18 27  cm  Câu 40.2: Cho hình nón có góc đỉnh 60 , diện tích xung quanh 18a  Thể tích V của khới nón cho A 9 a B 3 a C 9 a Lời giải D 3 a Chọn A Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA S O O A B   Hình nón có góc đỉnh 60 nên ASB 60  ASO 30 AO O  SA  2 AO SAO vuông tại sin 30 S xq  AO.SA  AO.2 AO 2 AO Khi đó: diện tích xung quanh của hình nón Theo S xq 18a 2  2 AO 18a 2  AO 9a  AO 3a AO 3a SAO vuông tại tan 30 1 V   OA2 SO    3a  3a 9 a 3 3 Vây thể tích khới nón: Câu 40.3: Một hình nón trịn xoay có đường sinh đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón 4 a Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón 8 a 2 S  xq S xq 32 a S xq 4 a S xq 8 a A B C D O  SO  Lời giải Chọn D A α h l r B I C 2 Ta có: diện tích đáy của hình nón: S  r 4 a  r 2a Hình nón trịn xoay có đường sinh đường kính nên l 2r 4a Diện tích xung quanh của hình nón S xq  rl  2a.4a 8 a Câu 40.4:Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A , AB a AC a Tính diện tích xung S quanh xq của hình nón có được quay tam giác ABC xung quanh trục AB A S xq  a 10 B S xq  a C Lời giải S xq   a2 D S xq  2 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Chọn B B α h l r C A Tam giác ABC vng tại A có AB a AC a nên BC a Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB ta được hình nón có chiều cao h  AB a , bán kính đường trịn đáy r  AC a đường sinh l BC a S  rl  a 2.a  a Diện tích xung quanh của hình nón xq Câu 40.5: Cho tam giác ABC cạnh 2a , gọi M trung điểm BC Tính thể tích V của khới nón tạo thành cho tam giác ABC quay quanh AM A V  a B V 3 a 24 V C Lời giải  a3 3 D V 3 a Chọn C A C M B Khi quay ABC quanh cạnh AM ta được hình nón có chiều cao kính đường trịn đáy r h  AM  2a a , bán BC a 1  a3 V   r h   a a  3 Khi thể tích khới nón tạo thành Câu 40.6:Cho tam giác ABC vuông tại A , AB 12 , AC 5 Gọi V1 thể tích khới nón tạo thành quay tam giác ABC quanh cạnh AB V2 thể tích khới nón tạo thành quay tam giác V1 ABC quanh cạnh AC Khi đó, tỉ sớ V2 12 A 12 B C Lời giải 25 D 144 Chọn A Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA C C 13 12 A C 13 12 B 13 12 B A A B V2 V1 Khi quay ABC quanh cạnh AB ta được hình nón có chiều cao h1  AB 12 , bán kính đường 1 V1   r12 h1   52.12 r  AC  3 trịn đáy Thể tích khới nón Khi quay ABC quanh cạnh AC ta được hình nón có chiều cao h2  AC 5 , bán kính đường 1 V2   r22 h2   122.5 r  AB  12 3 tròn đáy Thể tích khới nón  52.12 V1   V2  122.5 12 Ta có:  Câu 40.7:Cho tam giác ABC vuông tại A , AC a , ACB 60 Gọi M trung điểm của AC Khi quay quanh AB, đường gấp khúc AMB , ACB sinh hình nón có diện tích xung quanh S1 lần lượt S1 , S2 Tính tỉ sớ S2 S1 13  13 A S2 S1  B S2 S1  D S 2 S1 13  C S Lời giải Chọn C B A ABC vuông tại A  AB  AC.tan 60 a ; M trung điểm AC  AM  C M BC  AC 2a cos 60 AC a  2 a A  BM  AM  AB     a  2 ABM vuông tại 2    a 13 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Khi quay đường gấp khúc AMB quanh cạnh AB ta được hình nón có chiều cao a a 13 h1  AB a , bán kính đường trịn đáy r1  AM  độ dài đường sinh l1 BM  a a 13  a 13 S1  r1l1   2 Diện tích xung quanh của hình nón Khi quay đường gấp khúc ACB quanh cạnh AB ta được hình nón có chiều cao h2  AB a , bán kính đường trịn đáy r2  AC a độ dài đường sinh l1 BC 2a Diện tích xung quanh của hình nón S  r2l2  a.2a 2 a S1 13  Do S Câu 40.8:Cắt hình nón có chiều cao h mặt phẳng qua trục ta được thiết diện tam giác vuông cân Biết diện tích xung quanh của hình nón 8 Thể tích của khới nón 16 A 64 B C 8 Lời giải D 16 Chọn A S O A B Ta có: h SO SAB vng cân tại S nên bán kính đường trịn đáy của hình nón r h 2 SOB vuông tại O nên độ dài đường sinh của hình nón: SB  h  r h Diện tích xung quanh của hình nón S  rl  h.h  h Theo ra: S 8  h 2 1 16 V   r h   h3  3 Thể tích khới nón  N  tam giác vng cân có diện tích 2a Câu 40.9:Thiết diện qua trục của khối nón Tính diện tích xung quanh A S xq 2 a 2 B S xq của hình nón S xq  a 2  N C Lời giải S xq  2 a 2 D S xq 2a 2 Chọn A Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA S D A B O C  N  SCD Giả sử thiết diện qua trục của Ta có SCD vng cân tại S có diện tích 2a  CD SC SC 2a  OC   a  SC 2a 2 Diện tích xung quanh của hình nón Câu 40.10: S xq  rl  OC.SC  a 2.2a 2 a 2 Thiết diện qua trục của khối nón  N tam giác có diện tích  N Tính thể tích V của khới nón 8 A B V 8 C V 8 Lời giải D V 8 3 Chọn D S D A O B C Giả sử thiết diện qua trục của  N SCD Ta có SCD có diện tích  S SCD   SO  SC 4  SC 4 CD SC CD 2 OC  2 2 ; 1 8 V   OC SO   22.2  3 Thể tích khới nón Câu 40.11: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác khoảng cách từ tâm của đường a S tròn đáy đến đường sinh Tính diện tích tồn phần của hình nón Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA   a2  2 a A B  2 a D C  a Lời giải Chọn C A H C O B  N  ABC Giả sử thiết diện qua trục của  N  H hình chiếu của O AC Gọi O tâm của a OH  Theo ta có:  Ta có ABC  ACO 60 H  OC  OHC vuông tại AOC vuông tại OH a  sin 60 O  AO OC.tan 60  a 2a a AC BC 2OC  3 ;  a2 S  OC  Diện tích đáy của hình nón: 2 a S xq  OC AC  Diện tích xung quanh của hình nón: Diện tích tồn phần Câu 40.12: Cho hình nón Stp  N của hình nón: Stp S  S xq   a 2 a   a 3 có chiều cao 6a Thiết diện song song với đáy cách đáy đoạn  N  2a có diện tích 36 a Thể tích khới nón A 648 a 3 B 162 a C 486 a Lời giải D 108 a Chọn B A B' B O' O C' C Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  N Gọi h , r lần lượt chiều cao bán kính đáy của khới nón  h  AO 6a; r OC  N đường trịn tâm O Theo ra có: thiết diện cách đáy đoạn 2a  OO 2a Thiết diện song song với đáy của hình nón  N  đáy Gọi h, r  lần lượt chiều cao bán kính đáy của khới nón có đỉnh đỉnh của đường trịn thiết diện  h  AO  AO  OO 4a; r  OC   O : Hơn nữa, diện tích đường trịn S O 36 a    r  36 a  r  6a h r  h.r  6a.6a  9a   r h 4a Theo định lý Talet, ta có chiều cao bán kính đáy: h r 1 V   r h    9a  6a 162 a N  3 Vậy thể tích của khới nón  P  qua Một hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O SO h Một mặt phẳng Câu 40.13: h2 đỉnh S tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Biết diện tích thiết diện Tính thể tích V của khới nón A V 5 h3 12 17 h3 V 144 B 17 h3 V 48 C Lời giải D V 5 h3 36 Chọn D S h 60° B I O A  P  P   SAB  cắt đường trịn đáy của hình nón lần lượt tại A B Khi Gọi I trung điểm của AB OAB cân tại O  OI  AB AB  SO  AB   SOI  Mặt khác   Góc  P  với mặt phẳng đáy SIO 60 SOI vuông tại O  OI  SO h SO 2h  SI   tan 60 ; sin 60 Trang 10 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC có chiều cao SG h , bán kính đường trịn đáy 2h h 21 r GC 2GM  l SA  , độ dài đường sinh 2h h 21 2 h  3 Khi diện tích xung quanh hình nón tạo thành Câu 40.18: Một cớc giấy có dạng hình nón cụt với kích thước hình vẽ S xq  rl  Biết 1oz 29,57 ml Thể tích của cớc gần nhất với sớ dưới đây? oz 28 oz oz 4,  oz  A   B   C   D Lời giải Chọn A Cớc cho có dạng hình chóp cụt với bán kính đáy lần lượt R 3, cm; r 2, cm chiều cao h 6,8cm V   h  R  r  Rr  207,077  cm3  207, 077  ml  7  oz  Thể tích của cớc là: Từ tấm bìa hình vng ABCD cạnh 48 cm Gọi S , I lần lượt trung điểm của BC , AD Dùng compa vạch cung trịn MN có tâm S bán kính SI (như hình vẽ) cắt tấm bìa theo cung trịn Dán phần hình quạt cho cạnh SM SN trùng thành Câu 40.19: mũ hình nón khơng đáy với đỉnh S (giả sử phần mép dán khơng đáng kể) Tính thể tích V của mũ B S S C 48 cm M A A V N I D O M≡N 512 35 512 35 cm  V cm    B Trang 14 GV: LÊ QUANG XE C V 1024  cm3  50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA V 512 35  cm3  D Lời giải Chọn A B S S C 48 cm M A N I r O D Ta có MN SM SN 48cm nên SMN   MSN 60 Gọi r  MSN 60 x của dây cung MN  48.60 x 16 180 nên Chu vi đường tròn đáy của mũ chiều dài Mặt khác số đo cung MN số đo M≡N bán kính của đường trịn đáy của mũ, ta có x 2 r  r x 16  8 2 2 2 2 Chiều cao của phễu h  SM  r  48  8 35 512 35 cm V   r h   8 35  3 Vậy thể tích phễu Câu 40.20: Một ly hình nón chứa đầy rượu có chiều cao cm Người ta ́ng phần rượu   cho chiều cao phần rượu lại phần ba chiều cao ban đầu Số phần rượu được uống là: A B 26 C 27 D Lời giải Chọn C h h1 Gọi h 9 cm chiều cao của ly, R bán kính miệng ly V   R 3 R Thể tích ly hình nón: Trang 15 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA h1  h 3 cm Ký hiệu chiều cao r bán kính đường trịn tạo mép rượu lại ly V1   r  r Thể tích phần rượu cịn lại: V1  r2 1 r      3 R  Ta có: V 3 R r h1  V1 1  r    V  V     V 3 R  27 27 Mặt khác: R h 26 V2 V  V1  V 27 Thể tích phần rượu ́ng: Câu 40.21: Cho hình nón có chiều cao Cắt hình nón cho mặt phẳng qua đỉnh, thiết diện thu được tam giác có diện tích Thể tích của khới nón cho 2 A 5 B  D C 5 Lời giải Chọn B Ta có : h SO  SAB tam giác SDSAB SB = = Þ SB = 2 Xét D SOB vuông tại O ta có : 1 V = pr h = p 3 Vậy ( 5) Câu 40.22: r = OB = SB - SO = 3= ( 2 ) - ( 3) 2 = 5p 3 Cho hình nón có chiều cao Cắt hình nón cho mặt phẳng qua đỉnh, thiết 25 diện thu được tam giác có diện tích Thể tích của khới nón cho A 36 B 15 C 12 Lời giải D 45 Chọn C Trang 16 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Ta có : h SO 4 SAB tam giác SDSAB SB 25 = = Þ SB = 4 2 2 Xét D SOB vuông tại O ta có : r = OB = SB - SO = - = 1 V = pr h = p.32.4 = 12p 3 Vậy Câu 40.23: Cho hình nón có bán kính đáy Cắt hình nón cho mặt phẳng qua đỉnh, thiết diện thu được tam giác có diện tích Thể tích của khới nón cho 5 A B 5 10 D C 10 Lời giải Chọn D Ta có : r OB  SAB tam giác SDSAB = SB = Þ SB = 4 h = SO = SB - OB = 32 - Xét D SOB vng tại O ta có : 1 10p V = pr h = p = 3 Vậy ( 5) =2 ( ) Câu 40.24: Cho hình nón có bán kính đáy Cắt hình nón cho mặt phẳng qua đỉnh, thiết diện thu được tam giác có diện tích Thể tích của khới nón cho A 9 B 3 C 27 3 Lời giải D 18 Trang 17 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Chọn A Ta có : r OB 3 SAB tam giác SDSAB SB = = Þ SB = 2 2 Xét D SOB vuông tại O ta có : h = SO = SB - OB = - = 3 1 V = pr h = p.32.3 = 9p 3 Vậy Câu 40.25: Cho hình nón có chiều cao Cắt hình nón cho mặt phẳng qua đỉnh, thiết diện thu được tam giác có diện tích Diện tích xung quanh của khới nón cho A 8 B 4 C 24 Lời giải D 16 Chọn A Ta có : h SO 2 SAB tam giác SDSAB = SB = Þ SB = 4 2 2 Xét D SOB vng tại O ta có : r = OB = SB - SO = - = Vậy Câu 40.26: S xq = prl = p.2 3.4 = 8p Cắt hình nón cho mặt phẳng qua đỉnh, thiết diện thu được tam giác vng cân có cạnh huyền Diện tích xung quanh của khới nón cho A 9 9 B C 9 9 D Trang 18 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn B Ta có : AB 3 SAB tam giác vuông cân tại S Xét D SAB vuông cân tại S ta có : r = OA = Vậy Câu 40.27: ( SA2 + SB = AB Û 2SA2 = ) Û SA = 2 S xq = prl = p 9p = 2 Cắt hình nón cho mặt phẳng qua trục được thiết diện tam giác có diện tích Thể tích của khới nón cho 2 A B 2 C 24 Lời giải D 16 Chọn A Ta có : SAB tam giác SDSAB = SA2 = Þ SA = 2 Þ SO = 6; OA = 1 V = pr h = p 3 Vậy ( 2) Câu 40.28: 6= 2p o Cho hình nón có góc đỉnh 120 Cắt hình nón cho mặt phẳng qua trục 25 được thiết diện tam giác cân có diện tích Thể tích của khới nón cho 375 A 125 B 25 C 25 D Trang 19 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn B o Ta có : SAB tam giác cân tại S góc ASB 120 1 25 SDSAB = SA.SB.sin120o = SA sin120o = Þ SA = 2 2 Xét D SOA vng tại O có : SO = SA.cos 60o = 5 ; OA = SA.sin 60o = 2 Vậy Câu 40.29: 1 ỉ 6ư 125p ữ ữ V = pr h = p.ỗ = ỗ ữ ỗ ữ 3 ỗ ố ø Cắt hình nón cho mặt phẳng qua đỉnh, thiết diện thu được tam giác vng cân có diện tích Diện tích tồn phần của khới nón cho A  63 2 9 B 9 C Lời giải D  9 2 Chọn D Ta có : SAB tam giác vuông cân tại S 1 SDSAB = SA.SB = SA2 = Þ SA = 2 2 2 Xét D SAB vng tại S ta có : AB = SA + SB = + = r = OA = AB = 2 Stp = pr ( l + r ) = p Vậy ỉ 2ư +9 ữ ữ ỗ + = p ỗ ữ ç ÷ ç ø è Trang 20