Dạng toán 22 khối trụ

DẠNG TOÁN 22: KHỐI TRỤ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Khái niệm: Hình trụ trịn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ Đường thẳng AB gọi trục Đoạn thẳng CD gọi đường sinh Độ dài đoạn thẳng AB CD h gọi chiều cao hình trụ Hình trịn tâm A , bán kính r  AD hình trịn tâm B , bán kính r BC gọi hai đáy hình trụ Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ, phần không gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ Cơng thức tính diện tích hình trụ thể tích khối trụ: Cho hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r Diện tích xung quanh hình trụ: Diện tích tồn phần hình trụ: S xq 2 rh Stp  S xq  2.S Ðay 2 rh  2 r 2 Thể tích khối trụ: V  B.h  r h BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình trụ có bán kính đáy Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng qua trục, thiết diện thu hình vng Diện tích xung quanh hình trụ cho A 18 B 36 C 54 D 27 Trang Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm yếu tố hình trụ …………………………………………………………………………………………………… HƯỚNG GIẢI: B1: Theo giả thiết ta có r 3 Vì thiết diện hình vng nên độ dài đường cao l 2r 6 B2: Diện tích xung quanh hình trụ: S xq 2 rl 36 Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có r 3 Vì thiết diện hình vng nên độ dài đường cao h 2r 6 Diện tích xung quanh hình trụ: S xq 2 rh 36 Bài tập tương tự phát triển: Câu 22.1: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy khối trụ Biết AB 4a, BC 3a Thể tích khối trụ cho 3 3 A 12 a B 16 a C 4 a D 8 a Lời giải Chọn A Trang Theo giả thiết ta có r AB 2a Độ dài đường cao h BC 3a Thể tích khối trụ: V  r h   2a  3a 12 a Câu 22.2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC 2a Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng ABCD quanh trục AB A 2 a B 1 a 3 D 8 a C 4 a Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có r BC a Độ dài đường cao h  AB 2a 2 Thể tích khối trụ: V  r h  a 2a 2 a Câu 22.3: Cắt hình trụ T  mặt phẳng qua trục thiết diện hình chữ nhật có diện tích 30cm chu vi 26cm Biết chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy hình trụ A 23  cm   T  Diện tích tồn phần hình trụ  T  23  cm2  B 69  cm2  C Lời giải D 69  cm  Chọn C Gọi r bán kính mặt đáy, h đường cao hình trụ Thiết diện hình chữ nhật có kích thước 2r h Hình chữ nhật có diện tích 30cm chu vi 26cm nên có: 2rh 30   2  2r  h  26  r    h 10 (Vì chiều dài hình chữ nhật lớn đường kính mặt đáy) Trang 3   69 Stp 2 rh  2 r 2 10  2    2  2 Diện tích tồn phần hình trụ Câu 22.4: Biết thiết diện qua trục hình trụ hình vng cạnh a Diện tích tồn phần hình trụ cho 3 a B A 2 a 2 D 3 a C 4 a Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có r a Độ dài đường cao h a 2 a  a  3 a Stp 2 rh  2 r 2 a  2    2  2 Diện tích tồn phần khối trụ Câu 22.5: Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50 độ dài đường sinh đường kính đường trịn đáy Tính bán kính r đường trịn đáy A r 2 r B r 5 C Lời giải 2 D r 5  Chọn A Theo giả thiết ta có diện tích xung quanh S xq 2 rh 50  rh 25 Độ dài đường sinh đường kính đường trịn đáy nên l 2r Đường sinh đường cao hình trụ nên: h l 2r Suy ra: rh 25  r.2r 25  r  Câu 22.6: Cho hình trụ T  có diện tích xung quanh 24cm , bán kính đường trịn đáy 4cm Tính thể tích khối trụ A 24cm 25 r 2 T  B 12cm C 48cm Lời giải D 86cm Chọn C S 2rh 24  rh 12  V r h rh.r 48 Ta có: xq Câu 22.7: Cắt hình trụ mặt phẳng   vng góc với mặt đáy, ta thiết diện hình    vng có diện tích 16 Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng Tính thể tích khối trụ 52 A B 52 C 13 D 3 Lời giải Chọn B Trang Gọi O,O ' hai tâm mặt đáy Thiết diện hình vng ABB ' A ' với A, B thuộc mặt đáy chứa tâm O ; A ', B ' thuộc mặt đáy chứa tâm O '  ABB ' A ' Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng Thiết diện hình vng có diện tích 16  Cạnh hình vng     OI 3 Khoảng cách từ tâm O đáy hình trụ đến mặt phẳng 2 2 Ta có: OA  IA  IO    13 Thể tích khối trụ: V  r h    13 52 Câu 22.8: Một hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục, cách trục khoảng , thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho A 10 3 B 39 C 20 3 Lời giải D 10 39 Chọn C Gọi O,O ' hai tâm mặt đáy Trang Thiết diện hình chữ nhật ABB ' A ' với A, B thuộc mặt đáy chứa tâm O ; A ', B ' thuộc mặt đáy chứa tâm O '  ABB ' A ' Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng Hình trụ có chiều cao  AA ' 5 Mặt phẳng song song với trục, cách trục khoảng  OI 1 Thiết diện thu có diện tích 30  AB AA ' 30  AB.5 30  AB 2 Ta có: OA  IA2  IO   3 Diện tích xung quanh hình trụ:  12 2 S xq 2 rh 2 2.5 20 3 Câu 22.9: Cho AA ' B ' B thiết diện song song với trục OO ' hình trụ ( A, B thuộc đường trịn tâm O ) Cho biết AB 4, AA ' 3 thể tích hình trụ V 24 Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng A d 1  AA ' B ' B  B d 2 C d 3 Lời giải D d 4 Chọn B Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng ABB ' A ' Ta có: AB 4, AA ' 3 2 Thể tích khối trụ: V  r h  r 24  r 2 2 Ta có: OA IA  IO  OI  OA2  IA2   2  22 =2  ABB ' A ' Vậy khoảng cách d từ O đến mặt phẳng Câu 22.10: Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai Trang hình trụ Mặt phẳng trụ A S xq  2 a  ABCD  B o tạo với đáy hình trụ góc 45 Tính diện tích xung quanh hình S xq   a2 3 C Lời giải S xq   a2 D S xq   a2 Chọn D Gọi M , N , I trung điểm AB, CD, OO ' Dễ chứng minh M , N , I thẳng hàng Góc Ta có: Suy  ABCD  IM  o  mặt đáy góc OMI 45 a a OM OI  , h OO '  a a r O ' C  Diện tích xung quanh hình trụ: S xq 2 rh 2 a a  a2  2  P  song song Cho khối trụ có bán kính đáy r a chiều cao h 2a Mặt phẳng với trục OO ' khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục Câu 22.11: V1 OO ' , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số V2 , biết  P  cách OO ' a khoảng 3  A   3  B   3  C   Lời giải 3  D   Chọn A Trang Gọi  H1   H  phần lại khối trụ phần khối trụ chứa trục OO ' ;  P  khối trụ Gọi ABB ' A ' thiết diện mặt phẳng Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng ABB ' A ' 2 Thể tích khối trụ: V  r h  a 2a 2 a  P Ta có: a a  OI  cách OO ' khoảng 2 a 2 a  IA  OA  OI  a    = 2 2   Ta có: OA IA  IO 2 0   Suy tam giác OIA vuông cân I  IOA 45  AOB 90  a 90  a  Diện tích hình quạt AOB 360 a Diện tích tam giác AOB Suy diện tích hình viên phân ứng với  H1  Diện tích hình viên phân ứng với Vì  H1   H2  là:  a2   2  a  a là:  a2    2 3  2 a  a 4 V1 3  2   2 3   a : a  H2   V 4 2 có chiều cao nên Câu 22.12: Một khối trụ tích 6 Nếu giữ nguyên chiều cao tăng bán kính đáy khối trụ gấp lần thể tích khối trụ bao nhiêu? A 54 B 162 C 27 D 18 Lời giải Chọn A Gọi r1 ; r2 bán kính mặt đáy hình trụ trước sau tăng bán kính đáy Trang  r2 3r1  r1  r2 V1  r12 h  r1      V  r2 h  r2   V2 9V1 54 Ta có: Câu 22.13: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị có hình trụ với thể tích V , nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bị nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ chiều cao h lon sữa bò bao nhiêu? A h 3 4V  B h 3 V 3 h 3 C Lời giải V 4 D h 3 4V 5 Chọn A Ta có: V  r h  r  V h Diện tích tồn phần lon sữa là:  V  V V S  h  2 rh  2 r 2 h  2   2  Vh  h h  h  Bài toán quy tìm GTNN hàm số: S ' h  S  h  2  Vh  V  h  0 h V V  V 2V 2   h h h h S '  h  0   V 2V 4V    V  4V  h3  4V  h  h h   h h Bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên suy S  h  2  Vh  S  h V  h  0 h đạt giá trị nhỏ h 3 4V  Câu 22.14: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị có hình trụ với thể tích V , nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bị nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ Trang nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy r lon sữa bò bao nhiêu? A r 3 V 2 B r 3 V  r C Lời giải V 2 D r V  Chọn A Gọi r  r  0 bán kính đáy lon sữa V V  r h  h  r Khi Diện tích tồn phần lon sữa là: S  r  2 rh  2 r 2 r V 2V  2 r   2 r 2 r r Bài toán quy tìm GTNN hàm số: 2V  2 r  r   r 2V  4 r r2 S '  r   S '  r  0  4 r  2V V  r 3 r 2 Bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên suy Câu 22.15: S  r  S  r  S  r 2V  2 r  r   r đạt giá trị nhỏ r 3 V 2 Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm3 Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu bằng: A r 10 cm  B r 3 500 cm  C Lời giải r 10 cm  D r 500 cm  Chọn B Gọi r  r  0 bán kính đáy lon sữa Trang 10 V V  r h  h  r Khi Diện tích tồn phần lon sữa là: S  r  2 rh  2 r 2 r V 2V  2 r   2 r 2 r r Bài toán quy tìm GTNN hàm số: S '  r   S  r  2V  2 r  r   r 2V  4 r r2 2V V 1000 500  r 3   r 3 r 2 2  2V S  r    2 r  r   r Bảng biến thiên hàm số S '  r  0  4 r  Từ bảng biến thiên suy S  r đạt giá trị nhỏ r 3 500 cm  Câu 22.16: Mặt phẳng chứa trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện có chu vi 12 cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ tương ứng A 8  cm  B 32  cm  16  cm  C Lời giải D 64  cm  Chọn A Ta có: V  r h  r  V h Gọi r (cm) bán kính đáy, h (cm) đường cao hình trụ Thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 2r h Ta có: 4r  12h 12  2r  h 6  h 6  2r  r  r   2r  V  r h  r   2r     8   Thể tích khối trụ: Dấu xảy r 6  2r  r 2 2 Vậy giá trị lớn của thể tích khối trụ 8 Trang 11 Một miếng tơn hình chữ nhật có chiều dài 10, 2dm , chiều rộng 2 dm uốn lại thành mặt xung quanh thùng đựng nước có chiều cao 2 dm (như hình vẽ) Biết Câu 22.17: chỗ ghép 2cm Hỏi thùng đựng lít nước? A 20, 4l B 20l C 50l Lời giải D 100l Chọn C Gọi r bán kính mặt đáy thùng Vì chỗ ghép 2cm nên ta có: 2 r 10  dm   r  10  dm  2  10  V  r h    2 50l    Thể tích thùng là: Câu 22.18: Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ  H1  ,  H  xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r2  r1 , h2 2h1 (tham khảo hình vẽ) Biết  H  thể tích tồn khối đồ chơi 30cm , thể tích khối trụ A 24cm B 15cm 3 C 20cm Lời giải D 10cm Chọn C Thể tích khối trụ  H1  1 V1  r h thể tích khối trụ  H2  V2  r22 h2   r12 h1  V2  V1 Thể tích tồn khối đồ chơi 30cm3  V1  V2 30  V1 30  V1 20 Trang 12 Câu 22.19: Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, có bán kính đáy 1m 1,8m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 2,8m B 2, 6m C 2,1m D 2,3m Lời giải Chọn C Bán kính đáy 1m 1,8m nên thể tích bể nước V1  r1 h  h  V2  r2 h 3, 24 h Thể tích bể nước là: V V1  V2 4, 24 h Bán kính bể nước là: V  r h  r  V 4, 24 h  r  4, 24 2, 06 h h Từ tơn hình chữ nhật kích thước h a , người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao h , theo hai cách sau (xem hình minh họa đây): Câu 22.20:   Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị V1 theo cách Tính tỉ số V2 V1 V1  4 V V A B V1 1 V C Lời giải V1 2 V D Chọn B Gọi r1 , r2 bán kính thùng theo cách cách 2 r1 a r  2 r1 4 r2  2  2.2 r2 a r2 Tổng chu vi đường tròn mặt đáy a nên ta có:  V1  r12 h V1  r1     22 4  V  r2 h V2  r2  Thể tích thùng theo cách là:  Trang 13