Dạng Toán NĂNG SUẤT : phương pháp giải toán thi lớp 6 trường chuyên Trần Đại Nghĩa Năng suất : khả năng hoàn thành công việc trong một đơn vị thời gian giờ, ngày, tháng….. Ý nghĩa : tron[r]
(1)Dạng Toán KIẾN THỨC TUỔI : phương pháp giải toán thi lớp trường chuyên Trần Đại Nghĩa Toán đố kiến thức tuổi tổng và hiệu số phần (2 điểm) : Phương pháp giải toán tìm tổng (hiệu) số phần : Tính tổng số phần Tìm giá trị phần : (tổng giá trị) chia (tổng số phần) Tính giá trị đại lượng : (giá trị phần) nhân (số phần) Ví minh họa :bài năm 2006 – 2007 : Cha 32 tuôỉ Sau năm thì tuổi cha gấp ba lần tuổi Hỏi tuổi cha và tuổi là bao nhiêu tuổi? KIẾN THỨC : tuổi cha – tuổi = 32 tuổi Theo đề bài : tuổi cha = lần tuổi Giải tương lai : Hiệu số phần : – = (phần) Giá trị phần : 32 : = 16(tuổi) Số tuổi cha : 16 x = 48 (tuổi) Số tuổi con:11 x = 16 (tuổi) Số tuổi cha : 48 – = 44 (tuổi) Số tuổi nay: 16 – = 12 (tuổi) Đáp số : cha 44 tuổi, 12 tuổi Ví minh họa :bài năm 2005 – 2006 : Hiện tuổi cha gấp lần tuổi và năm mà tuổi gấp đôi tuổi thì tổng số tuổi hai cha là 91 Hỏi tuổi cha là bao nhiêu? Mr Tuyến (2) TÓM TẮT : Kiến thức : Tương lai : tăng đoạn nên cha tăng đoạn biết tổng số phần và tổng giá trị nên tính số tuổi cha và Sau đó tính số tuổi cha và Giải tương lai : tổng số phần : + = (phần) Giá trị phần : 91 : = 13 (tuổi) Tuổi cha : 13 x = 52 (tuổi) Đáp số : tuổi cha là 52 (tuổi) Dặn dò : Về thời gian : cha thêm bao nhiêu tuổi thì nhiêu tuổi Tuổi cha – tuổi = không thay đổi thời điểm nào ta biết : tổng ( hiệu) giá trị và tổng số phần thì ta tính giá trị phần Sau đó tính số tuổi theo đề bài Dạng Toán SỐ PHẦN (công cụ giải toán) : phương pháp giải toán thi lớp trường chuyên Trần Đại Nghĩa số phần là tập làm đơn vị tính Nó biểu diễn đoạn thẳng sơ đồ số phần đây là công cụ toán quan trọng giải toán tiểu học nâng cao cho số tự nhiên và phân số Những dạng toán tổng (hiệu ) số phần nâng cao thêm mối liên hệ phức tạp Phương pháp giải : tiên đề là dạng toán các mối liên hệ Dùng sơ đồ số phần biểu diễn mối liên hệ Loại bỏ phần phụ chuyển toán tổng (hiệu ) số phần Mr Tuyến (3) Ví dụ minh họa :tổng số phần Tuổi ba gấp lần tuổi Biết tổng số tuổi ba và là 48 Tìm số tuổi ba và ? Phân tích : Tuổi ba gấp lần tuổi có nghĩa là : Tuổi : phần Tuổi ba : phần tổng số tuổi ba và là 48 GIẢI Sơ đồ số phần : Tuổi : |====| Tuổi ba : |====|====|====| Tổng số phần : + = (phần) Giá trị phần : 48 : = 12 (tuổi) Số tuổi : 12 x = 12 (tuổi) Số tuổi ba : 12 x = 36 (tuổi) ———————————————————————————————————Ví dụ minh họa : hiệu số phần Tìm hai số, biết hiệu hai số là 14,4 và số lớn 5/3 số nhỏ Phân tích : hiệu hai số là 14,4 số lớn 5/3 số nhỏ có nghĩa là : Mr Tuyến (4) số nhỏ: phần số lớn: phần GIẢI Sơ đồ số phần : số nhỏ: |====|====|====| số lớn : |====|====|====|====|====| Hiệu số phần : – = (phần) Giá trị phần : 14,4 : = 7,2 số nhỏ: 7,2 x = 21,6 số lớn : 7,2 x = 36 đáp số : hai số cần tìm : 21,6 và 36 —————————————————————————————————— Ví dụ minh họa : ẩn tổng số phần Một nhà hình chữ nhật có chiều dài 7/3 chiều rộng chu vi nhà là 100m tìm kích thước nhà Phân tích : chu vi nhà là 100m => tổng chiều dài 7/3 chiều rộng có nghĩa là : chiều rộng: phần chiều dài : phần Giải Sơ đồ số phần : Mr Tuyến (5) chiều rộng: |====|====|====| chiều dài: |====|====|====|====|====|====|====| Nữa chu vi : 100 : = 50m Tổng số phần : + = 10 (phần) Giá trị phần : 50 : 10 = (m) chiều rộng : x = 15 (m) chiều dài : x = 35 (m) ———————————————————————————————– Ví dụ minh họa : thay đổi trình Hiện tuổi là và 1/5 tuổi mẹ Hỏi năm thì tuổi mẹ gấp lần tuổi ? Phân tích : ta có hai thời điểm Hiện : tuổi là tuổi mẹ : lần tuổi tìm tuổi mẹ tương lai : tuổi mẹ gấp lần tuổi Ta nhận thấy hai thời điểm, tương lai có số phần, ta không thấy giá trị Ta phải tìm giá trị, thông qua kiến thức thời gian nói tuổi tương lai : mẹ tăng lên bao nhiêu tuổi thì lên nhiêu thời điểm khác thì hiệu số tuổi không đổi Mr Tuyến (6) Sơ đồ số phần : Tuổi mẹ: |———–|———–|———–| Tuổi : |———–| Tuổi mẹ là : x = 35 (tuổi) tương lai : hiệu số tuổi mẹ và : 35 – = 28(tuổi) hiệu số phần : – = (phần) giá trị phần : 28 : = 14 (tuổi) Tuổi : 14 x = 14 (tuổi) Số năm thì tuổi mẹ gấp lần tuổi : 14 – = (tuổi) Áp dụng : Bài (2 đ) năm 2007 – 2008 : Hai số tự nhiên có tổng 694 Hãy tìm hai số biết đem số lớn chia cho số nhỏ thì thương là và dư 64 Giải Theo đề bài ta có : Số lớn = số nhỏ x + 64 (1) cho số phần : số nhỏ đoạn và số lớn đoạn cộng 64 Số lớn + số nhỏ = 694 (2) cho tổng sơ đồ số phần số lớn : |———|———|———|———|====| số nhỏ : |———| 64 trình bày sau : Tồng số phần : 4+ = (phần) Mr Tuyến (7) Giá trị phần : 694 – 64 = 630 Giá trị phần : 630 : = 126 số nhỏ : 126 x = 126 số lớn : 126 x + 64 = 568 Vậy : 568 và 126 Bài (2 đ) năm 2010 – 2011 Tìm hai số cho lấy 2/3 tổng hai số đó trừ hiệu số hai số thì 32 Còn lấy 1/2 hiệu số hai số nhân với thì tổng hai số Tóm tắt mối liên hệ : Số thứ + Số thứ hai = tổng mối liên hệ : Số thứ – Số thứ hai = hiệu mối liên hệ 3: 2/3 tổng – hiệu = 32 mối liên hệ 4∶ (1/2 hiệu )×6 = tổng Kiến thức Từ sơ đồ chữ ta nhận thấy : mối liên hệ và ta tìm tổng và hiệu mối liên hệ và ta tìm hai s.ố Giải Chúng ta chấp nhận phần này ( dạng số phần cho phân số giải sau) Theo đề bài ta có : 2/3 tổng – hiệu = 32 (1) tổng=(1/2 hiệu )×6 = hiệu ×3 (2) (2) vào (1) ta có : 2/3 hiệu ×3 – hiệu = 32 Mr Tuyến (8) hiệu = 32 Suy : tổng = 32×3 = 96 sơ đồ số phần : Số thứ : |————-|==================| Số thứ hai : |————-| 32 Tồng số phần : 1+ = (phần) Giá trị phần : 96 – 32 = 64 Giá trị phần : 64 : = 32 Số thứ hai : 32 x = 32 Số thứ : 32 x = 32 + 32 = 64 thay cho phần : (Theo đề bài ta có : Số thứ + Số thứ hai = tổng = 96 (3) Số thứ – Số thứ hai = hiệu = 32 (4) Cộng (3) và (4) ta : (Số thứ nhất)×2 = 96 + 32 = 128 Số thứ = 128 : = 64 Số thứ hai = 96 – 64 = 32 Vậy hai số : 64 và 32 Dạng toán số phần cho phân số : Bài (2 đ) năm 2006 – 2007: Ba số tự nhiên có tổng là 72 Hãy tìm ba số biết ¼ số thứ 1/3 số thứ hai và 1/5 số thứ ba phân tích : ¼ số thứ = 1/3 số thứ hai = 1/5 số thứ ba (= phần tương ứng đoạn).có nghĩa là số thứ đoạn, số thứ hai đoạn, số thứ ba đoạn Mr Tuyến (9) Ba số tự nhiên có tổng là 72 cho tổng sơ đồ số phần : số thứ : |———–|———–|———–|———| số thứ hai : |———–|———–|———–| số thứ ba : |———–|———–|———–|———|———–| Giải tồng số phần : + + = 12 (phần) Giá trị phần : 72 : 12 = số thứ : x = 24 số thứ hai : x =18 số thứ ba : x = 30 : 24; 18; 30 Bài (2 đ) : Ba ô tô cho 136 học sinh tham quan Biết số học sinh xe thứ số học sinh xe thứ hai và 2/3 số học sinh xe thứ 4/5 số học sinh xe thứ ba Hỏi xe chở bao nhiêu học sinh ? phân tích : số học sinh xe thứ = số học sinh xe thứ hai 2/3 số học sinh xe thứ = 4/5 số học sinh xe thứ ba suy : số học sinh xe thứ = 6/5 số học sinh xe thứ ba : xe thứ đoạn, xe thứ ba đoạn,xe thứ hai đoạn, 136 học sinh cho tổng sơ đồ số phần : xe thứ : |———–|———–|———–|———|———–|———–| xe thứ hai : |———–|———–|———–|———|———–|———–| Mr Tuyến (10) xe thứ ba : |———–|———–|———–|———� ��|———–| Giải tồng số phần : + + = 17 (phần) Giá trị phần : 136 : 17 = hs xe thứ : x = 48 hs xe thứ hai : 48 hs xe thứ ba : x = 40 học sinh Dạng toán số phần cho phân số nâng cao : Các dạng các bạn cần vững đó chuyển sang dạng nâng cao Người đề cho thêm số mối liên hệ phức tạp Chúng ta cần : hiểu mối liên hệ + phương pháp giải -> cách giải hợp li Nếu ta không chuyển phương pháp số phần thì dùng phương pháp mối liên hệ các ví dụ minh họa : Bài (2 đ) 2004 – 2005: Số tiền Bình và An có tổng 56000 đồng Sau Bình tiêu hết 3/4 số tiền mình và An tiêu hết 2/3 số tiền mình thì số tiền còn lại hai người Tìm số tiền người Phân tích : Bình và An có tổng 56000 đồng =>cho tổng số tiền còn lại hai người =>tìm số phần giải Số tiền còn lại Bình : – 3/4 = 1/4 (số tiền) Số tiền còn lại An : – 2/3 = 1/3 (số tiền) theo đề bài :1/4 (số tiền Bình) = 1/3 (số tiền An) sơ đồ số phần : số tiền Bình : |———–|———–|———–|———| số tiền An : |———–|———–|———–| Mr Tuyến (11) tồng số phần : + = 7(phần) Giá trị phần : 56000 : = 8000 (đồng) số tiền Bình : 8000 x = 32000 (đồng) số tiền An : 8000 x = 24000(đồng) Bài (2 đ) năm 2010 – 2011 Tìm hai số cho lấy 2/3 tổng hai số đó trừ hiệu số hai số thì 32 Còn lấy 1/2 hiệu số hai số nhân với thì tổng hai số Tóm tắt mối liên hệ : Số thứ + Số thứ hai = tổng (mlh ẩn) mối liên hệ : Số thứ – Số thứ hai = hiệu.(mlh ẩn) mối liên hệ 3: 2/3 tổng – hiệu = 32 mối liên hệ 4∶ (1/2 hiệu )×6 = tổng Kiến thức : Từ sơ đồ chữ ta nhận thấy : mối liên hệ và ta tìm tổng và hiệu mối liên hệ và ta tìm hai s.ố Giải (1/2 hiệu )×6 =tổng Suy : tổng = x hiệu 2/3 tổng – hiệu = 32 ( không cho tổng( hiệu) mà cho phần giá trị Ta tính số phần giá trị đó) sơ đồ số phần : tổng : |———–|———–|———–| hiệu: |———–| số phần giá trị 32 : (2/3) x – = (phần) tổng : 32 x = 96 hiệu: 32 x = 32 sơ đồ số phần hai số : Số thứ : |————-|========32==========| Số thứ hai : |————-| Tồng số phần : 1+ = (phần) Mr Tuyến (12) Giá trị phần : 96 – 32 = 64 Giá trị phần : 64 : = 32 Số thứ hai : 32 x = 32 Số thứ : 32 x +32 = 32 + 32 = 64 Dạng Toán CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN Bài (2 đ) năm 2005 – 2006 : Tìm số tự nhiên có chữ số biết số gấp lần số tạo ta bỏ chữ số hàng trăm nó Giải số tự nhiên có chữ số : 120; 240; 360 ; 480 Bài (2 đ) năm 2007 – 2008 : Hai số tự nhiên có tổng 694 Hãy tìm hai số biết đem số lớn chia cho số nhỏ thì thương là và dư 64 Giải Theo đề bài ta có : Số lớn = số nhỏ x + 64 (1) Mr Tuyến (13) Số lớn + số nhỏ = 694 (2) Thế (1) vào (2) ta : số nhỏ x + 64 + số nhỏ = 694 nên : x số nhỏ = 694 – 64 = 630 suy : số nhỏ = 630 : = 126 Số lớn = 126 x + 64 = 568 Vậy : 568 và 126 Cách hai dùng phương pháp số phần : Theo đề bài ta có : Số lớn = số nhỏ x + 64 (1) cho số phần : số nhỏ đoạn và số lớn đoạn cộng 64 Số lớn + số nhỏ = 694 (2) cho tổng sơ đồ số phần số lớn : |———|———|———|———|====| số nhỏ : |———| 64 trình bày sau : Tồng số phần : 4+ = (phần) Giá trị phần : 694 – 64 = 630 Giá trị phần : 630 : = 126 số nhỏ : 126 x = 126 số lớn : 126 x + 64 = 568 Mr Tuyến (14) Vậy : 568 và 126 Bài (2 đ) NĂM 2010 – 2011; Tìm ba số tự nhiên biết có số có chữ số, số có chữ số , số có chữ số đồng thời trung bình cộng ba số đó là 37 Giải Theo đề bài : trung bình cộng ba số đó là 37 nên ta có tổng số : 37 x = 111 Số thứ (3 chữ số) Hàng trăm Hàng chục Hàng đơn vị * * * * * Số thứ 2(2 chữ số) Số thứ 3(1 chữ số) Tổng * 1 Hàng đơn vị ta có : * Số thứ + * Số thứ + * Số thứ = Suy : Trường hợp : * Số thứ = * Số thứ = * Số thứ = Trường hợp : * Số thứ = Mr Tuyến (15) * Số thứ = * Số thứ = Trường hợp : * Số thứ = * Số thứ = * Số thứ = Trường hợp : ta : Số thứ (3 chữ số) Hàng trăm Hàng chục Hàng đơn vị * * * Số thứ 2(2 chữ số) Số thứ 3(1 chữ số) Tổng 1 Hàng chục ta có : * Số thứ + * Số thứ (khác 0) = + (số nhớ) Suy : * Số thứ = * Số thứ (khác 0) = ta : Mr Tuyến (16) Số thứ (3 chữ số) Hàng trăm Hàng chục Hàng đơn vị * 0 Số thứ 2(2 chữ số) Số thứ 3(1 chữ số) Tổng 1 1 Hàng trăm Hàng chục Hàng đơn vị 0 Hàng trăm ta có : * + + = suy * = Số thứ (3 chữ số) Số thứ 2(2 chữ số ) Số thứ 3(1 chữ số) Tổng 1 1 Hàng trăm Hàng chục Hàng đơn vị * * * Suy : ba số cần tìm là : 100 và 10 và Trường hợp : Số thứ (3 chữ số) Số thứ 2(2 chữ số ) Số thứ 3(1 chữ số) Tổng 1 Mr Tuyến (17) Các chữ số hàng chục và trăm không đổi ta : ba số cần tìm là : 100 và 11 và Trường hợp : Số thứ (3 chữ số) Hàng trăm Hàng chục Hàng đơn vị * * * Số thứ 2(2 chữ số ) Số thứ 3(1 chữ số) Tổng 1 Các chữ số hàng chục và trăm không đổi ta : ba số cần tìm là : 101 và 10 và Kết luận : 100 và 10 và 1; 100 và 11 và ; 101 và 10 và Bài (2 đ) Năm 2007 – 2008 : Ba bạn Thủy, Hồng, Loan làm bài kiểm tra toán và tổng số điểm là 28 Tìm điểm riêng bạn biết điểm bạn Hồng cao và điểm ba bạn là số tự nhiên Nhận xét : Áp dụng tìm số tư nhiên vào tình thực tế là số điểm làm bài kiểm tra toán Phạm vi áp dụng số tự nhiên : từ đến 10 (điểm) Giải Giả sử ba bạn có số điểm bài kiểm tra toán là Tổng số điểm là x = 27 < 28 Nên bài kiểm tra phải có điểm 10 Hồng có điểm bài kiểm tra toán cao là 10 Nên tổng số điểm Thủy, Loan là : 28 – 10 = 18 (điểm) Xét : Nếu Thủy có điểm bài kiểm tra toán là thì Loan có điểm bài kiểm tra toán là 18 – = Mr Tuyến (18) Nếu Thủy có điểm bài kiểm tra toán là thì Loan có điểm bài kiểm tra toán là 18 – = 10 số điểm hồng nên không thỏa đề bài Nếu Thủy có điểm bài kiểm tra toán là thì Loan có điểm bài kiểm tra toán là 18 – = 11>10 nên không thỏa thực tế : Thủy có điểm bài kiểm tra toán là 9; Hồng có điểm bài kiểm tra toán cao là 10; Loan có điểm bài kiểm tra toán là Dạng Toán NĂNG SUẤT : phương pháp giải toán thi lớp trường chuyên Trần Đại Nghĩa Năng suất : khả hoàn thành công việc đơn vị thời gian (giờ, ngày, tháng…) Ý nghĩa : (ngày, tháng…) hoàn thành bao nhiêu phần công việc Ứng dụng thực tế : Khi biết suất đối tượng( người, máy , …) Trong hoạch định hoàn thành công việc thì cần bao nhiêu nhân công, bao nhiêu thiết bị, … Công thức : N = 1/t đó : : công việc cần thực t : thời gian hoàn thành công việc đó Công thức hệ : Thời gian hoàn thành môt công việc : t = 1/ N đó : N : suất (số công việc đơn vị thời gian ) Số công việc thực thời gian T : CV = N T Chúng ta cùng tìm hiểu kỹ nhé Mr Tuyến (19) Ví minh họa :bài (2 đ) năm 2008 – 2009 : Hai người thợ cùng làm chung công việc thì sau xong Nếu làm mình thì người thứ làm công việc xong Hỏi Nếu người thứ hai làm mình công việc xong ? Kiến thức : Biết : Năng suất chung :(số công việc hai người thợ hoàn thành) : Nchung = N1 + N2 và Năng suất Người thứ : N1 tìm : Năng suất Người thứ hai : N2 Giải Số công việc hai người thợ làm chung : 1/6 (công việc) Số công việc người thợ thứ làm : 1/9 (công việc) Số công việc người thợ thứ hai làm : 1/6 – 1/9 = 1/18 (công việc) Thời gian người thợ thứ hai làm mình xong công việc : : 1/18 = 18 Đáp số : 18 Mr Tuyến (20) Ví minh họa :bài (2 đ) năm 2009 – 2010 : Ba người cùng làm chung công việc thì sau xong Nếu làm mình thì người thứ làm công việc xong và người thứ hai làm công việc mình 12 xong Hỏi người thứ ba làm mình công việc bao lâu xong ? Kiến thức : Năng suất chung :(số công việc hai người thợ hoàn thành) : Nchung = N1 + N2.+ N3 Năng suất Người thứ : N1 Năng suất Người thứ hai : N2 tìm : Năng suất Người thứ ba: N3 Giải Số công việc hai người thợ làm chung : 1/3 (công việc) Số công việc người thợ thứ làm : 1/8 (công việc) Số công việc người thợ thứ hai làm : 1/12(công việc) Mr Tuyến (21) Số công việc người thợ thứ ba làm : 1/3 – (1/8 + 1/12) = 1/8(công việc) Thời gian người thợ thứ ba làm mình xong công việc : : 1/8 = Đáp số : Ví minh họa :bài (2 đ) năm 2006 – 2007 : Hai người thợ Thành và Long cùng làm chung công việc theo dự định ngày thì xong Làm chung ngày thì Thành bị bệnh phải nghĩ, long phải làm mình ngày thì xong Hỏi làm mình công việc thì người bao nhiêu ngày? Kiến thức : Dự định : tìm suất chung Thành và Long : Nchung = N1 + N2 Thực chia thành hai giai đoạn : Thành và Long làm chung ngày : tìm số công việc làm chung : (thời gian) x (năng suất) Suy : số công việc còn lại Thành nghĩ và Long làm mình số công việc còn lại tìm suất Long : N2 Cuối cùng tìm suất Thành : N1 Giải Số công việc Thành và Long làm chung ngày : Mr Tuyến (22) 1/6 (công việc) Số công việc Thành và Long làm chung ngày : x 1/6 = 2/3 (công việc) Số công việc còn lại Long làm mình: – 2/3 = 1/3 (công việc) Số công việc Long làm ngày : 1/3 : = 1/15 (công việc) Số công việc Thành làm ngày : 1/6 – 1/15 = 1/10(công việc) Thời gian Thành làm mình xong công việc : : 1/10 = 10 ngày Thời gian Long làm mình xong công việc : : 1/15 = 15 ngày Đáp số : Thành : 10 ngày ; Long : 15ngày Dặn dò : Khái niệm và công thức suất để chúng ta tư và đơn gian bài toán Khi trình bày chúng ta nói lại cho rõ ràng Mr Tuyến (23)