Dạng toán 39 tìm tham số để hàm số bậc 1 trên bậc 1 đơn điệu

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 39: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ BẬC TRÊN BẬC ĐƠN ĐIỆU KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f  x  0 x  K f  x  0 , hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f  x  0 x  K f  x  0 , hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP y  f  x ; m  ;  Bài tốn Tìm tham số m để hàm số đơn điệu khoảng Bước 1:Ghi điều kiện để y  f  x ; m đơn điệu   ;   Chẳng hạn:  Đề yêu cầu y  f  x ; m  đồng biến   ;    y  f  x ; m  0  Đề yêu cầu y  f  x ; m  nghịch biến   ;    y  f  x ; m  0 g  x Bước 2:Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại , có hai trường hợp thường gặp :  m g  x  , g  x x    ;    m max  ;  g  x  m  g  x  x    ;    m min  ;  , Bước 3:Khảo sát tính đơn điệu hàm số giá trị nhỏ Từ suy m Bài tốn Tìm Tìm tham số m để hàm số  Tìm tập xác định, chẳng hạn x  g  x y D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn ax  b cx  d đơn điệu khoảng   ;   d c Tính đạo hàm y  Hàm số đồng biến  y   (hàm số nghịch biến  y   ) Giải tìm m  1  Vì x  d d   ;  x   ;    c có nên c Giải tìm m  2  Lấy giao  1   giá trị m cần tìm  Cần nhớ: “Nếu hàm số phương trình f  t  0 f  t đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến nghịch biến) f  u   f  v   u v có tối đa nghiệm u , v  D Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA  x ;x  Bài toán Để hàm số y ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) d ta thực bước sau: + Tính y a 0   1 + Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến ngịch biến:   + Biến đổi x1  x2 d x x thành   + Sử dụng định kí Vi-et đưa  2  x1 x2 d   thành phương trình theo m + Giải phương trình, so với điều kiện  1 để chọn nghiệm Kiến thức liên quan: Định lí dấu tam thức bậc hai g  x  ax  bx  c g  x + Nếu   ln dấu với a + Nếu  0 g  x dấu với a, trừ x  b 2a g  x g  x + Nếu   có hai nghiệm x1 , x2 khoảng hai nghiệm khác dấu với a , ngồi khoảng hai nghiệm g  x dấu với a g  x  ax  bx  c So sánh nghiệm x1 , x2 tam thức bậc hai với số 0:      x1  x2    P  S         x1  x2   P  S    x1   x2  P   Các trường hợp đặc biệt:  Hàm số  Hàm số y ax  b  ad  bc 0  cx  d đồng biến khoảng xác định khi: ad  bc  y ax  b  ad  bc 0  cx  d nghịch biến khoảng xác định khi: ad  bc  ad  bc    d ax  b y  ad  bc 0   ;    khi:  c  cx  d  Hàm số đồng biến khoảng ad  bc    d ax  b y  ad  bc 0   c   ;   cx  d  Hàm số nghịch biến khoảng khi: Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA ad  bc      d   c   d ax  b   y  ad  bc 0   ;   c    cx  d  Hàm số đồng biến khoảng khi: ad  bc      d   c   d ax  b   y  ad  bc 0   ;     cx  d  Hàm số nghịch biến khoảng khi:   c  Tổng n số hạng đầu cấp số cộng là: Sn   u1  un  n BÀI TẬP MẪU Cho hàm số f  x  biến khoảng mx  x  m ( m tham số thực) Có giá trị nguyên m để hàm số cho đồng  0;  ? A C B D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị tham số m để hàm số đồng biến khoảng cho trước HƯỚNG GIẢI: y  B1: Tìm điều kiện xác định; tính đạo hàm  m2   x  m ,  x m  B2:Tìm điều kiện để hàm số cho đồng biến khoảng  0;  :  y   0, x   0;     x m   m2     m 0 B3: Tìm m thỏa mãn điều kiện bước 2, chọn giá trị nguyên m thỏa mãn Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D Điều kiện xác định: x m y  Ta có:  m2   x  m Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  y  0, x   0;      0;   x m Hàm số cho đồng biến khoảng  m2     m       m 0  m 0  m 0 m    1;0 Mà m   nên Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn BÀI TẬP MẪU Cho hàm số y đồng biến x  m2  x  4m ( m tham số thực) Có giá trị nguyên m để hàm số cho   ;1 A C B D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây dạng tính đơn điệu hàm số khoảng cho trước HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm hàm số  y'    ;1 4m 1 B2: Hàm số đồng biến khoảng B3: Kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C y  ĐKXĐ : x  4m ;  m  4m   x  4m    m  4m   y'     m     ;   4m 1 Hàm số đồng biến khoảng 0  m    m  m   1; 2; 3 Do m số nguyên nên Vậy chọn đáp án C Bài tập tương tự phát triển: Câu 39.1:Kết m để hàm số sau y xm x  đồng biến khoảng xác định Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA A m 2 B m  C m  D m 2 Lời giải Chọn C Tập xác định: y  Ta có D  \   2 2 m  x  2 Để hàm số đồng biến  2 m  x  2   ;     2;  y  0  2 m 0  m 2 x  m2 y x  3m  đồng biến khoảng   ;1 Câu 39.2:Tìm tất giá trị m để hàm số A m    ;1   2;   C m   1;  B m    ;1 D m   2;   Lời giải Chọn D ĐKXĐ: x 3m  y  Ta có: m  3m   x  3m   m2  3m     m2  ;1  m    Hàm số đồng biến khoảng Câu 39.3:Tìm tất giá trị m để hàm số A   m   y B   m  mx  x  m nghịch biến   ;1 C  m   D   m  Lời giải Chọn D ĐKXĐ: x  m m2  mx   y'  0 y x  m      ;1  x  m nghịch biến Hàm số , x    ;1 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA m     m     m 1    m  m  Câu 39.4:Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y mx  10 x  m nghịch biến  0;  khoảng A B C D Lời giải Chọn A x  ĐKXĐ: y  Ta có m m2  20  2x  m Hàm số nghịch biến khoảng  0;    m   m  20      m 0  m  m      0;   m   5;     0;      m    4;0;1; 2;3; 4 Vì m  Câu 39.5:Cho hàm số y mx  2m  x m với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số đồng biến khoảng  2;  Tìm tổng phần tử S A B C D Lời giải Chọn A ĐKXĐ: x m y  Ta có  m  2m   x  m Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  m  2m    2;   m 2 Hàm số đồng biến khoảng   m   m 2    m 2 Vậy S  0;1; 2 nên tổng phần tử Câu 39.6:Tính tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số y 3x  m x  m đồng biến khoảng   ;   ? A B 10 C D 11 Lời giải Chọn B ĐKXĐ: x  m y  2m  x  m  2m 0    x  m  2m  m      m    ;    m    ;     m    m 4 YCBT  m   1, 2,3, 4 Do m nguyên nên Vậy tổng giá trị m 10 Câu 39.7:Tìm m để hàm số A m    4;1 y  m  3 x  xm B nghịch biến khoảng m    4; 1 C   ;1 m    4;  1 D m    4;  1 Lời giải Chọn C ĐKXĐ: x  m y  m  3m   x  m m  3m     ;1   m Để hàm số nghịch biến khoảng  m    4;1   m    4;  1 m  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Câu 39.8:Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y (m  1) x  2m  12 xm nghịch biến khoảng (1; ) ? A B C D Lời giải Chọn D m2  m  12 y'  D  \   m ( x  m) Ta có : TXĐ: ; m  m  12    1;     m   1;     Hàm số nghịch biến khoảng   m    m    m 1 Suy có giá trị nguyên m thỏa mãn đề Câu 39.9: Biết tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số  3;  tập có dạng  a; b Tính giá trị B A y mx  6m  x m đồng biến S a  b C  D Lời giải Chọn A Tập xác định y  D  \  m  m  6m   x  m  y    m  6m     m   3;   3;       m 3 Hàm số đồng biến 1  m     m 3  m   1;3 m 3 Suy a 1, b 3  S a  b 4 Câu 39.10: Cho hàm số y mx  2 x  m , m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên  0;1 Tính tổng phần tử S tham số m để hàm số nghịch biến khoảng Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA B A D C Lời giải Chọn A  m D  \     2 Tập xác định y  m2   2x  m   m      m 0   m  m2          m    m 0   m   1   0;1   m      m     u cầu tốn Vì Câu 39.11: m    m   0;1 Vậy tổng giá trị m thỏa mãn đề m    10;10 Tổng tất giá trị nguyên tham số cho hàm số y tan x  tan x  m      ;0  đồng biến khoảng   A  48 B 45 C  55 D  54 Lời giải Chọn D Điều kiện: tan x m y'  Ta có Và 2 m cos x  tan x  m  tan x    1;0     x    ;  0   Vì cos x với    x    ;    với      ;0  Hàm số cho đồng biến khoảng   khi: m   2  m     m     m 0  m    ;  1   0;  m    1;0   Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA m    m    10;  9; ;  1;0;1  m    10;10   Ta có Tổng giá trị m S   10  1 10    54 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số Câu 39.12: y  cot x  cot x  2m nghịch biến    0;  khoảng   A B C D Lời giải Chọn A Điều kiện: cot x  2m y '  Ta có Và  2m  sin x  cot x  2m  cot x   1;   Vì    x   0;  0  4 sin x với   x   0;   4 với    0;  Hàm số cho nghịch biến khoảng   khi: m     2m   m       m    m     2m   1;    2m 1 Câu 39.13: y   100;100  cho hàm số Có giá trị nguyên tham số m khoảng  ex  e x  m nghịch biến khoảng  0;   A 100 B 102 C 112 D 110 Lời giải Chọn B x Điều kiện: e  m Trang 10 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA m    2019;  2018; 0;1 Do m nguyên nên Vậy có 2021 giá trị m   2020; 2020  để hàm số Tính tổng giá trị nguyên tham số m khoảng Câu 39.20: y sin x  sin x  m đồng biến khoảng A  2039187    0;   4 B 2022 C 2093193 D 2021 Lời giải Chọn A ĐK: sin x m sin x   y   y sin x  m Ta có cos x  sin x  m    sin x   cos x  sin x  m   cos x   m   sin x  m   2   cos x  0; sin x   0;  x   0;      nên Vì 3  m     m 0        0;    m  Suy hàm số đồng biến khoảng   Vì  m 0   m   m    m    2019;  2018; ;  1; 0   1; 2 Vậy tổng giá trị tham số m là: S Câu 39.21:  2019  2020    2039187 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số khoảng A y x 1 x  3m nghịch biến  6;  ? B C Lời giải D Vô số Chọn C Tập xác định D  \   3m y  ; 3m   x  3m  Trang 15 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x 1 y x  3m nghịch biến khoảng Hàm số  6;   y    6;   D khi:   m  3m        m   m     3m 6  m    2;  1;0 Vì m   Câu 39.22: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x  x  mx  đồng biến   ; 0 khoảng A m 0 B m  C m  Lời giải D m  Chọn C Tập xác định: D  Đạo hàm: y 3 x  x  m Hàm số đồng biến khoảng   ; 0 y 0 , x   x  x  m 0 , x  Cách 1: 3x  x  m 0 , x   3x  x m , x  Xét hàm số Xét f  x  3x  x khoảng    ;0  , ta có: f  x  6 x  f  x  0  x  0  x  f   1  Ta có Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: m  Cách 2: Ta có  9  3m Nếu  0  m  y 0 , x    y  0 , x  Nếu   y có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Khi để y 0 , x  ta phải có  x1  x2 Điều khơng thể xảy S  x1  x2   Trang 16 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Vậy m  Cách 3: y  x3  x  3x   x  1 y 3  x 1 0 x Phương án B: Với m  ta có Khi , Suy hàm số đồng biến khoảng    ;0  Vậy B đáp án y  x   m  1 x  4mx Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số đồng biến Câu 39.23:  1; 4 đoạn m A m2 C Lời giải B m   D m 2 Chọn A Ta có: y  x   m  1 x  4m x   1; 4  2m  x    x  x x   1; 4 Yêu cầu toán  y 0 , , x  2m  x   x  x   x   1; 4  m  x   1; 4  m  , , Câu 39.24: Tìm tất giá trị thực tham số m mx3  7mx  14 x  m  giảm nửa khoảng [1; ) 14  14  14      2;     ;     ;    15  15  15  A  B  C  Lời giải cho hàm số y  f  x   14    15 ;    D Chọn B Tập xác định D  , yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình mx  14mx  14 0 , x 1 tương đương với Dễ dàng có  1 Kết luận: g  x hàm tăng  g  x  m   x 1 g  x  x   1;     14 m  1 x  14 x , suy g  x   g  1  x 1 14 15 14 m 15 1 y  x  mx  2mx  3m  Câu 39.25: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài Tổng tất phần tử S A B  C  Lời giải D Chọn D Trang 17 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Tập xác định: D  2  1 Ta có: y  x  mx  2m , y 0  x  mx  2m 0  1 phải có hai nghiệm x1 , Để hàm số cho nghịch biến đoạn có độ dài x2 thỏa mãn m  8m      x1  x2 3 x1  x2 3   m  8m  0 Điều tương đương với  m    m 9 Do đó, S   1;9 Vậy tổng tất phần tử S Câu 39.26: y  x   2m  3 x  m Tất giá trị thực tham số m cho hàm số nghịch  p p  ;    1;   q  , phân số q tối giản q  Hỏi tổng p  q biến khoảng bằng? A B C D Lời giải Chọn C y  x3   2m  3 x Tập xác định D  Ta có  m  x   g  x  x   1;  1;  x  1;    y 0 ,   Hàm số nghịch biến ,  1;  g  x  2 x 0  x 0 Lập bảng biến thiên g ( x) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g  x   m  Vậy p  q 5  7 Trang 18 GV: LÊ QUANG XE Câu 39.27: Gọi 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA S tập hợp tất giá trị tham m số để hàm số 1 f  x   m x  mx  10 x   m  m  20  x đồng biến  Tổng giá trị tất phần tử thuộc S A B  C Lời giải D Chọn C Ta có f  x  m x  mx  20 x   m  m  20  m  x  1  m  x  1  20  x  1 m  x  1  x  1  x  1  m  x  1  x  1  20  x  1  x  1  m  x  1  x  1  m  x  1  20   x  f  x  0   2  m  x  1  x  1  m  x  1  20 0  * f  x  0  * không nhận x  nghiệm Ta có có nghiệm đơn x  , f  x  f  x f  x  0 x   đổi dấu qua x  Do để đồng biến  , hay  * nhận x  làm nghiệm (bậc lẻ) Suy m    1   1  m    1  20 0   4m2  2m  20 0 Tổng giá trị m Câu 39.28: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m cho hàm số khoảng A y x 1 x  x  m nghịch biến   1;1   ;  2 B   3;  2   ; 0 C Lời giải D   ;   Chọn A y  Ta có m   x  1 x 2  x  m  m   x  1 0  2 x  x  m     y 0   x    1;1 x  x  m 0 x    1;1   x  x  m 0   Yêu cầu toánt , , Trang 19 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA m  x  1   m  x  x , x    1;1 + m  x  1 , x    1;1  m 0  * + Đặt f  x   x  x x    1;1 , x    f x  x  f x         Bảng biến thiên: 1  m    ;  2   ;   4   ** Vậy   ,    m    ;  2 Từ Câu 39.29: Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khoảng xác định nó? A B C Lời giải y 3x  m  3m x  đồng biến D Chọn C Tập xác định D  \   1 2 y 3x  m  3m y  x 1   x  1   m  3m   x  1 Hàm số đồng biến khoảng xác định y 0 , x   m  3m 0   m 0 m    3;  2;  1;0 Do m    Câu 39.30: y  x  mx  x đồng biến Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số khoảng A  0;   B C Lời giải D Chọn A Trang 20