Dạng toán 46 tìm cực trị hàm số hợp f(u(x) khi biết đồ thị hàm số f(x)

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 46: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Đạo hàm hàm số hợp:  g  x   f  u  x    g  x  u  x  f   u  x    u  x  0  g  x  0    f   u  x   0  Lập bảng biến thiên hàm số y  f  x  biết đồ thị hàm số y  f  x  B1 Xác định giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  với trục hoành B2: Xét dấu hàm số y  f  x  , ta làm sau - Phần đồ thị f  x  nằm bên trục hồnh khoảng  a; b  f  x   , x   a; b  - Phần đồ thị f  x  nằm bên trục hoành khoảng  a; b  f  x   , x   a; b   Lập bảng biến thiên hàm số g  x   f  x   u  x  biết đồ thị hàm số y  f  x  B1: Đạo hàm g  x   f  x   u  x  Cho g  x  0  f  x   u  x  B2 Xác định giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  u  x  B3: Xét dấu hàm số y  g  x  , ta làm sau - Phần đồ thị f  x  nằm bên đồ thị  u x  khoảng  a; b  g  x   , x   a; b  - Phần đồ thị f  x  nằm bên đồ thị  u x  khoảng  a; b  g  x   , x   a; b  BÀI TẬP MẪU Cho hàm số bậc bốn y  f ( x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x)  f  x  3x  A B C D 11 Phân tích hướng dẫn giải Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm số cực trị hàm hợp f  u  x   biết đồ thị hàm số f  x  KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Đạo hàm hàm hợp:  f  u  x     u  x  f  u   Định lí cực trị hàm số: Cho hàm số y  f  x  xác định D Điểm x0  D điểm cực trị hàm số y  f  x  f  x0  0 f  x0  không xác định f  x  đổi dấu qua x0  Sự tương giao hai đồ thị: Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y g  x  nghiệm phương trình f  x  g  x   1 Số nghiệm phương trình  1 số giao điểm hai cực trị  Tính chất đổi dấu biểu thức: Gọi x  nghiệm phương trình: f  x  0 Khi Nếu x  nghiệm bội bậc chẳn (  x    ,  x    , ) hàm số y  f  x  không đổi dấu qua  Nếu x  nghiệm đơn nghiệm bội bậc lẻ (  x    ,  x    , )thì hàm số y  f  x  đổi dấu qua  HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm hàm số: g ( x)  f  x  x  B2: Dựa vào đồ thị hàm f  x  ta suy số nghiệm phương trình : g ( x) 0 B3: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x)  f  x  3x  suy số cực trị Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA a c b Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên y  f ( x) sau: g ( x)  f  x  3x   g ( x )  x  3x   f  x  3x   3x  x  f  x  3x  g ( x ) 0   3x  x  f  x  3x    x     x 0  x  x 0  0      x  x a    f  x  x  0   x  x b   0;     x  x c    1  2  3  x 0 Xét hàm số h( x) x  x  h( x) 3 x  x  h( x) 0    x  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, ta thấy Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h( x) điểm Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h( x) điểm Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h( x) điểm Như vậy, phương trình g ( x) 0 có tất nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số g ( x)  f  x  3x  có cực trị Cách trình bày khác: Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng toán sử dụng đồ thị (hoặc bảng biến thiên) hàm số y  f  x  (hoặc y  f  x  ) để tìm cực trị hàm số g  x   f  u  x   HƯỚNG GIẢI: B1: Lập bảng biên thiên hàm số y  f  x  - Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  xác định cực trị hàm số y  f  x  - Lập bảng biến thiên x f  x  f  x a   c b       B2: Tìm điểm tới hạn hàm số g  x   f  x  3x  - Đạo hàm g  x   x  x  f  x  x   x 0   x   3x  x 0   x3  3x a; a  - Cho g  x  0     f  x  3x  0  x  3x b;  b    x  3x c; c  3 B3: Khảo sát hàm số h  x  x  3x để tìm số giao điểm đồ thị h  x  x  3x với đường thẳng y a, y b, y c Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  sau x  a b c  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f  x  f  x       2 Ta có g  x   f  x  3x   g  x   x  x  f  x  3x   x 0   x   3x  x 0   x3  3x a; a  Cho g  x  0     f  x  3x  0  x  3x b;  b    x  3x c; c   x 0 2 Xét hàm số h  x  x  3x  h x  3x  x Cho h x  0    x  Bảng biến thiên Ta có đồ thị hàm h  x  x  3x sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h  x  điểm Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h  x  điểm Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h  x  điểm Như phương trình g  x  0 có tất nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số g  x   f  x  3x  có cực trị Bài tập tương tự phát triển: Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Câu 46.1: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  hình bên Tìm số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3 A B C D Lời giải Chọn B Ta có g  x  2 xf  x  3  x 0 theo thi f ' x  g  x  0        f  x  3 0  x 0  x 0     x 1  x    x  1  nghiem kep   x 2  nghiem kep    Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực trị Câu 46.2: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x )  đồ thị hàm số f '( x) hình vẽ Tìm số điểm cực trụ hàm số g  x   f ( x  x  1) A B C D Lời giải Chọn D  x 1 Ta có: g '  x  (2 x  2) f '( x  x  1) Nhận xét: g '  x  0   x  x      x  x  2   x 0  x 1   x 2; x 3 Ta có bảng biến thiên: Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có ba cực trị Câu 46.3: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  Đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f '  x  Hàm số g  x  f   x  x  có điểm cực trị ? A C B D Lời giải Chọn C Ta có g  x   x 1 x  2x    x2  2x  f  x  0   x  0  x  x   theo thi f ' x       Suy g  x  0   2  f  x  x  0 x  x       x  x  3    x    x    x    Bảng xét dấu Từ suy hàm số g  x   f   x  x  có điểm cực trị Câu 46.4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm ¡ có bảng xét dấu y  f  x  sau Hỏi hàm số g  x   f  x  x  có điểm cực tiểu ? A B C D Lời giải Chọn A Ta có g  x   x   f  x  x  ; Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA  x 1   x  0 x  x  theo BBT f ' x  g  x  0         2 x  x 1 nghiem kep   f  x  x  0   x  x 3  x 1  x 1   nghiem kep    x    x 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực tiểu Câu 46.5: Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên hàm số f  x  sau: Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D Lời giải Chọn B  x a    ;  1   x b    1;0  Dựa vào bảng biến thiên ta có: f  x  0    x c   0;1  x d   1;       x 2   x  x a    ;  1 x       x  x b    1;  Ta có: y  x   f  x  x  , y  0     f  x  x  0  x  x c  0;1     x  x d   1;      Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Ta có x   x  x  f   1  0 2 Mặt khác: x  x  x  1   nên:  x  x a vô nghiệm  x  x b có nghiệm phân biệt x1 , x2  x  x c có nghiệm phân biệt x3 , x4  x  x d có nghiệm phân biệt x5 , x6 Vậy phương trình y  0 có nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có điểm cực trị Câu 46.6: Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên hàm số f  x  sau Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên ta có phương trình f  x  0 có nghiệm tương ứng  x a, a    ;  1   x b, b    1;0   x c, c  0;1     x d , d   1;    2 Xét hàm số y  f  x  x   y 2  x  1 f  x  x  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  x 1   x  x a x  0     x  x b Giải phương trình y 0   x  1 f  x  x  0     f  x  x  0  x  x c   x  x d   1  2  3  4 Vẽ đồ thị hàm số h  x  x  x Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình  1 vơ nghiệm Các phương trình   ;   ;   phương trình có nghiệm Các nghiệm phân biệt Vậy phương trình y 0 có nghiệm phân biệt nên hàm số y  f  x  x  có điểm cực trị Câu 46.7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  x  khoảng   ;  Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Đồ thị hàm số y  f  x   có điểm cực đại, cực tiểu? A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực đại, điểm cực tiểu C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên Trang 10