Cd3.5 Khoi Cau Noi-Ngoai Tiep Khoi Da Dien-Md4.Doc

HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 3 5 Khối cầu Một số bài toán liên quan mặt cầu nội, ngoại tiếp các khối đa diện MỨC ĐỘ 4 Câu 1 [2H[.]

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 3.5 Khối cầu: Một số toán liên quan mặt cầu nội, ngoại tiếp khối đa diện MỨC ĐỘ Câu [2H2-3.5-4] [BTN 173] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V  3 a 27 B V  21 a 3 a C V  18 81 Hướng dẫn giải D V  21 a 54 Chọn D S p a a I G q A a D H O B a C Gọi O  AC  BD Dựng đường thẳng p qua điểm O vng góc với mặt phẳng  ABCD  => p trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Dựng đường thẳng q qua G vng góc với mặt phẳng  SAB  cắt p I => q trục đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB Khi đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Thật vậy, I  p  IA IB IC ID  1 I  q  IA IB IS   Từ (1) (2) suy IA IB IC ID  nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD BC a  GI OH đường trung bình tam giác ABC nên OH  2 2 a a Vì G trọng tâm tam giác SAC nên SG  SH   3  a   a  7a a 21  R Tam giác SGI vuông G nên SI SG  IG  R       12    2 2 2 4  a 21  21 a 3 V   R    Vậy thể tích khối cầu   3   54 Câu [2H2-3.5-4] [BTN 169] Cho hình chóp S ABC có SA SB SC 4 , đường cao SH 3 Tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN A r 3 B r 2 PHƯƠNG PHÁP C r  Hướng dẫn giải D r  Chọn D Gọi điểm hình vẽ bên Trong H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác suy SH   ABC  , HA HB HC  Điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Trong tam giác vng IHB ta có IH  r  Khi 3  r  SH SI  IH r  r  3   r  r  6r  r    8r r  Câu [2H2-3.5-4] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho hình hộp ABCD ABC D nội tiếp hình trụ cho trước, khoảng cách từ tâm hình trụ đến  ABBA , góc DB  ABBA 30o Biết bán kính hình trụ , tỉ số thể tích khối hộp khối cầu ngoại tiếp hình hộp là? 10 12 11 13 A B C D 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C Hình hộp ABCD ABC D nội tiếp hình trụ nên hình hộp chữ nhật Gọi O tâm ABCD , E trung điểm AB Ta có: OE 3 , OA 5  AD 6 Xét AEO vng tạo E , có: AE  OA2  OE 4  AB 8  A 60o Vì AD   ABBA nên AB hình chiếu vng góc DB lên  ABBA  DB TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Xét tam giác ABD vng A có: AB  AD tan 60o 6 , BD  AD  AB2 12 Xét tam giác ABB vng B có: BB  AB2  AB 2 11 Thể tích khối hộp VABCD ABC D BB.S ABCD 2 11.8.6 96 11 BD 6 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp R  Thể tích khối cầu V   R 288 Vậy tỉ số thể tích khối hộp khối cầu ngoại tiếp hình hộp Câu 11 3 [2H2-3.5-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD 2a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AD, DC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S DMN A R  a 102 B R  a 31 C R  a 39 D R  a 39 13 Hướng dẫn giải Chọn A S d O K E A x M N H B D I C Gọi I trung điểm MN Suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN d đường thẳng qua I vng góc với mặt đáy E hình chiếu I lên AB O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S DMN K hình chiếu O lên SH Đặt OI  x 5a2 a Ta có DI  MN  Suy OD  ID2  OI   x2 16 a  x; KO HI AM  HN 3a EI   2 SK SH  x  HI  EI  HE  9a2 a2 a 37   16 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP 49a2  a 3x  x2 16 Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp nên: 49a2 a11 SO DO   a 3x  x2 x2  5a  x  16 Suy SO  SK  KO2  a 102  R OD  Câu [2H2-3.5-4] [TT Tân Hồng Phong] Cho hình chóp S ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm giá trị lớn tổng: T SA2  SB  SC  SD  AB  BC  CD  DA2  AC  BD A 12R B 20R C 25R D 24R Hướng dẫn giải Chọn C Gọi I tâm mặt cầu  IA IB IC ID IS R Ta có: T SA2  SB  SC  SD  AB  BC  CD  DA2  AC  BD    2   2   IS  IA  IS  IB  IS  IC  IS  ID   2  2   2     2  IB  IA  IC  IB  ID  IC  IA  ID  IC  IA  ID  IB      5  IS  IA2  IB  IC  ID   IS  IA  IB  IC  ID                       5  IS  IA2  IB  IC  ID  25 R Câu [2H2-3.5-4] [BTN 162] Cho tứ diện SABC , đáy ABC tam giác vuông B với AB 3, BC 4 Hai mặt bên  SAB   SAC  vng góc với  ABC  SC hợp với  ABC  góc 45 Thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: A V 125 B V  5 C V 125 D V  25 Hướng dẫn giải Chọn A Đáp án D ABC : AC   16 5  SAB    ABC  ,  SAC    ABC   SA   ABC    SAC 45  SA SC 5 3  SC  4   125 V            Câu [2H2-3.5-4] [BTN 173] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V  3 a 27 B V  21 a 3 a C V  18 81 Hướng dẫn giải D V  21 a 54 TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Chọn D S p a a I G q A a D H O B a C Gọi O  AC  BD Dựng đường thẳng p qua điểm O vng góc với mặt phẳng  ABCD  => p trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Dựng đường thẳng q qua G vng góc với mặt phẳng  SAB  cắt p I => q trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Khi đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Thật vậy, I  p  IA IB IC ID  1 I  q  IA IB IS   Từ (1) (2) suy IA IB IC ID  nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD BC a  GI OH đường trung bình tam giác ABC nên OH  2 2 a a Vì G trọng tâm tam giác SAC nên SG  SH   3  a   a  7a a 21  R Tam giác SGI vuông G nên SI SG  IG  R       12    2 2 2 4  a 21  21 a  Vậy thể tích khối cầu V   R     3   54 Câu [2H2-3.5-4] [BTN 169] Cho hình chóp S ABC có SA SB SC 4 , đường cao SH 3 Tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A r 3 B r 2 C r  D r  3 Hướng dẫn giải Chọn D TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Gọi điểm hình vẽ bên Trong H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác suy SH   ABC  , HA HB HC  Điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Trong tam giác vng IHB ta có IH  r  Khi 3  r  SH SI  IH r  r  3   r  r  6r  r    8r r  Câu [2H2-3.5-4] [BTN 167] CHo hình chóp S ABCD có SA a; AB BC 2a; ABC 120 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho A a 17 B a 17 a 17 Hướng dẫn giải C D a 17 Chọn D S O a M D A 2a H 2a C B Trong  ABC  , gọi D điểm đối xứng B qua AC Do tam giác ABC cân B ABC 120 nên tam giác ABD, DBC tam giác Suy ra: DA DB DC 2a Do D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC * Dựng đường thẳng  qua D song song SA     ABC    trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M trung điểm SA,  SA,   , kẻ đường thẳng d qua M song song AD, suy d  SA  d trung trực đoạn SA Trong  SA,   , gọi O d   Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC a2 a 17 Xét tam giác OAD, ta có R OA  AD  AM  4a    Câu 10 [2H2-3.5-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD 2a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AD, DC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S DMN TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN A R  a 102 PHƯƠNG PHÁP B R  a 31 C R  a 39 D R  a 39 13 Hướng dẫn giải Chọn A S d O K E A x M D I N H B C Gọi I trung điểm MN Suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN d đường thẳng qua I vng góc với mặt đáy E hình chiếu I lên AB O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S DMN K hình chiếu O lên SH Đặt OI  x 5a2 a Ta có DI  MN  Suy OD  ID2  OI   x2 16 a  x; KO HI AM  HN 3a EI   2 SK SH  x  HI  EI  HE  9a2 a2 a 37   16 49a2  a 3x  x2 16 Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp nên: 49a2 a11 SO DO   a 3x  x2 x2  5a  x  16 Suy SO  SK  KO2  a 102  R OD  Câu 11 [2H2-3.5-4] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho hình hộp ABCD ABC D nội tiếp hình trụ cho trước, khoảng cách từ tâm hình trụ đến  ABBA , góc DB  ABBA 30o Biết bán kính hình trụ , tỉ số thể tích khối hộp khối cầu ngoại tiếp hình hộp là? 10 12 11 13 A B C D 3 3 3 3 Hướng dẫn giải TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Chọn C     ABCD A B C D Hình hộp nội tiếp hình trụ nên hình hộp chữ nhật Gọi O tâm ABCD , E trung điểm AB Ta có: OE 3 , OA 5  AD 6 Xét AEO vng tạo E , có: AE  OA2  OE 4  AB 8  A 60o Vì AD   ABBA nên AB hình chiếu vng góc DB lên  ABBA  DB Xét tam giác ABD vng A có: AB  AD tan 60o 6 , BD  AD  AB2 12 Xét tam giác ABB vng B có: BB  AB2  AB 2 11 Thể tích khối hộp VABCD ABC D BB.S ABCD 2 11.8.6 96 11 BD 6 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp R  Thể tích khối cầu V   R 288 Vậy tỉ số thể tích khối hộp khối cầu ngoại tiếp hình hộp 11 3 Câu 12 [2H2-3.5-4] [BTN 172] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 5 15 15 3 A V  B V  C V  D V  18 54 27 Hướng dẫn giải Chọn C S N B H M I A O C TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TỐN PHƯƠNG PHÁP Gọi O tâm đường trịn tam giác ABC suy O trọng tâm, H trung điểm AB , kẻ đường thẳng qua O song song SH cắt SC N ta NO   ABC  , gọi M trung điểm SC , HM cắt NO I Ta có HS HC nên HM  SC  IS IC IA IB r NIM HCS 450 , NM SM  SN  CN CO 2 6    CN    SM  , SN  Suy CS CH 3 6 12 Ta có NMI vng M tan 450  Suy r IC  IM  MC  NM  IM  NM  IM 12 12 15 Vậy V   r  54 Cách khác: Gọi P, Q trọng tâm tam giác SAB ABC Do tam giác SAB ABC tam giác cạnh nên P, Q tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác + Qua P đường thẳng vng góc với mặt phẳng  SAB  , qua O dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  Hai trục cắt I , suy IA IB IC IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R IC 2 1 3 2 3 15 + Xét IQC : IC  IG  GC        3  3      2 15 Vậy V   R  54 TRANG