Bài GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Góc có đỉnh bên đường trịn Là góc có đỉnh nằm bên đường trịn, góc có đỉnh bên đường trịn, cung nằm bên góc cung nằm bên góc đối đỉnh Góc BED góc có đỉnh bên đường tròn chắn cung AmB BmD ĐỊNH LÍ Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Là góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn, cạnh có điểm chung với đường trịn Các góc có đỉnh E hình vẽ góc có đỉnh bên ngồi đường trịn ĐỊNH LÍ Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh hai góc hai đoạn thẳng Sử dụng định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Ví dụ Cho đường trịn (O) hai dây AB , AC Gọi M , N điểm cung AB , AC Đường thẳng MN cắt dây AB E cắt dây AC H Chứng minh AEH tam giác cân Lời giải AHE sñ AM sñ CN AEH sñ BM sñ AN sñ AM sñ BM sđ AN sđCN Ta có AHE AEH AEH cân A Ví dụ Qua điểm S nằm bên ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến SA cát tuyến SBC đường trịn Tia phân giác góc BAC cắt dây BC D Chứng minh SA SD Lời giải Ta có SDA SBA DAB (góc ngồi tam giác) (1) SAD SAC DAC (2) SBA SAC (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến) (3) DAB DAC ( AD phân giác) (4) Từ (1), (2), (3) (4) ta có SDA SAD Suy SAD cân S Vậy SA SD Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song vng góc đẳng thức cho trước Sử dụng định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Ví dụ Cho ABC nội tiếp đường tròn Gọi P , Q , R theo thứ tự điểm cung bị chắn BC , CA , AB góc A , B , C a) Chứng minh AP QR b) Gọi I giao điểm AP , CR Chứng minh CPI cân Lời giải a) Chứng minh AP QR Gọi H giao điểm AP QR Ta có AHQ góc có đỉnh bên ( ABC ) AHQ sñ AQ sñ RP 180 90 2 Suy Vậy AP QR H b) Chứng minh CPI cân PIC sñ AR sñCP PCI sñ BP sñ BR sñ AR sñ BR sñCP sñ BP Ta có PIC PCI CPI cân P Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc A góc B cắt I cắt đường tròn theo thứ tự D E a) Chứng minh BDI cân b) Chứng minh DE đường trung trực IC c) Gọi F giao điểm AC DE Chứng minh IF BC Lời giải a) Chứng minh BDI cân BID sñ AE sñ BD IBD sñCD sñ CE sñ AE sñCE sđ BD sđCD Ta có BID IBD BDI cân D b) Chứng minh DE đường trung trực IC Ta có DB DI DB DC Suy DI DC DIC cân D Mặt khác DE phân giác (vì sđ AE sñCE ) nên DE đường trung trực IC c) Chứng minh IF BC ABC có AI BI phân giác CI phân giác Suy ICB ICA Mặt khác ICA FIC ( F thuộc trung trực IC ) nên ICB FIC Suy IF BC C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Trên đường tròn lấy ba cung liên tiếp AC , CD , DB cho số đo cung AC , CD , DB 60 Hai đường thẳng AC BD cắt E Hai tiếp tuyến đường tròn B C cắt T Chứng minh a) AEB BTC ; b) CD tia phân giác BCT Lời giải a) AEB BTC AEB sñ AB sñCD 1 BTC sñ BAC sñ BDC sñ AB sñ DC 2 Ta có AEB BTC CD tia phân giác BCT 1 DCT CD 30 1 DCB BD 30 Ta có DCT DCB CD tia phân giác BCT Bài Cho ABC vuông A Đường trịn đường kính AB cắt BC D Tiếp tuyến D cắt AC P Chứng minh PD PC Lời giải ABD nội tiếp đường trịn đường kính AB Suy ABD vng D Ta có PA PD (hai tiếp tuyến cắt nhau) PAD cân P PAD PDA (1) Ta có PAD PCD 90 (2) Ta có PDA PDC 90 (3) Từ (1), (2) (3) ta có PDA PDC Suy PCD cân P Vậy PD PC Bài Cho đường trịn (O) điểm S nằm bên ngồi đường trịn Từ S kẻ tiếp tuyến SA , SD cát tuyến SBC tới đường tròn ( SB SC ) a) Phân giác BAC cắt dây cung BC M Chứng minh SA SM b) AM cắt (O) E , OE cắt BS G , AD cắt BC F Chứng minh SA SG SF Lời giải a) Chứng minh SA SM Ta có SMA MAC MCA (góc ngồi tam giác); (1) Ta có SAM SAB BAM ; (2) Ta có MCA SAB (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến); (3) Ta có MAC BAM ( AM phân giác); (4) Từ (1), (2), (3) (4) ta có SMA SAM Suy SAM cân S Vậy SA SM b) Chứng minh SA SG SF Gọi I giao điểm SO AD Suy SO AD I Ta có OE trung trực BC SA2 SI SO (hệ thức lượng) Ta có SI SO SG SF (SIF ∽ SGO ) SA2 SG SF Bài Từ điểm P nằm bên ngồi đường trịn (O) , vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn Qua trung điểm B đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với đường tròn ( BC BD ) Các đường thẳng PC PD cắt đường tròn (O) E F Chứng minh a) DCE DPE CAF ; b) AP EF Lời giải a) DCE DPE CAF Ta có DCE DPE CDF (góc tam giác) Mà CDF CAF (hai góc nội tiếp chắn cung) nên DCE DPE CAF AP EF ABC ∽ DBA (g-g) AB BC BP BC DB AB BD BP BDP ∽ BPC (c-g-c) BPC BDP CEF AP EF D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho đường tròn (O) hai dây AB AC Trên cung nhỏ AC lấy điểm M Gọi S giao điểm AM BC Chứng minh ASC MCA Lời giải ASC sñ AB sđCM sđ AB sđ AC Ta có ASC sñ AM MCA sñ AM Mặt khác nên ASC MCA Bài Cho AB CD hai đường kính vng góc (O) Trên cung nhỏ BD lấy điểm M Tiếp tuyến M cắt AB E , đoạn thẳng CM cắt AB S Chứng minh ES EM Lời giải BSM sñ AC sñ BM EMC sñ BC sñ BM sđ AC sđ BC Ta có BSM EMC ESM cân E ES EM Bài Cho A , B , C ba điểm thuộc đường tròn (O) cho tiếp tuyến A cắt tia BC D Tia phân giác góc BAC cắt đường trịn M , tia phân giác góc D cắt AM I Chứng minh DI vng góc AM Lời giải MAD sđ AM Ta có (góc tạo tiếp tuyến, dây cung) (1) DTA sđ AC sđ BM Ta có (2) Ta có sđCM sđ BM ( AM phân giác) (3) Từ (1), (2) (3) ta có MAD DTA Suy DTA cân D Mà DI phân giác nên DI đường cao Vậy DI AM I Bài Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC với đường tròn ( MB MC ) Phân giác góc BAC cắt BC D , cắt đường tròn E Chứng minh b) AD AE AC AB a) MA MD ; Lời giải a) MA MD MAD sđ AE Ta có (góc tạo tiếp tuyến, dây cung) (1) MDA sñ AB sđ EC Ta có (2) Ta có sđCE sđ BE ( AE phân giác) (3) Từ (1), (2) (3) ta có MAD MDA Suy MDA cân M Vậy MA MD AD AE AC AB ADC ABE có DAC BAE phân giác ACD AED (góc nội tiếp) ADC ∽ ABE (g-g) AD AC AD AE AC AB AB AE - HẾT -