File đáp án chuyên đề toán

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 32 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIANNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIANNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIANC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIANI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8-9-10 ĐIỂM Phương pháp giải số tốn Gắn tọa độ hình chóp 1.1 Đáy tam giác  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB a 1  Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A  0; ;0  , B   ;0;0  ,      1   C  ;0;0  , S  0; ; OH   2   SA  Đáy tam giác vuông B  Chọn hệ trục hình vẽ, a 1 B O  0;0;0   Tọa độ điểm: , A  0; AB;0  , C  BC , 0;0  ,   S  0; AB; BH  SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: Đáy tam giác cân A Đáy tam giác cân B  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a 1  Tọa độ điểm là: O(0;0;0), A  0; OA;0  , B   OB;0;0  ,   C  OC; 0;0  , S  0; OA; OH   SA   Đáy tam giác vuông A  Chọn hệ trục hình vẽ, a 1 A O  0;0;0   Tọa độ điểm: , B  0; OB;0  , C  AC ;0;0  , S  0;0; SA  Đáy hình thoi  Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a 1 O 0;0;0   Tọa độ điểm:  , A   OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC ;0;0  , S   OA;0; OH   SA   Đáy tam giác thường  Dựng đường cao BO ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a 1 O 0;0;0   Tọa độ điểm:  , A   OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC ;0;0  , S   OA;0; OH   SA   Đáy hình thang vng Trang  Chọn hệ trục hình vẽ, a 1 O  0;0;0  A  OA;0;0  ,  Tọa độ , B  0; OB;  , C   OC ;0;0    D  0;  OD;0  , S  OA; 0; OH   SA    Chọn hệ trục hình vẽ, a 1 A O  0;0;0   Tọa độ , B  0; AB;0  , C  AH ; AB;0  ,  Chọn hệ trục hình vẽ, a 1 A O  0;0;0  B  0; AB;0  ,  Tọa độ , C  AD; AB;0  , D  AD;0;0  , S  0;0; SA  D  AD;0;0  , S  0;0; SA  1.2 Đáy tam giác, mặt bên tam giác thường Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác cân C (hoặc Đáy hình vng-hình chữ nhật đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều)  Vẽ đường cao CO ABC Chọn hệ trục hình, a = O  0;0;0  , A  0; OA;0  ,  Ta có:   B  0;  OB;0  , C  OC ;0;0  , S  0; OH ; OK   SH    Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a = O  0;0;0  , A  0; OA;0  ,  Ta có: B  0;  OB;0  , C  OC ;0;0  , S  0;0; SO  1.3 Hình chóp tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục hình vẽ a = Tọa độ điểm:  AB   BC  A  0; ;0  B  ; 0;0   O  0;0;0  ,  ,  ,  Dựng hệ trục hình, chọn a = A O  0;0;0  , B  AB;0;0   Ta có:   C  AB; AD;0  , D  0; AD;0  , S  AH ;0; AK  SH   Hình chóp Hình chóp tứ giác O  0;0;0  , Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ điểm:    AB  A ;0;0  ,   2    OA     AB  B  0; ;0       OB  ,  BC  C ; 0;0   ,    AB  S  0; ; OK     6  SH  OH      AB  C ;0;0  ,    2    OA    AB   D  0;  ;0       S  0;0; SO  OB   Gắn tọa độ hình lăng trụ Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 2.1 Lăng trụ đứng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Lăng trụ đứng đáy hình thoi Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình với A O  0;0;0  , O  0;0;0  , B  0; AB;0  , A   OA;0;0  , C  AD; AB;0  , B  0; OB;0  , D  AD;0;0  , C  OC ;0;0  , A 0; 0; AA , D  0;  OD;0  , B 0; AB; AA , C  AD; AB; AA D AD;0; AA , A  OA;0; AA , B 0; OB; AA , C  OC; 0; CC  , D 0;  OD; DD Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  A ;0;0  , O  0;0;0  ,    AB  B  ;0;0  ,   C  0; OC ;0  , A OA;0; AA ,  B    AB  ;0; BB ,  C  0; OC; CC  Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm là: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B   OB;0;0  , C  0; OC ;0  , A OA;0; AA , B  OB;0; BB , C  0; OC; CC  2.2 Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm cạnh tam giác đáy thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C , A  Tìm tọa độ   điểm  cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA BB CC   Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C , D, A  Tìm tọa độ  điểm  cịn  lại thông qua hệ thức vectơ nhau: AA BB CC  DD Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vuông ABC D điểm M thuộc đoạn OI cho MO 2 MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng  MC D  MAB  Trang 85 A 85 17 13 B 65 85 C 85 Lời giải 13 D 65 Chọn C Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cạnh hình lập phương , ta tọa độ điểm sau : 1 1 M ; ;   2  , C  0;1;0  , D 1;1;0  A  1;0;1 , B  0;0;1 Khi   n MC D  0;1;3 ; n MAB   0;5;3 5.1  3.3 85   2 2  cos   MAB  ,  MC D  3 3 85 nên  85       85 85 sin  MAB  ,  MC D     85 Suy Câu (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng MO  MI ABC D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho (tham khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng ( MC D) ( MAB) 13 A 65 Trang 85 B 85 85 C 85 17 13 D 65 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Lời giải Khơng tính tổng quát ta đặt cạnh khối lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho A(0;0;0), B(1;0; 0), D(0;1;0) A(0;0;1) (như hình vẽ)  1 1 M  ; ;   2 3 Khi ta có:     1   1 2  AB (1; 0; 0), MA  ; ;     AB, MA  0;  ;   n1 (0;  4;3) 2  2 3  Suy ra: VTPT mặt phẳng ( MAB )     1 1   1 DC  (1;0;0), MD  ;  ;    DC , MD  0; ;    n2 (0; 2;  3)  2 3  2 VTPT mặt phẳng ( MC D)   cosin góc hai mặt phẳng ( MAB) ( MC D ) bằng:   n1.n2 0.0  4.2  3.(  3) 17 13   cos( n1 , n2 )      2 2 2 n1 n2 65  ( 4)    (  3) Trang Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , có AB a, AD a 2, góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc  AHK  A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt phẳng  ABBA A 60 B 45 C 90 Lời giải D 30 Do ABCD ABC D hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C  ' C ' 30 ( ABCD)  ( A ' C , ( ABCD)) ( A ' C , A ' C ') CA  ' C '  CC '  CC ' a AC  AB  AD a 3; tan CA A'C ' Ta có Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E , F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A Ta có 1 a A ' K  A ' A2  AK  a ;    AK  ; 2 AK A ' A AD 1 a a  2  KF  ; KE  A ' K  KF  KE  2 KF KA A ' K 3   Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A ' D , B , A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E ( ;0;0), F (0;0; ) 2 3 3   ABB ' A ' mặt phẳng ( yOz ) nên có VTPT n1 (1;0;0); Mặt phẳng    a 2  AK , AH   n , n (2; 2; 2)   Ta có  Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT n (2; 2; 2);  AHK   ABBA Gọi  góc hai mặt phẳng Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021   cos  cos (n1 , n )    450 Ta có Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  Tính cos  với  góc tạp  SAC   SCD  A B C Lời giải D Chú ý: Ta giải tốn với cạnh hình vng a 1  SAB  vng góc với Gọi O, M trung điểm AB, CD Vì SAB tam giác  ABCD  nên SO   ABCD  3    O  0; 0;0  , M  1;0;0  , A  0; ;  , S  0;0;      Oxyz Xét hệ trục có Khi  1    C  1; ;  , D  1; ;0               SA  0; ;  , AC  1;  1;0  , SC  1; ;  , CD  0;1;0  2 2     Suy       1 n1  SA, AC   ; ;  2  SAC    Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến     n1  SC , CD   ; 0;1  SAD  có véc tơ pháp tuyến   Mặt phẳng   n1.n2 cos      n1 n2 Vậy Câu (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC , biết MN  a Khi giá trị sin  SBD  góc đường thẳng MN mặt phẳng Trang A B C D Lời giải  ABCD  , suy I trung điểm AO Gọi I hình chiếu M lên 3a CI  AC  4 Khi Xét CNI có: CN  a  45o , NCI Áp dụng định lý cosin ta có: NI  CN  CI  2CN CI cos 45o  Xét MIN vuông I nên a 9a a 3a 2 a 10    4 MI  MN  NI  3a 5a a 14   a 14 MI / / SO, MI  SO  SO  2 Mà Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ:      2    B  0; ;0  D  0;  ;  C  ; 0;  N  ; ;  2 4 O  0; 0;0         , Ta có: , , , ,     14  14  A   ; 0;0  S  0; 0; ; 0;  M     4   ,   ,     14 ;  SB  0; 2  ,     SBD  n SB  SD    Vectơ pháp tuyến mặt phẳng :  2 MN  ; ;  Khi 14  Trang    ;  SD  0;  ,  ;0;  14    TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 sin  MN ,  SBD   Suy Câu    MN n     MN n (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng -2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai mặt phẳng A  A ' B ' CD  60  ACC ' A ' B 30 C 45 D 75 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O  A ', Ox  A ' D ', Oy  A ' B ', Oz  A ' A Khi đó: A '(0; 0; 0) , D '(a; 0; 0) , B '(0; a;0) , C '(a; a; 0) , A(0; 0; a) , D (a; 0; a ) , B (0; a; a) , C (a; a; a )      A ' B ' (0; a; 0), A ' D ( a; 0; a), A ' A (0; 0; a), A ' C ' (a; a; 0)    A ' B ', A ' D  ( a ;0;  a )    n (1; 0;  1) vectơ pháp tuyến mặt phẳng  A ' B ' CD  Chọn    A ' A, A ' C  ( a ; a ;0)    n ( 1;1;0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng  ACC ' A '  Chọn  A ' B ' CD   ACC ' A ' là: Góc hai mặt phẳng   1 cos = cos n1 , n2     60 2  Câu  (Sở Bắc Ninh -2019) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi vuông góc   OA OB OC a Gọi M trung điểm cạnh AB Góc tạo hai vectơ BC OM A 135 B 150 C 120 D 60 Lời giải A M C O B Cách 1: Trang 1    OM  OA  OB a2  2  OM BC  OB     2  BC OC  OB  Ta có   1 a OM  AB  OA2  OB  BC  OB  OC a 2 a2     OM BC 1  cos OM , BC     OM BC 120 OM BC a 2 a 2 Do đó: Cách 2: 2     Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ a a  M  ; ;0  O  0;0;0  A  0; a ;0  B  a ;0;  C  0;0; a  2  Ta có: , , , ,  a a   OM  ; ;  BC   a ;0; a  2  Khi ta có: ,  Câu   cos BC ; OM   a2     BC.OM a     a BC ; OM 120 BC.OM 2  (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA vuông góc với mặt phẳng  SBD  A 30 Trang 10   ABCD  Nếu tan    ABCD  Gọi  góc hai mặt phẳng góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  B 60 C 45 D 90 Lời giải