28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT LỤC NGẠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2020 – 2021 (Đề thi gồm trang) MÔN THI : TOÁN – LỚP Ngày thi: 18/3/2021 Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức P x3 2x x với x 1, x 3 x 2x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Tìm tất giá trị tham số m để phương trình : m(m 2x) x 8m có nghiệm x 3 Bài 2: (4,0 điểm) Gọi Q(x) đa thức thương phép chia đa thức A(x) x 3x 4x 4x 12 cho đa thức B(x) x x Tìm giá trị nhỏ Q(x) Cho số thực a, b thỏa mãn : a b ab a b 0 Tính giá trị biểu thức M 3a 2b Bài 3: (3,0 điểm) Cho số nuyên tố p thỏa mãn p số nguyên tố Chứng minh p 2021 hợp số Tìm tất số tự nhiên a để a 3a số phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC(AB AC) có hai đường cao BM CN cắt H Đường thẳng vng góc với AC C cắt đường thẳng vng góc với AB B D a) Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành b) Gọi O trung điểm đoạn thẳng AD Qua điểm O kẻ đường thẳng song song với AH cắt BC K Chứng minh K trung điểm BC tính độ dài đoạn thẳng OK biết AH 6cm Cho tam giác ABC có đường phân giác BD, CE cắt I BD.CE 2BI.CI Tính số đo BAC Bài 5: (1,0 điểm) 3 3 Cho S a1 a a a100 với a1 , a , a , a100 số nguyên thỏa mãn a1 , a , a , a100 20212022 Chứng minh rằng: S 16 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT LỤC NGẠN ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2020 – 2021 (Đề thi gồm trang) MƠN THI : TỐN – LỚP Ngày thi: 18/3/2021 Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời ian giao đề HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6 điểm) x3 2x x Cho biểu thức P với x 1, x 3 x 2x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Tìm tất giá trị tham số m để phương trình : m(m 2x) x 8m có nghiệm x 3 Lời giải x3 (2x 6)(x 3) (x 3)(x 1) a) P (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) (x 3)(x 1) x 2x 12x 18 x 4x x 3x 8x 24 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) (x 3)(x 8) x (x 1)(x 3) x 1 b) P x x(x 1) (x 1) 9 x x 1 x 1 x 1 P nguyên nguyên hay x 1 Ư(9) = 1; 3; 9 x 1 Suy x 10; 4; 2;0; 2;8 thỏa mãn điều kiện Vậy x 10; 4; 2;0; 2;8 Phương trình: m(m 2x) x 8m có nghiệm x 3 suy m(m 2.3) 3 8m m 2m 0 (m 1)(m 3) 0 m 1 m Vậy m 1 m Bài 2: (4,0 điểm) Gọi Q(x) đa thức thương phép chia đa thức A(x) x 3x 4x 4x 12 cho đa thức B(x) x x Tìm giá trị nhỏ Q(x) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Cho số thực a, b thỏa mãn : a b ab a b 0 Tính giá trị biểu thức M 3a 2b Lời giải x4 + 3x3 – 4x2 - 4x +12 x2 + x – x4 + x3 + x2 x2 + 2x – 2x3 - x2- 4x + 12 2x3+ x2- 2x -5 x2- 2x +12 -5 x2- 5x + 3x + Vậy Q(x) x 2x (x 2x 1) (x 1) Ta có (x 1) 0x (x 1) 6x Do Q(x) x 0 x Ta có a b ab a b 0 2a 2b 2ab 2a 2b 0 (a 2ab b ) (a 2a 1) (b 2b 1) 0 (a b) (a 1) (b 1) 0 (a b)2 0 (a 1) 0 (b 1) 0 a b a 1 b a 1 b a 1 Thay vào M 3a 2b ta M 3.13 2( 1) 0 b Vậy giá trị biểu thức M 0 Bài 3: (3,0 điểm) Cho số nguyên tố p thỏa mãn p số nguyên tố Chứng minh p 2021 hợp số Tìm tất số tự nhiên a để a 3a số phương Lời giải p 2 p 8 hợp số (loại) p 3 p 9 hợp số (loại) p mà p số nguyên tố p không chia hết cho p 3 dư p 2021 hợp số Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Giả sử a 3a b 4a 12a 4b 4a 12a 4b 9 (2a 3) (2b) 9 (2a 2b 3)(2a 2b 3) 9 Lập bảng 2a 2b -1 -3 2a 2b -9 -3 2a 2b -2 -4 -6 2a 2b -6 -12 -6 a -2 -4 b -1 -2 3 3 Vậy a 2; 4; a 3a số phương 2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC(AB AC) có hai đường cao BM CN cắt H Đường thẳng vuông góc với AC C cắt đường thẳng vng góc với AB B D a) Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành b) Gọi O trung điểm đoạn thẳng AD Qua điểm O kẻ đường thẳng song song với AH cắt BC K Chứng minh K trung điểm BC tính độ dài đoạn thẳng OK biết AH 6cm Cho tam giác ABC có đường phân giác BD, CE cắt I BD.CE 2BI.CI Tính số đo BAC Lời giải A M N H O B C K D Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com a) Ta có BD AB (gt) CH AB (gt) suy BD//CH (1) Ta có DC AC (gt) BH AC (gt) suy DC//BH (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BHCD hình bình hành b) Xét AHD có: OA OD(gt) OK//AH (gt) suy K trung điểm HD (3) Vì tứ giác BHCD hình bình hành theo (cmt) có HD BC hai đường chéo (4) Từ (3) (4) K trung điểm BC (hai đường chéo cắt trung điểm đường) Vì OK đường trung bình AHD (cmt) 1 OK AH 3(cm) 2 Đặt AB c A AC b BC a E BD phân giác ABC DA AB DA AB DC BC DA DC AB BC D I B C DA AB DA c bc DA AC AB BC b ca c a AI phân giác ABD BI AB BI AB ID AD BI ID AB AD BI c ca ID c bc a b c ca Tương tự CI b a CE a b c Mà DB.CE 2BI.CI BI CE ca a b c BD 2CI a b c 2(b a) 2(bc ab ac a ) a b c 2ab 2bc 2ca a b c Suy ABC vuông A Vậy BAC = 900 Bài 5: (1,0 điểm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 3 3 Cho S a1 a a a100 với a1 , a , a , a100 số nguyên thỏa mãn: a1 , a , a , a100 20212022 Chứng minh rằng: S 16 Lời giải S (a1 a a a100 ) a (a12 1) a (a 22 1) a (a 32 1) a100 (a100 1) a1 (a1 1)(a1 1) a (a 1)(a 1) a (a 32 1) a100 (a100 1)(a100 1) 6 (tích số liên tiếp) S 20212020 6 Mà 2021 5(mod 6) 1(mod 6) 20212020 ( 1) 2020 (mod 6) 1(mod 6) 20212020 6k (k N ) S (6k 1) 6 S 6k 6 S 16 (đpcm) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC