30 đề đáp án hsg8 2019 nghi lộc

28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2020 – 2021 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút – khơng kể thời gian phát đề (ĐỀ CHÍNH THỨC)   x 9x2  x  3x  3x   P    :  x x   x  3x  x3  Bài 1: (6,0 điểm) Cho a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P P  3P  19 5 x b)Tìm x thỏa mãn: x c) Tìm x  Z để P nguyên Bài 2: (3,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  xy  12 y  20 y  x b)Cho  a  b  c   ab  bc  ca  abc abc 0 Tính a P  b3   b  c   a  c  a  b2  c2 Bài 3:(3,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thoả mãn: x   y  x  3x  0 b)Giải phương trình:  2x 2  x  2019    x  x  2018  4  x  x  2019   x  x  2018   x  3y  A    9 x  x 3  Bài 4:(1,0 điểm)Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài 5:(6,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm M cho HM  AH , đường thẳng vng góc với BC M cắt AC N , gọi I trung điểm BN  a) Tính AHI b)Chứng minh tam giác ACM đồng dạng với tam giác BCN c) Biết AB 1, AC x  x  1 lớn Tính diện tích BHI theo x , chứng tỏ diện tích 21 o  Bài 6:(1,0 điểm)Cho tam giác ABC cân A , có A 100 , tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC BD  AD = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆNNGHI LỘC Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm)Cho   x x2  x  3x  3x   P    :   x x   x  3x  x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P P  3P  19 5 x b)Tìm x thỏa mãn: x c) Tìm x  Z để P nguyên Lời giải a) Biểu thức P xác định 3  x 0   x  0   3  x 0  3 x  x 0  3 x  x   0   x 3   x 0  4 x   Với điều kiện (*) ta có:   x x2  x  3x  3x   P    : 3  x x   x   3x  x   x 9x2  x  x   x       x  x  x  3x  3x      x  x   x  x  x2        x    x    x    x    x    x    3x     x  x2  x2   x  x2 x   x    3x     x   x  x  3x   x  3 x  3x    x2 x 3 Vậy P x2 x  với x thỏa mãn ĐKXĐ (*) b) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Với P x2 x  với x thỏa mãn ĐKXĐ (*) (trong câu a) ta có: P  3P  19 5 x x trở thành: x2 x    x  19 5 x x x 3  x x  19  x   x  3   0 x 3 x 3 x 3  x  x  19 x  57  x  15 x 0 x 3  x  x  57 0  x2  57 x 0 8  1849   x   16  256   1849 x  16 16   1849 x  16 16 (thỏa mãn ĐKXĐ)    1849  1849  x ;  16 16    Vậy c)Với ĐKXĐ (*) P x2 x  (theo câu a) x2  Để P   x  Vì x    x   x     x  x  3 Lại có x  x  x  3   x  3   9 x  3  x  U  9  x     9;  3;  1;1;3;9 Ta có bảng sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com x 3 x P Kết luận Vậy 9 12 16 Nhận 3 6 Nhận x    12;  6;  4;  2;6 2 Nhận 1 4 16 Nhận 0 Loại Nhận P   Bài 2: (3,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  xy  12 y  20 y  x b)Cho  a  b  c   ab  bc  ca  abc abc 0 Tính a P  b3   b  c   a  c  a  b2  c Lời giải 2 a)Ta có: x  xy  12 y  20 y  x  x  xy  xy  12 y   x  y       x  x  y   3y  x  y    x  y   x  y   x  3y  5 Vậy x  xy  12 y  20 y  x  x  y   x  y   b)Ta có:  a  b  c   ab  bc  ca  abc  a2 b  ab  b c  bc  c a  ca  2abc 0  a2 b  2abc  bc  ab  b c  ac  a c 0        b  a  c   b  a  c   ac  a  c  0   a  c  ab  bc  b2  ac 0     a  c   b  a  b   c  b  a   0   a  c   a  b   b  c  0  a  c 0    a  b 0  b  c 0  3 3  Nếu a  b 0  a  b  a  b  a  b 0  P 0 5 5  Nếu b  c 0  b  c  b  c  b  c 0  P 0 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 7 7  Nếu a  c 0  a  c  a  c  a  c 0  P 0 Vậy P 0 với a, b, c thỏa mãn đề Bài 3:(3,0 điểm) a) Tìm số nguyên x , y thoả mãn: x   y  x  3x  0 b)Giải phương trình:  2x 2  x  2019    x  x  2018  4  x  x  2019   x  x  2018  Lời giải a)Ta có: x   y  x3  3x  0  x  y  x  3x     y x3  3x  x2  (vì x  2  0, x   )  y x  x x2  x; y     x  5  x    x    x    x    27 x         x   Ö   27   1; 3; 9; 27 Do x  2  x    3;9;27   x; y     1;  3 ;  5;5    2 x  x  2019 a  x  x  2018 b b)Đặt  Phương trình cho trở thành: a  4b 4ab  a  4ab  4b 0   a  2b  0  a 2b  x  x  2019 2 x  x  2018    x  x  2019 2 x  10 x  4036  11x  2017 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  x  2017 11 Vậy phương trình có nghiệm x  2017 11  x  3y  A    9 x  x 3  Bài 4:(1,0 điểm)Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải  x  3y    0, x  3, y    x     x 0, x   Ta thấy  x  3y   A     x 0 x, y  , x   x 3   x  3y    0  x       x 0   x     Dấu “=” xảy  x 3   y 1 Vậy GTNN biểu thức A x 3 y 1 Bài 5:(6,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm M cho HM  AH , đường thẳng vuông góc với BC M cắt AC N , gọi I trung điểm BN  a) Tính AHI b)Chứng minh tam giác ACM đồng dạng với tam giác BCN c) Biết AB 1, AC x  x  1 lớn Tính diện tích BHI theo x , chứng tỏ diện tích 21 Lời giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com a)   BAN 90o  AI la duong trung tuyen Xét ABN có:   AI  BN  1 Xét BMN vuông M MI đường trung tuyến  MI  BN  2 Từ (1) (2)  AI MI Xét AHI MHI , ta có:  AI  IM  cmt    HI la canh chung  AH  HM gt     AHI MHI (ccc)   AHI  MHI  goc tuong ung     o Mà AHI  IHM  AHM 90 90   AHI  45o o o  Vậy AHI 45 b)Xét ABC MNC , có:    BAC NMC 90o  C : chung  ABC ”  MNC gg   AC BC  MC NC  AC MC  BC NC Xét ACM BCN , có:  : chung C   AC MC   cmt    BC NC Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  ACM  BCN  cgc   dpcm 1 x SABC  AB AC  1 x  2 1 SABN  AB AN  1 1  2 c)Ta có: x x  SBNC SABC  SABN    2 SABC Lại có: x 2 2SABC  x  AH BC  AH   BC x2 1 x2 1 AN  AB 1; AC x  NC AC  AN x  Dễ thấy MCN ” HCA  CN MN x MN    x CA AH x x2 1  MN  x  x  1 x  x  x x2 1 Áp dụng định lý Pytago vào AHC vuông H , ta có: HC AC  AH x   HC   SNHC x2 x2 1 1 x x2 x  x  1  NM HC      2 x 1 x2 1 x 1  SBHN SBNC  SHNC  Lại có: x  x  x  1 x   2 x 1 x2 1     x SBHI  SBHN  SBHI  x2 1  Ta có: x2 x4   x2 x2 1 SBHI  x2 1  x  4  x  1 x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038   4  x         2  4  x   x  1 x   TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Theo bất đẳng thức Cosi:    4 x  1   4   x     SBHI 8  SBHI    x  1 x 2   4      8   1  1  SBHI    1 21 Vậy SBHI đạt GTLN 21 o  Bài 6: (1,0 điểm)Cho tam giác ABC cân A , có A 100 , tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC BD  AD Lời giải  DM  AB, M  AB  DN  BC , N  BC Từ D kẻ:  Lấy K  BC cho BD BK  Vì BD tia phân giác ABC DM  AB, DN  BC  DM DN    o o Xét ABC cân A , BAC 100  ABC ACB 40   ABD DAC 20o Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com   o Xét DKB cân B , DBK DKB 80   o Mà CKD  DKB 180 (hai góc kề bù)   CKD 100o   o Lại có: KCD BCA 40   CDK 40o  CKD cân K  CK DK   o Mặt khác: DKN DKB 80 (*)   DAM  DAB 180o (2 goc ke bu )  o    DAM 80 (**) o   DAB  CAB 100    o Từ (*) (**)  DAM DKN 80    90o  DAM 90o  DKN    MDA NDK Xét DAM DKN có:    DMA DNK 90o    DM DN     MDA NDK  DAM DKN (gcg)  DA DK (2 cạnh tương ứng) Mà DK CK Nên DA CK Lại có: BD BK  DA  BD CK  BK  DA  BD BC (đpcm) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC