92 đề đáp án hsg8 2019 2020 tp sầm sơn

1 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN ĐỀ THI THỬ SỐ 92 Câu 1: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2019 - 2020 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang)  x2  x   2x2 M   1    2x  8  4x  2x  x   x x2   Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên Câu 2:  x 3     x  3 16 a) Giải phương trình:  x   b) Tìm nghiệm tự nhiên x, y phương trình: x Câu 3: Câu 4: 2  y  28  17  x  y  14 y  49  2 a) Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n Chứng minh n  m khơng phải số phương b) Cho p, q hai số nguyên tố cho p  q  p  q 2  AB  AC  , đường cao AH H  BC Trên tia HC điểm D cho Cho ABC vuông A HA HD Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh BEC ADC Tính độ dài đoạn thẳng BE theo m  AB b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh BHM BEC Tính số đo góc AHM GB HD  c) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH  HC Câu 5: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 A  3  3 x  y 1 y  z  z  x3  = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP THÀNH PHỐ SẦM SƠN Năm học: 2019 - 2020 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:  x2  x   2x2 M   1    2x  8  4x  2x  x   x x2   Cho biểuthức: a) Rútgọnbiểuthức M b) Tìmgiátrịnguyêncủa x đểbiểuthức M nhậngiátrịnguyên Lờigiải a) ĐKXĐ: x 0;  x2  2x  x2  x  2x2  M     x2  4  x2  4   x   x2   x M M  2x   x  2  4x2  x2  4  x  2 x  x2  4  x  4  x  2  x  1  x   x2  x  1  x   x2 x 1 2x x 1 M x với x 0; Vậy M M x 1 x với x 0; b) Ta có: x 1 2M  1  x x Để M    2M     x  x  U  1  x   1;  1 (TMĐK) Thửlại: x 1  M 2  M 1   x   M 0  M 0   Vậy x   1;  1 M nguyên Câu 2:  x 3     x  3 16 a) Giảiphươngtrình:  x   b) Tìmcácnghiệmtựnhiên x, y củaphươngtrình: x 2  y  28  17  x  y  14 y  49  Lờigiải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 3  x 3     x  3 16 a)  x   ĐKXĐ: x 2 x  x   x   x     x  3   x   16  x  x   x   x   x  x    x  3  x   x  x        16 x x  x       x     x  3   x    16   x x  x      x  3    x  3       16  x    x    x  3 Đặt x  2 t PT trởthành: t  3t  16 0   t    t  t   0     15  t   t  t   t         2   Với t    x  3 x   x  x   x  0  x  x  0   x  1 0  x 1 (TMĐK) Vậytậpnghiệmcủaphươngtrìnhlà b) x S  1  y  28  17  x  y  14 y  49  2   x   y     17 x  17  y   0   x a 0  y  b  Đặt  a  4b  PT trởthành:   17 a  17b 0  a  8ab  16b  17a  17b2 0  16a  8ab  b 0   4a  b  0  4a  b 0  x  y  0   x  y   x  y  7 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Vì x, y    x  y; x  y    x  y; x  y U    1; 7  x  y 1  x 2    y 3 TH1:  x  y 7 2 x  y   x     y  TH2: 2 x  y  2 x  y 7  x 2    y  TH3: 2 x  y 1 2 x  y   x     y 3 TH4: 2 x  y  Câu 3: n làsốngundươngvà m làướcngundươngcủa 2n a) Cho khơngphảilàsốchínhphương b) Cho p, q làhaisốnguyêntốsaocho p  q  p  q 2 Chứngminhrằng n  m Chứngminhrằng p  q 12 Lờigiải a) Đặt 2n km  m  2n k với k   * 2 Giảsử: n  m a  n2  2n a k  n k  2n k a k  n  k  2k   ak  k  k  2k   k  1 2 nên n  m khơnglàsốchínhphương ( đpcm) b) Vì q làsốnguntốlớnhơn nên q 3k  1, q 3k  với k   * Vơlívì Nếu q 3k   p 3k  33 ( p làsốnguyêntốlớnhơn ) Nếu q 3k   p 3k  Vì q làsốnguyêntốlớnhơn nên k lẻ  k  chẵn Ta có: Câu 4: p  q 6  k  1 12 (đpcm)  AB  AC  , đườngcao AH H  BC Trêntia HC lấy điểm D saocho Cho ABC vuôngtại A ( ) HA HD Đườngvnggócvới BC D cắt AC E a) Chứngminh BEC ∽ ADC Tínhđộdàiđoạnthẳng BE theo m  AB b) Gọi M làtrungđiểmcủađoạnthẳng BE Chứngminh BHM BEC Tínhsốđogóc AHM GB HD  c) Tia AM cắt BC G Chứngminh BC AH  HC Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com Lờigiải a) BEC ADC Dễthấy EDC ∽ AHC  EC AC   1 DC HC  AC BC   2 HC AC Lạicó: ACH  BCA EC BC AC     ta có CD  AC  HC Từ EC CD  BC AC Xét BEC ADC có:   EC CD    BC AC C   : chung  BEC ADC  c.g c     EBC EAD      EBC  ECD EAD  ECB  AEB 45  ABE vuôngcântại A  BE  AB m 1 BM BE  BE  AB  AB 2 b) Ta có   Lạicó AB BH BC  BH BC BM BE BH BE   BM BC Xét BHM BEC có:  BH BE    BM BC B   : chung  BHM ∽ BEC  c.g c    BMH ∽ BEC  BMH BEC 135   AHM 135  BHA 45 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com HA AB  c) Do AHC ∽ BAC nên HC AC HD AB HD AB     HC AC HC  HD AC  AB Câu 5:  Do ABE cân, AM  BE  AM làphângiáccủagóc BAE BG AB BG AB     GC AC BG  GC AB  AC BG AB HD    BC AB  AC HA  HC  đpcm Cho x, y, z làcácsốthựcdươngthỏamãn xyz 1 Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức 1 A  3  3 x  y 1 y  z  z  x3  Lờigiải Ta chứngminhbấtđẳngthứcsau: Ta có:  1  x  y  xy  x  y   1 x  y  x y  xy 0  x  x  y   y  y  x  0   x  y   x  y  0   x  y  x  y  0 ( luônđúng x, y  ) Ápdụngvàobài ta có: 1   3 x  y  xy  x  y   xyz xy  x  y  z  Tươngtự: 1  y  z  yz  x  y  z  1  z  x  zx  x  y  z  A 1 x yz    1 xy  x  y  z  yz  x  y  z  zx  x  y  z  xyz  x  y  z  Cộngtừngvế ta Vậy MaxA 1  x  y  z 1 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC