63 đề đáp án hsg8 2019 bn bắc ninh

28 Website: tailieumontoan.com UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ THI HSG8 SỐ 63 Bài 1: (2,0 điểm) TOÁN 8Thời gian làm bài:90 phút Cho ba số a , b , c khác đôi khác , đồng thời thỏa mãn điều kiện c  a  b  a b b c c a A             b  c  a  c a b Tính giá trị biểu thức: Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình:   2 x x   x  1 Q  x  2 x  x  Cho hai đa thức P( x) x  x  x  1, Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm P  x Tính giá trị Q  x1  Q  x2  Q  x3  Q  x4  Q  x5  Bài 3:(4,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho n  ước số n  206 a  b2 a  2 c Chứng minh Cho a , b , c số nguyên khác , a c cho b  c a  b  c số nguyên tố Bài 4:(7,0 điểm) Cho hình vng ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH E Đường thẳng AH cắt DC F a) Chứng minh BM  ND b)Tứ giác EMFN hình gì? c)Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC   Cho tam giác ABC có BAC 90 , ABC 20 Các điểm E F nằm 0    cạnh AC , AB cho ABE 10 ACF 30 Tính CFE Bài 5:(3,0 điểm) Cho số thực a, b, c 1 Chứng minh 1 4   3    2a  2b  2c  a b b c c a Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN SỞ GD&ĐT BẮC NINH Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm) Cho ba số a , b , c khác đôi khác , đồng thời thỏa mãn điều kiện c  a  b a b b c c a A             b  c  a  c a b Tính giá trị biểu thức: Lời giải Nếu a  b  c 0 a  b  c, b  c  a, c  a  b a b b c c a a b b c c a     A   a b c a b Do đó, c a b b c c  a a b b c c a    2 a b c a b Nếu a  b  c 0 c Do đó, a  b 2c, b  c 2a, c  a 2b  a b c , trái giả thiết Vậy A  Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình:   2 x x   x  1 Q  x  2 x  x  Cho hai đa thức P ( x)  x  x  x  1, Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm P  x Tính giá trị Q  x1  Q  x2  Q  x3  Q  x4  Q  x5  Lời giải 2.1 Điều kiện x 0; x  1 3   2      0 2 x x   x  1 x x   x  1 2 x   x  1   x  1    0 x2  x  1   x  1  x  1  x  x  1 0  x   x   x  0   2 2 x2  x  1  x 1   x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  x 1 3    x  1  x  1  x 0   (tm)    x     1 S 1;    Vậy tập nghiệm phương trình 2.2 Ta có : P  x   x5  x  x   x  x1   x  x2   x  x3   x  x4   x  x5  1 Q  x  2   2 Do đó:  x    1 x  Q  x1  Q  x2  Q  x3  Q  x4  Q  x5        25    x1    x2    x3    x4    x5             x1     x2     x3     x4     x5   1   32.P   P   1 32           1 77  2  32  Bài 3:(4,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho n  ước số n  206 a  b2 a  2 c Chứng minh Cho a , b , c số nguyên khác , a c cho b  c a  b  c số nguyên tố Lời giải 3.1 n  ước số  n  2n   n  206  n  206 n   198     n2  n2  198  n2  2 Điều nảy xảy n  ước nguyên dương 198 2.3 11 gồm: 2;3; 6;9;11;18; 22;33;66;99;198 Từ ta tìm 3.2 n   1; 2;3; 4;8;14 a  b2 a    a  c   b  ac  0  b ac 2 c Ta có: b  c Mà a  b  c a  ac  c a  2ac  c  b  a  c   b  a  c  b   a  c  b  2 2 2 Ta thấy a  b  c  a  b  c số nguyên tố Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com xảy trường hợp sau: 1) a  c  b 1; a  c  b a  b  c  a  b  c 2a  2c  2   a  1   c  1  b 1  a c 1, b 1 ( ktm) 2) a  c  b 1, a  c  b a  b  c  a  b  c 2a  2c  2   a  1   c  1  b 1  a c 1, b 1 ( ktm) 3) a  c  b  1, a  c  b   a  b  c   a  b  c  2a  2c  2   a  1   c  1  b 1  a c  1, b 1 (ktm) 4) a  c  b  1, a  c  b   a  b  c   a  b  c  2a  2c  2   a  1   c  1  b 1  a c  1, b 1 (ktm) Bài 4: (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH E Đường thẳng AH cắt DC F a) Chứng minh BM  ND b)Tứ giác EMFN hình gì? c)Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC   Cho tam giác ABC có BAC 90 , ABC 20 Các điểm E F nằm 0    cạnh AC , AB cho ABE 10 ACF 30 Tính CFE Lời giải 4.1 A B E d M O N D C F H Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com   a) Do ABCD hình vng  A1  MAD 90 (1)   (2) mà AMHN hình vng  A2  MAD 90  1 ;   suy A1  A2 Từ  D  90 AND AMB  c.g c   B Do đó, BM  ND  b) Do ABCD hình vng  D2 90   D  900  900 1800  N , D, C  NDC D thẳng hàng Gọi O giao điểm hai đường chéo AH , MN hình vuông AMHN  O tâm đối xứng hình vng AMHN  AH đường trung trực đoạn MN, mà E , F  AH  EN EM FM FN (3)    M    EOM FON OM ON ; N  O1 O2  EM FN Từ  3 ;    EM  NE  NF FM  MEMF (4) hình thoi (5) c) Từ (5) suy FM FN FD  DN Mà DN MB  MF DF  BM Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng a Ta có: P MC  CF  MF MC  CF  BM  DF (vì MF DF  MB )  MC  MB    CF  FD  BC  CD a  a 2a Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi M thay đổi BC 4.2 A F G B D E C  0   Xét ABC có BAC 90 , ABC 20  ACB 70   ACF có CAF 90 , ACF 30  FC 2 AF Gọi D trung điểm BC G điểm AB cho GD  BC BD BA ABC ” DBG   BG BC Khi đó,    GCB GBC 200  GCF 200   Do CG BE tia phân giác BCF ABC nên: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com FC BC BA AE  ;  FG BG BC EC 1 FC BC AF BD BA AE AF AE        FG BG BG BC EC FG EC Do đó, FG Từ suy CG / / EF (Định lý Talet đảo)    CFE GCF 200 Bài 5: (3,0 điểm) Cho số thực a, b, c 1 Chứng minh 1 4   3   2a  2b  2c  a b b c c a Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm Lời giải a  1 Ta có  1 0  a 2a   a 2a   2a   a 1   3 a2 b2 c2 1 8 1  2  ; 2   2 2 a b ab  a  b   a  b  a b a b a b Ta lại có: 1 1  2   2  2 bc ; a c a c Tương tự ta có: b c  VT  1 4   3    a b c a b b c a c Suy ra: 1 4   3   a b b c a c Do vậy: 2a  2b  2c  Dấu xảy a b c 1 5.2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Các đường thẳng cho cắt cạnh kề hình vng, chúng chia hình vng thành tam giác ngũ giác (chứ khơng phải chia hình vng thành hai tứ giác) Do đó, đường thẳng (trong số chín đường thẳng) cắt hai cạnh đối hình vng khơng qua đỉnh hình vng Giả sử đường thẳng cắt hai cạnh đối BC AD điểm M N N A D E F J B S ABMN S MCND Ta có: M C AB  BM  AN  2 EJ 2      JF CD.( MC  ND) (ở E F trung điểm AB CD tương ứng) Gọi E , F , P, Q tương ứng trung điểm AB , CD , BC , AD Gọi J1 , J , J , J điểm cho J1 , J nằm EF , J , J nằm PQ thỏa mãn: EJ1 FJ PJ QJ     J F J F J 3Q J P Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com P A D J4 E J1 J2 F J3 B Q C Khi từ lập luận ta suy đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu đề phải qua điểm J1 , J , J , J nói Vì có đường thẳng, nên theo nguyên lý Dirichle phải tồn điểm J1 , J , J , J cho có ba đường thẳng cho qua Vậy có đường thẳng đường thẳng cho qua điểm = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC