Đề kiểm tra định kỳ môn Toán 10 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Lần 2)

Nhằm giúp các bạn học sinh có cơ hội đánh giá lại lực học của bản thân cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề của giáo viên. Mời các bạn và quý thầy cô cùng tham khảo Đề kiểm tra định kỳ môn Toán 10 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Lần 2). Chúc các em thi tốt.

ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KÌ LẦN NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn thi: TỐN 10 Chun Dành cho lớp 10: Toán 1, Toán Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH TỔ TOÁN - TIN (Đề thi gồm 01 trang) Câu (3,5 điểm) 1) Cho phương trình x + x − (1) ( x − 3)( x + 5) − m = a) Giải phương trình m = 46 b) Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ( x + y )( x + y ) xy = 14 2) Giải hệ phương trình  2 36 ( x + y ) ( x + 14 xy + y ) = Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm cạnh AC D điểm cạnh BC cho BD = DM Giả sử 2BC2 - AC2 = AB.AC Trên tia đối tia AC lấy điểm P cho AB = AP Chứng minh DM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP Chứng minh AD phân giác góc BAC Tính tích BD.DC theo AB AC P P P P Câu (1,0 điểm) Cho a, b số thực dương Chứng minh: (1 + ab )( a + b ) + a + b2 (a + b ) ( b + 1) a ( b + 1) + (b + a ) ( a + 1) b ( a + 1) ≥ Câu (1,5 điểm) 1) Một tờ giấy xé thành mảnh, tờ giấy số tờ giấy bốn mảnh nhỏ lại xé thành mảnh nhỏ nữa, mảnh nhỏ lại xé thành mảnh, , tiếp tục có ta thu 2019 mảnh giấy hay khơng? Vì sao? 2) Cho n nguyên, n > thỏa mãn 3n − 1 n3 Chứng minh n chẵn n không chia hết cho Câu (1,0 điểm) Tìm tất hàm số f :  →  cho f ( xy + f ( x ) ) + f ( x + yf ( x ) ) = x, ∀x, y ∈  Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm KIỂM TRA ĐỊNH KÌ LẦN NĂN HỌC 2019 - 2020 TRƯỜNG THPT CHUN BĂC NINH ĐÁP ÁN Mơn thi: TỐN 10 Chuyên Câu Điểm Nội dung a) m = 46 , PT có hai nghiệm x1,2 = ± 17 b) ĐK −5 ≤ x ≤ Đặt t = ( x − 3)( x + 5) 2,5 , ≤ t ≤ điểm Ta có phương trình 3t − 2t − m + 45 = (2) Pt cho có nghiệm phân biệt ⇔ PT ẩn t có nghiệm t ∈ [ 0;1) Lập bảng biến thiên hàm f (t ) = 3t − 2t + 45 [ 0;1) 134  Từ bảng biến thiên ta có m ∈   ∪ ( 45; 46 )   Câu (3điểm ) 2) ĐK xy ≥ điểm  3 ( x + y )2 + xy  xy = 14   = y u, = xy v Đặt x + HPT ⇔    36 ( x + y ) ( x + y ) + 12 xy =     14 ( 3u + 4v ) v = Ta có hệ  (*) (hệ đẳng cấp bậc 3) 2 36 u ( u + 12v ) = Nhận thấy v ≠ nên đặt u = kv Hệ (*) trở thành x + y = v3 ( 3k + ) = 14   ⇒ k = ⇒ u = 3, v = ⇒   ⇒ x, y nghiệm 2 = xy + = v k k 12 36 )  (  PT t − 3t + 3+ 2 3−2  3−2 3+ 2  =0 ⇒ ( x; y ) = ; ; ,  2  2   Từ 2BC2 - AC2 = AB.AC suy 2BC2 = AC.(AB + AC) = AC.CP = 2CM.CP Từ đó, ta có CB2 = CM.CP, CB tiếp tuyến đường tròn điểm ngoại tiếp tam giác MPB P Câu (3điểm P P P P P P P Do BD = DM nên DM tiếp tuyến đường tròn (MPB) Suy ∠ DBM = ∠ BMD = ∠ BPM Suy ∠ BAM = ∠ MDC Vậy tứ giác điểm AMDB tứ giác nội tiếp Suy AD phân giác góc BAC 3 Do tính chất phân giác ta có BD = AB.BC AC.BC DC = Suy AB + AC AB + AC điểm AC AB.BC AC AB = BD.DC = ( AB + AC ) 2( AB + AC ) Câu 1điểm (1 + ab )( a + b=) Nhận thấy ( a + b ) ( b + 1) = ( b2 + a ) ( a + 1) = ( ) Đặt a += b x; a b += 2 a ( b + 1) + b ( a + 1) ; 1điể m a + b + b ( a + 1) ; a + b + a ( b + 1) y; b ( a += 1) z ( x, y, z > 0) Ta viết BĐT cần chứng minh lại dạng: x+ y + z y+z z+x + ≥ 2, ∀x, y, z > x y ( *) Theo BĐT Cauchy cho hai số khơng âm, ta có: x + y ≥ xy   y + z ≥ yz  ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ xyz  z + x ≥ zx  ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ xyz (1) Mặt khác,áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm, ta lại có: x+ y + z ( x + y )( y + z )( z + x ) y+z z+x + ≥ 36 x y xyz ( 2) Từ (1) ( ) , hiển nhiên BĐT (*) chứng minh hoàn toàn Dấu xảy x= y= z Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 1điểm Số mảnh giấy tăng lên sau lần xé 3( mảnh) (đây đại lương bất biến trình xé giấy) Ở lần xé thứ n, số mảnh giấy 1+3n (mảnh) với n số tự nhiên Vì 2019 chia hết thu 2019 mảnh giấy Giả sử n lẻ Gọi p ước nguyên tố nhỏ n suy p lẻ 0.75 điểm Ta có ≡ 1(mod p ) ⇒ p ≠ Theo định lí Fecma nhỏ ta có n p −1 ≡ 1(mod p ) Gọi h số nguyên dương nhỏ cho ≡ 1(mod p ) h Khi h | n, h | p − Do p ước nguyên tố nhỏ n nên h = Do ≡ 1(mod p ) ⇒ p chẵn (mâu thuẫn với p lẻ) Vậy điều giả sử sai nên suy n chẵn +) Gọi v2 ( n) =k ∈  ⇒ v2 ( n ) =3k * 0.75 Ta có v2 (3 − 1) = v2 (3 − 1) + v2 (3 + 1) + v2 ( n) − = k + n ( ) ⇒ k + ≥ 3k ⇒ k ≤ mà Do − 1 n ⇒ v2 (3 − 1) ≥ v2 n n n điểm k ∈ * ⇒ k = hay v2 ( n ) = Vậy n chẵn n không chia hết cho (đpcm) Câu 1điểm Giả sử hàm f :  →  thỏa mãn (1): f ( xy + f ( x ) ) + f ( x + yf ( x ) ) = x, ∀x, y ∈  Kí hiệu điểm P ( u; v ) việc thay ( x; y ) ( u; v ) vào (1) x, ∀x Điều dẫn đến f đơn ánh ( f ( x )) + f ( x ) = f ( a ) = f (b) Thật vậy, giả sử có suy 2= a f ( f ( a ) ) + f ( a=) f ( f ( b ) ) + f ( b=) 2b nên a = b + P ( x;0 ) ⇒ f + P ( x;1) ⇒ f ( x + f ( x ) ) + f ( x + f ( x ) ) =2 x, ∀x ,  1 P  x;  ⇒  2 1  f  x + f ( x )  + f ( x + f ( x ) ) =2 x, ∀x 2  1  x + f ( x )  , ∀x , mà f 2  −x x + f ( x ) , ∀x ⇔ f ( x )= , ∀x đơn ánh nên xảy x + f ( x )= 2 ( ) Kết hợp hai điều suy f x + f ( x ) = f  ...KIỂM TRA ĐỊNH KÌ LẦN NĂN HỌC 2019 - 2020 TRƯỜNG THPT CHUYÊN BĂC NINH ĐÁP ÁN Môn thi: TOÁN 10 Chuyên Câu Điểm Nội dung a) m = 46 , PT có hai nghiệm x1,2 = ± 17 b)... điểm Ta có phương trình 3t − 2t − m + 45 = (2) Pt cho có nghiệm phân biệt ⇔ PT ẩn t có nghiệm t ∈ [ 0;1) Lập bảng biến thiên hàm f (t ) = 3t − 2t + 45 [ 0;1) 134  Từ bảng biến thiên ta có m ∈... 2019 mảnh giấy Giả sử n lẻ Gọi p ước nguyên tố nhỏ n suy p lẻ 0.75 điểm Ta có ≡ 1(mod p ) ⇒ p ≠ Theo định lí Fecma nhỏ ta có n p −1 ≡ 1(mod p ) Gọi h số nguyên dương nhỏ cho ≡ 1(mod p ) h Khi h