28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ SỐ 29 Bài 1: (5 điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phút x2 x2 x 1 x2 A : x x x x x 3x x Cho biểu thức: với x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A có giá trị nguyên Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a b c 3 B Tính giá trị biểu thức: Bài 2: (4 điểm) (a 1) (b 1) (c 1) (b 1)(c 1) (c 1)( a 1) ( a 1)(b 1) 2 Giải phương trình: ( x x 2) 4( x 2)(5 x 4) xy 19 Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x xy y Bài 3: (4 điểm) Tìm đa thức: P( x) , biết chia P( x) cho x dư 1, chia cho x dư 2 chia cho x x thương x x dư Tìm số tự nhiên n cho 2n 3n số phương 2n số nguyên tố Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cân C ( AB AC ) Kẻ ba đường cao AD, BE , CF cắt H ( D BC , E AC , F AB ) AB 2 Chứng minh Kẻ DM CF M , DK AC K Chứng minh MK //FE AE AC AH BH CH Tính giá trị tổng AD BE CF Gọi N giao điểm EF với tia CB Chứng minh CE.CN FE.FN CF Bài 5: (1 điểm) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q 2012ab 4ab a b ab = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN THÀNH PHỐ BẮC GIANG Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5 điểm) x2 x2 x 1 x2 A : x x x x x x x với x 1 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A có giá trị nguyên Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a b c 3 (a 1) (b 1) (c 1) B (b 1)(c 1) (c 1)( a 1) ( a 1)(b 1) Tính giá trị biểu thức: Lời giải a Với x 1 ta có 2x2 x x 1 x2 A : 2 x ( x x 1)( x x 1) ( x 1)( x 3) x 2x2 1 2x2 x x2 x 1 : : ( x 1)( x x 1) x x x x x 1 x x2 x2 ( x 1) ( x 1)( x x 1) x2 x 1 A Vậy x2 x x với x 1 b Ta có: 1 x x x 0x x2 A 0 x x x 0 2 (1) 4 x ( x 2) A 0 A x x 3( x x 1) (2) Xét A mà A có giá trị nguyên nên A 0;1 Từ (1) (2) ta có: +/Xét A 0 tìm x 0 ( thỏa mãn ĐK) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com A 1 +/ Xét x2 1 x 0 x x2 x 1 ( thỏa mãn ĐK) x 0; 1 Vậy biểu thức A có giá trị nguyên (a 1) (b 1) (c 1) B (b 1)(c 1) (c 1)(a 1) ( a 1)(b 1) Từ GT ta có: a b c 3 (a 1) (b 1) (c 1) 0 Đặt x a 1; y b 1; z c ta có: x y z 0 x 0; y 0; z 0 B Khi x y z x3 y z yz zx xy xyz 3 Vì x y z 0 x y z x y 3xy ( x y ) z x y 3xy ( z ) z 0 ( x y z ) x3 y z 3 xyz xyz B 3 3 xyz Thay x y z 3xyz vào biểu thức B ta có : Vậy ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a b c 3 B 3 Bài 2: (4 điểm) 2 Giải phương trình: ( x x 2) 4( x 2)(5 x 4) xy 19 Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x xy y Lời giải ( x x 2) 4( x 2)(5 x 4) (1) x a a b x x x b Đặt PT (1) trở thành: (a b) 4ab (a b) 0 a b 0 Với 2 a b 0 x x 0 x x 0 ( x 2)( x 3) 0 x 0 x 0 x 2 x 3 S 2;3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm x y 19( x y ) 5( x xy y ) 19 Ta có x xy y (1) Từ (1) ta có 19( x y )5 mà (19;5) 1 x y 5 x y 5m ( m ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Thay vào (1) tính x xy y 19m x y 5m x xy y 25m ta có xy ( x xy y ) ( x xy y ) 25m 19m Xét: ( x y ) xy ( x y) 0 25m 4(25m 19m) 0 75m 76 m 0 76 75 mà m m 0;1 x y 0 x 0 y 0 +/ Nếu : m 0 ta có xy 0 x y 5 m 1 ta có xy 6 tìm ( x; y ) (2;3);(3; 2) +/ Nếu: ( x; y ) (0;0);(2;3);(3; 2) Vậy Bài 3: (4 điểm) Tìm đa thức: P( x) , biết chia P( x) cho x dư 1, chia cho x dư m 2 chia cho x x thương x x dư Tìm số tự nhiên n cho 2n 3n số phương 2n số nguyên tố Lời giải Vì P( x) cho x dư 1, chia cho x dư nên theo định lí Be’zout ta có: P ( 1) 1 P(3) 9 Vì đa thức chia x x bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b ta có: P ( x) ( x x 3)( x x 1) ax b P( x) ( x 1)( x 3)( x x 1) ax b P ( 1) 1 P (3) Ta có: a b 1 3a b 9 tìm a 2; b 3 P( x) ( x x 3)( x x 1) x x 3x 3x Vậy P ( x) x 3x x Ta có: 2n 3n số phương nên ta có: 2n a ( với a ) (1) 3n b ( với b ) (2) 2 Từ (1) (2) ta có: 3a 2b 1 (3) 2 2 Ta có: 2n (2 n 1) a 8(3a 2b ) 25a 16b (5a 4b)(5a 4b) (4) Do 2n số nguyên tố , mà 5a 4b 5a 4b nên từ (4) ta có 5a 4b 1 a 4b 4b a thay vào (3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com 4b 2 3 2b 1 b 12b 11 0 (b 1)(b 11) 0 +/ Nếu b 1 a 1 n 0 2n 9 (loại) b 1 b 11 +/ Nếu b 11 a 9 n 40 2n 89 (thỏa mãn) Vậy n 40 giá trị cần tìm Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cân C ( AB AC ) Kẻ ba đường cao AD, BE , CF cắt H ( D BC , E AC , F AB ) AB AE AC Chứng minh Kẻ DM CF M , DK AC K Chứng minh MK //FE AH BH CH Tính giá trị tổng AD BE CF Gọi N giao điểm EF với tia CB Chứng minh CE.CN FE.FN CF Lời giải A E K Q F M H N B C D Xét AEB ∽ AFC có: AEB AFC 900 (c / mt ) chung EAB AEB ∽ AFC ( g.g ) AE AB AF AC ( định nghĩa) AE AC AF AB (tính chất) (1) ABC cân C có CF đường cao CF đường trung tuyến ( t/chất) Từ (1) (2) ta có: AE AC AF FB AB (2) AB 2 Chứng minh MD//BF ( vng góc với CF ) CM CD CF CB ( định lí Ta-let) (3) Xét CFB có: MD//BF (c/m trên) Chứng minh DK//BE ( vng góc với AC ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com CD CK Xét CFB có: DK//BE (c/m trên) CB CE ( định lí Ta-let) (4) CM CK CF CE Từ (3) (4) CM CK Xét CFE có: CF CE (c/m trên) MK//FE ( định lí Ta-let đảo) HD S HBC HE S HAC HF S HAB ; ; AD S BE S CF S ABC ABC ABC Chỉ HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC 1 AD BE CF S S S S ABC ABC ABC ABC Tính HD HE HF AH BH CH 2 1 1 1 3 AD BE CF AD BE CF Trên tia đối tia FC lấy điểm Q cho FNQ FCE Chứng minh CEF ∽ NQF ( g g ) … EF FN FQ.CF (5) Chỉ CF đường phân giác ABC FCN FCE Chứng minh CNQ ∽ CFE( g g ) … CE.CN CQ.CF (6) Từ (5) (6) ta có CE.CN FE.FN CQ.CF FQ.CF CF (CQ FQ ) CF CF CF CE.CN FE.FN CF Bài 5: (1 điểm) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q 2012ab 4ab a b ab Lời giải 1 Q ) 2012 (4ab 2ab 4ab 4ab a b 1 (*); ( x y ) 4 xy (**) x y x y Chứng minh bất đẳng thức: x 0; y , dấu “=” xảy x y Với Với a, b hai số thực dương , a b 1 Áp dụng bất đẳng thức (*) (**) ta có: 1 4 4 2 2 a b 2ab a b 2ab (a b) (1) 1 4 4ab 2 4ab 4.4ab 4ab 4ab 4ab (2) 4 (a b) 4ab 4 1 ab (a b) 4ab (3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Từ (1); (2) (3) Q 4 2012 2019 a b Dấu xảy a b 1 Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ 2019 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN