29 đề đáp án hsg8 2019 bắc giang

28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ SỐ 29 Bài 1: (5 điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phút  x2  x2  x 1  x2  A    : x  x  x  x  x  3x   x   Cho biểu thức: với x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A có giá trị nguyên Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a  b  c 3 B Tính giá trị biểu thức: Bài 2: (4 điểm) (a  1) (b  1) (c  1)   (b  1)(c  1) (c  1)( a  1) ( a  1)(b  1) 2 Giải phương trình: ( x  x  2) 4( x  2)(5 x  4) xy  19 Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x  xy  y Bài 3: (4 điểm) Tìm đa thức: P( x) , biết chia P( x) cho x  dư 1, chia cho x  dư 2 chia cho x  x  thương x  x  dư Tìm số tự nhiên n cho 2n  3n  số phương 2n  số nguyên tố Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cân C ( AB  AC ) Kẻ ba đường cao AD, BE , CF cắt H ( D  BC , E  AC , F  AB ) AB 2 Chứng minh Kẻ DM  CF M , DK  AC K Chứng minh MK //FE AE AC  AH BH CH   Tính giá trị tổng AD BE CF Gọi N giao điểm EF với tia CB Chứng minh CE.CN FE.FN  CF Bài 5: (1 điểm) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a  b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q 2012ab    4ab a b ab = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN THÀNH PHỐ BẮC GIANG Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5 điểm)  x2  x2  x 1  x2  A    : x  x  x  x  x  x    x  với x 1 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A có giá trị nguyên Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a  b  c 3 (a  1) (b  1) (c  1) B   (b  1)(c  1) (c  1)( a  1) ( a  1)(b  1) Tính giá trị biểu thức: Lời giải a Với x 1 ta có  2x2   x  x 1 x2  A    : 2  x  ( x  x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  3)  x   2x2  1  2x2   x   x2  x  1    :  :  ( x  1)( x  x  1) x  x  x  x  x  1 x  x2 x2  ( x  1)  ( x  1)( x  x  1) x2  x 1 A Vậy x2 x  x  với x 1 b Ta có:  1  x  x   x     0x  x2  A  0    x  x   x 0  2 (1) 4 x ( x  2)  A   0  A  x  x  3( x  x 1) (2) Xét A  mà A có giá trị nguyên nên A  0;1 Từ (1) (2) ta có: +/Xét A 0 tìm x 0 ( thỏa mãn ĐK) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com A 1  +/ Xét x2 1  x  0  x  x2  x 1 ( thỏa mãn ĐK) x   0;  1 Vậy biểu thức A có giá trị nguyên (a  1) (b  1) (c  1) B   (b  1)(c  1) (c  1)(a  1) ( a  1)(b  1) Từ GT ta có: a  b  c 3  (a  1)  (b  1)  (c  1) 0 Đặt x a  1; y b  1; z c  ta có: x  y  z 0 x 0; y 0; z 0 B Khi x y z x3  y  z    yz zx xy xyz 3 Vì x  y  z 0  x  y  z  x  y  3xy ( x  y )  z x  y  3xy ( z )  z 0 ( x  y  z )  x3  y  z 3 xyz xyz B 3 3 xyz Thay x  y  z 3xyz vào biểu thức B ta có : Vậy ba số thực a, b, c khác thỏa mãn a  b  c 3 B 3 Bài 2: (4 điểm) 2 Giải phương trình: ( x  x  2) 4( x  2)(5 x  4) xy  19 Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x  xy  y Lời giải ( x  x  2) 4( x  2)(5 x  4) (1)  x  a  a  b x  x   x  b Đặt  PT (1) trở thành: (a  b) 4ab  (a  b) 0  a  b 0 Với 2 a  b 0 x   x  0  x  x  0  ( x  2)( x  3) 0  x  0    x  0  x 2  x 3  S  2;3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm x y   19( x  y ) 5( x  xy  y ) 19 Ta có x  xy  y (1) Từ (1) ta có 19( x  y )5 mà (19;5) 1  x  y 5  x  y 5m ( m   ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Thay vào (1) tính x  xy  y 19m x  y 5m  x  xy  y 25m ta có xy ( x  xy  y )  ( x  xy  y ) 25m  19m Xét: ( x  y )  xy ( x  y) 0  25m  4(25m  19m) 0  75m  76 m 0 76 75 mà m    m   0;1  x  y 0  x 0    y 0 +/ Nếu : m 0 ta có  xy 0  x  y 5  m 1 ta có  xy 6 tìm ( x; y ) (2;3);(3; 2) +/ Nếu: ( x; y ) (0;0);(2;3);(3; 2) Vậy Bài 3: (4 điểm) Tìm đa thức: P( x) , biết chia P( x) cho x  dư 1, chia cho x  dư  m  2 chia cho x  x  thương x  x  dư Tìm số tự nhiên n cho 2n  3n  số phương 2n  số nguyên tố Lời giải Vì P( x) cho x  dư 1, chia cho x  dư nên theo định lí Be’zout ta có: P ( 1) 1 P(3) 9 Vì đa thức chia x  x  bậc hai nên đa thức dư có dạng ax  b ta có: P ( x) ( x  x  3)( x  x  1)  ax  b  P( x) ( x  1)( x  3)( x  x  1)  ax  b  P ( 1) 1   P (3)   Ta có:  a  b 1  3a  b 9 tìm a 2; b 3 P( x) ( x  x  3)( x  x  1)  x   x  3x  3x Vậy P ( x)  x  3x  x Ta có: 2n  3n  số phương nên ta có: 2n  a ( với a   ) (1) 3n  b ( với b   ) (2) 2 Từ (1) (2) ta có: 3a  2b 1 (3) 2 2 Ta có: 2n  (2 n  1)  a  8(3a  2b ) 25a  16b (5a  4b)(5a  4b) (4) Do 2n  số nguyên tố , mà 5a  4b 5a  4b nên từ (4) ta có 5a  4b 1  a  4b  4b  a thay vào (3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com  4b   2 3   2b 1  b  12b  11 0  (b  1)(b  11) 0    +/ Nếu b 1  a 1 n 0 2n  9 (loại)  b 1  b 11  +/ Nếu b 11  a 9 n 40 2n  89 (thỏa mãn) Vậy n 40 giá trị cần tìm Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cân C ( AB  AC ) Kẻ ba đường cao AD, BE , CF cắt H ( D  BC , E  AC , F  AB ) AB AE AC  Chứng minh Kẻ DM  CF M , DK  AC K Chứng minh MK //FE AH BH CH   Tính giá trị tổng AD BE CF Gọi N giao điểm EF với tia CB Chứng minh CE.CN FE.FN  CF Lời giải A E K Q F M H N B C D Xét AEB ∽ AFC có:  AEB  AFC 900 (c / mt )    chung  EAB AEB ∽ AFC ( g.g ) AE AB  AF AC ( định nghĩa)  AE AC  AF AB (tính chất) (1) ABC cân C có CF đường cao   CF đường trung tuyến ( t/chất)  Từ (1) (2) ta có: AE AC   AF FB  AB (2) AB 2 Chứng minh MD//BF ( vng góc với CF ) CM CD   CF CB ( định lí Ta-let) (3) Xét CFB có: MD//BF (c/m trên) Chứng minh DK//BE ( vng góc với AC ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com CD CK  Xét CFB có: DK//BE (c/m trên)  CB CE ( định lí Ta-let) (4) CM CK   CF CE Từ (3) (4) CM CK  Xét CFE có: CF CE (c/m trên)  MK//FE ( định lí Ta-let đảo) HD S HBC HE S HAC HF S HAB  ;  ;  AD S BE S CF S ABC ABC ABC Chỉ HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC       1 AD BE CF S S S S ABC ABC ABC ABC Tính HD   HE   HF   AH BH CH   2 1   1   1  3   AD   BE   CF   AD BE CF   Trên tia đối tia FC lấy điểm Q cho FNQ FCE Chứng minh CEF ∽ NQF ( g g ) …  EF FN FQ.CF (5)   Chỉ CF đường phân giác ABC  FCN FCE Chứng minh CNQ ∽ CFE( g g ) …  CE.CN CQ.CF (6) Từ (5) (6) ta có CE.CN  FE.FN CQ.CF  FQ.CF CF (CQ  FQ ) CF CF CF  CE.CN FE.FN  CF Bài 5: (1 điểm) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a  b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q 2012ab    4ab a b ab Lời giải  1  Q   )  2012   (4ab  2ab  4ab 4ab  a b 1   (*); ( x  y ) 4 xy (**) x y x  y Chứng minh bất đẳng thức: x  0; y  , dấu “=” xảy x  y Với Với a, b hai số thực dương ,  a  b 1 Áp dụng bất đẳng thức (*) (**) ta có: 1 4     4 2 2 a  b 2ab a  b  2ab (a  b) (1)  1  4  4ab  2  4ab   4.4ab 4ab  4ab 4ab  (2) 4 (a  b) 4ab    4  1 ab (a  b) 4ab (3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Từ (1); (2) (3)  Q 4    2012 2019 a b  Dấu xảy a b 1 Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ 2019 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN