31 đề đáp án hsg8 bà rịa

28 Website: tailieumontoan.com TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN NĂM HỌC 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1: (3,0 điểm) 3 Chứng minh n  (n  1)  (n  2) chia hết cho với số nguyên n 2 2 2 Phân tích đa thức x( y  z )  y ( z  x )  z ( x  y ) thành nhân tử Bài 2: (3,0 điểm)    x xy y xy  C  x   y :   2  x y    x  y y  x x  y  với x y Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức C ; Khi cho x  y  C  , tính giá trị biểu thức: M  x ( x  1)  y ( y  1)  xy ( x  y  1)  xy Bài 3: (3,0 điểm) 16   x 1  8  x 3 x Giải phương trình:  x, y  Tìm tất cặp số nguyên dương  thỏa mãn điều kiện x  xy  x  y  0 Bài 4: (3,0 điểm) Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x  3x  2 2x n Tìm tất số tự nhiên n cho  19 số phương Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy điểm M trung điểm BC Qua điểm D thuộc đoạn BM , vẽ đường thẳng song song với AM , đường thẳng cắt hai đường thẳng AB, AC , E F Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K    Chứng minh AKE  ACB  MAC Tính giá trị DE  DE  AM Chứng minh K trung điểm đoạn EF Bài 6: (2,0 điểm)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đường cao AH tam giác ABC lấy điểm M ( M nằm A H ) Tia BM cắt AC I , tia CM cắt AB K Chứng  minh HA tia phân giác KHI ========================HẾT====================== Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLIMPIC MƠN TỐN TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU Năm học: 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (3,0 điểm) 3 Chứng minh n  (n  1)  (n  2) chia hết cho với số nguyên n 2 2 2 Phân tích đa thức x( y  z )  y ( z  x )  z ( x  y ) thành nhân tử Lời giải chi tiết 1)Ta có: n3  (n  1)3  (n  2)3 n3  n  3n  3n   n3  6n  12n  3n3  9n  15n  (3n  15n)  9( n  1) Có 9(n  1)9, n  Z (1) 3 Và 3n  15n 3n  3n  18n 3(n  1)n(n  1)  18n Vì n  1, n, n  ba số nguyên liên tiếp, n    (n  1)n(n  1)3, n  Z  3(n  1)n(n  1)9, n  Z Mà 18n9, n  Z  3(n  1)n(n  1)  18n 9, n  Z  3n  15n 9, n  Z (2) Từ (1) (2) suy ra: (3n  15n)  9( n  1) 9, n  Z  n3  (n  1)3  ( n  2)3 9, n  Z (đpcm) 2 2 2 2 2 2)Ta có: x( y  z )  y ( z  x )  z ( x  y ) x( y  z )( y  z )  yz  yx  zx  zy  x( y  z )( y  z )  yz  yx  zx  zy  x( y  z )( y  z )  yz ( y  z )  x ( y  z ) ( y  z )( xy  xz  yz  x ) ( y  z )  z ( x  y )  x( x  y )  ( y  z )( z  x)( x  y )    x xy y xy  C  x   y :   2  x y    x  y y  x x  y  với x y Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức C ; Khi cho x  y  C  , tính giá trị biểu thức: M  x ( x  1)  y ( y  1)  xy ( x  y  1)  xy Lời giải chi tiết Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com 1) Với x y , ta có:    x xy y xy  C  x   y :   2  x y    x y y x x  y   x( x  y )  xy  y ( x  y )   x( x  y )  y ( x  y )  xy    :  x y ( x  y )( x  y )      x  xy  xy  xy  y x  xy  xy  y  xy : x y ( x  y )( x  y )  ( x  y ) ( x  y )( x  y ) ( x  y ) :  x  y ( x  y )( x  y ) x y C Vậy ( x  y )2 x  y với x y C 2) +) Theo câu 1) ta có: x Vì ( x  y)2 x  y với x y  y  C   ( x  y )( x  y ) ( x  y )2  x y  ( x  y )3   x  y  2 +) Ta có: M  x ( x  1)  y ( y  1)  xy ( x  y  1)  xy  x  x  y  y  3x y  3xy  3xy  xy ( x  xy  y )  ( x3  x y  xy  y ) ( x  y )  ( x  y )3 (*) Thay x  y  vào (*) ta được: M ( 2)  ( 2)3 4   Vậy M  với x, y thỏa mãn đề Bài 3: (3,0 điểm) 16   x 1  8  x 3 x Giải phương trình:  Tìm tất cặp số nguyên dương x  xy  x  y  0  x, y  thỏa mãn điều kiện Lời giải chi tiết 16   x 1  8  (1) x 3 x 1)  +) ĐKXĐ: x 0 Khi đó: 16 x (1)  x    0 x 3 x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com  x  x3  22 x  24 x  0  x  x  x3  x  15 x  15 x  x  0  x ( x  1)  x ( x  1)  15 x( x  1)  9( x  1) 0  ( x  x  15 x  9)( x  1) 0   ( x  x )  (6 x  x)  (9 x  9)  ( x  1) 0   x ( x  1)  x( x  1)  9( x  1)  ( x  1) 0  ( x  3) ( x  1) 0  x  0   x  0  x 3 (TMDK)   x 1 (TMDK ) Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S  3;1 2) x  xy  x  y  0 (1)  Giả sử tồn x, y  Z thỏa mãn đề Ta có: x  xy  x  y  0  x( x  y )  ( x  y )  x  0  ( x  y )(2 x  1)  (2 x  1)   (2 x  1)( x  y  1)  (1)  Vì x, y  Z nên x  1 Z ; x-y+1 Z Suy x  ước   x  1   3;  1;1;3  x    2; 0; 2; 4  x    1; 0;1; 2  ; Mà x  Z  x   1; 2 Nếu x 1 , thay vào (1) ta được: (2.1  1).(1  y  1)    y   y 5 (thỏa mãn) Nếu x 2 thay vào (1) ta được: (2.2  1).(2  y  1)   3(3  y )    y   y 4 (Chọn) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com x; y     1;5  ,  2;   Vậy  cặp giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề Bài 4: (3,0 điểm) 1.Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x  3x  2 2x n Tìm tất số tự nhiên n cho  19 số phương Lời giải chi tiết 1) Ta có: P x2  x   x   x  7x  ( x  2)       2x  2x  Có ( x  2) 0, x  R (1) x ; 0 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho x có: x x 1  2  (2) 2x 2x x 14    8 (3) Vì x 2  P 0     P  4 Từ (1); (2); (3) ( x  2) 0  x  x 2   x   x 2 Dấu “=” xảy  (thỏa mãn) MinP  x 2 Vậy n 2) Đặt  19 a (1) *) Xét n 2k , k   2k k k Khi (1) trở thành:  19 a  (a  )(a  ) 19 a  3k 1   k k k a  19 a   a  Nhận thấy  2a 20  a 10  3n  19 102  3n 81  n 4 (nhận) *) Xét n 2k  1; k   Khi (1) trở thành: 32 k 1  19 a  3.9k  19 a Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Lại có: 1(mod 4)  k 1(mod 4)  3.9k 3(mod 4) Mà 19 3(mod 4) k Suy ra: (3.9  19) 2(mod 4) Mặt khác a đồng dư với mod Do n 2k  (k  ) khơng thỏa mãn n Vậy n 4  19 số phương Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy điểm M trung điểm BC Qua điểm D thuộc đoạn BM , vẽ đường thẳng song song với AM , đường thẳng cắt hai đường thẳng AB, AC , E F Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K    1.Chứng minh AKE  ACB  MAC Tính giá trị DE  DE  AM Chứng minh K trung điểm đoạn EF Lời giải chi tiết F A K E B D M C 1) Xét tứ giác AKDM có: AK // DM (vì AK // BC ; D, M  BC ) DK // AM (vì DF // AM ; K  DF ) Suy tứ giác AKDM hình bình hành  AKD  AMD (1)     +) Ta có AMD góc ngồi AMC  AMD MAC  MCA (2)    Từ (1) (2) suy ra: AKD MAC  MCA    Hay AKE  ACB  MAC (đpcm) 2) Ta có: DE  DF DE  DE  EF 2 DE  EK (vì KE FK (cmt) 2.( DE  EK ) 2.DK Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Mà: DK  AM (vì tứ giác AKDM hình bình hành)  DE  DF 2 AM  DE  DF  AM 0 3) Xét AKE BHA có: AKE BMA  (vì tứ giác AKDM hình bình hành)   KAE MBA (vì AK // BC ) Suy ra: AKE BMA (g.g) AK KE  (1) BM AM +) Xét AFK CAM có:   KAF MCA (vì AK // BC ) AFK CAM  (vì AM // DF ) Suy ra: AFK CAM (g.g)   AK FK  (2) CM AM Lại có BM CM (vì M trung điểm BC ) (3) Từ (1) ; (2) ; (3) suy KE FK hay K trung điểm EF (đpcm) Bài 6: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đường cao AH tam giác ABC lấy điểm M ( M nằm A H ) Tia BM cắt AC I , tia CM cắt AB K Chứng  minh HA tia phân giác KHI Lời giải chi tiết Q A R S P I K B M H C Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BI , CK , HK , HI P, Q, R, S AR KA AQ   (1) Ta có: BH KB BC AS AI AP   (2) Tương tự: HC IC BC AR HC AQ  (3) Chia vế (1) cho (2) ta được: AS HB AP Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com AQ MA AP AQ HC     (4) AP HB Lại có: HC MH BH AR 1 (3) (4)  AR  AS Từ suy AS  +) HRS cân H ; AR  AS suy HA tia phân giác KHI (đpcm) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN