28 Website: tailieumontoan.com TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN NĂM HỌC 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1: (3,0 điểm) 3 Chứng minh n (n 1) (n 2) chia hết cho với số nguyên n 2 2 2 Phân tích đa thức x( y z ) y ( z x ) z ( x y ) thành nhân tử Bài 2: (3,0 điểm) x xy y xy C x y : 2 x y x y y x x y với x y Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức C ; Khi cho x y C , tính giá trị biểu thức: M x ( x 1) y ( y 1) xy ( x y 1) xy Bài 3: (3,0 điểm) 16 x 1 8 x 3 x Giải phương trình: x, y Tìm tất cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x xy x y 0 Bài 4: (3,0 điểm) Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 3x 2 2x n Tìm tất số tự nhiên n cho 19 số phương Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy điểm M trung điểm BC Qua điểm D thuộc đoạn BM , vẽ đường thẳng song song với AM , đường thẳng cắt hai đường thẳng AB, AC , E F Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K Chứng minh AKE ACB MAC Tính giá trị DE DE AM Chứng minh K trung điểm đoạn EF Bài 6: (2,0 điểm)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đường cao AH tam giác ABC lấy điểm M ( M nằm A H ) Tia BM cắt AC I , tia CM cắt AB K Chứng minh HA tia phân giác KHI ========================HẾT====================== Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLIMPIC MƠN TỐN TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU Năm học: 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (3,0 điểm) 3 Chứng minh n (n 1) (n 2) chia hết cho với số nguyên n 2 2 2 Phân tích đa thức x( y z ) y ( z x ) z ( x y ) thành nhân tử Lời giải chi tiết 1)Ta có: n3 (n 1)3 (n 2)3 n3 n 3n 3n n3 6n 12n 3n3 9n 15n (3n 15n) 9( n 1) Có 9(n 1)9, n Z (1) 3 Và 3n 15n 3n 3n 18n 3(n 1)n(n 1) 18n Vì n 1, n, n ba số nguyên liên tiếp, n (n 1)n(n 1)3, n Z 3(n 1)n(n 1)9, n Z Mà 18n9, n Z 3(n 1)n(n 1) 18n 9, n Z 3n 15n 9, n Z (2) Từ (1) (2) suy ra: (3n 15n) 9( n 1) 9, n Z n3 (n 1)3 ( n 2)3 9, n Z (đpcm) 2 2 2 2 2 2)Ta có: x( y z ) y ( z x ) z ( x y ) x( y z )( y z ) yz yx zx zy x( y z )( y z ) yz yx zx zy x( y z )( y z ) yz ( y z ) x ( y z ) ( y z )( xy xz yz x ) ( y z ) z ( x y ) x( x y ) ( y z )( z x)( x y ) x xy y xy C x y : 2 x y x y y x x y với x y Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức C ; Khi cho x y C , tính giá trị biểu thức: M x ( x 1) y ( y 1) xy ( x y 1) xy Lời giải chi tiết Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com 1) Với x y , ta có: x xy y xy C x y : 2 x y x y y x x y x( x y ) xy y ( x y ) x( x y ) y ( x y ) xy : x y ( x y )( x y ) x xy xy xy y x xy xy y xy : x y ( x y )( x y ) ( x y ) ( x y )( x y ) ( x y ) : x y ( x y )( x y ) x y C Vậy ( x y )2 x y với x y C 2) +) Theo câu 1) ta có: x Vì ( x y)2 x y với x y y C ( x y )( x y ) ( x y )2 x y ( x y )3 x y 2 +) Ta có: M x ( x 1) y ( y 1) xy ( x y 1) xy x x y y 3x y 3xy 3xy xy ( x xy y ) ( x3 x y xy y ) ( x y ) ( x y )3 (*) Thay x y vào (*) ta được: M ( 2) ( 2)3 4 Vậy M với x, y thỏa mãn đề Bài 3: (3,0 điểm) 16 x 1 8 x 3 x Giải phương trình: Tìm tất cặp số nguyên dương x xy x y 0 x, y thỏa mãn điều kiện Lời giải chi tiết 16 x 1 8 (1) x 3 x 1) +) ĐKXĐ: x 0 Khi đó: 16 x (1) x 0 x 3 x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com x x3 22 x 24 x 0 x x x3 x 15 x 15 x x 0 x ( x 1) x ( x 1) 15 x( x 1) 9( x 1) 0 ( x x 15 x 9)( x 1) 0 ( x x ) (6 x x) (9 x 9) ( x 1) 0 x ( x 1) x( x 1) 9( x 1) ( x 1) 0 ( x 3) ( x 1) 0 x 0 x 0 x 3 (TMDK) x 1 (TMDK ) Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S 3;1 2) x xy x y 0 (1) Giả sử tồn x, y Z thỏa mãn đề Ta có: x xy x y 0 x( x y ) ( x y ) x 0 ( x y )(2 x 1) (2 x 1) (2 x 1)( x y 1) (1) Vì x, y Z nên x 1 Z ; x-y+1 Z Suy x ước x 1 3; 1;1;3 x 2; 0; 2; 4 x 1; 0;1; 2 ; Mà x Z x 1; 2 Nếu x 1 , thay vào (1) ta được: (2.1 1).(1 y 1) y y 5 (thỏa mãn) Nếu x 2 thay vào (1) ta được: (2.2 1).(2 y 1) 3(3 y ) y y 4 (Chọn) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com x; y 1;5 , 2; Vậy cặp giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề Bài 4: (3,0 điểm) 1.Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 3x 2 2x n Tìm tất số tự nhiên n cho 19 số phương Lời giải chi tiết 1) Ta có: P x2 x x x 7x ( x 2) 2x 2x Có ( x 2) 0, x R (1) x ; 0 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho x có: x x 1 2 (2) 2x 2x x 14 8 (3) Vì x 2 P 0 P 4 Từ (1); (2); (3) ( x 2) 0 x x 2 x x 2 Dấu “=” xảy (thỏa mãn) MinP x 2 Vậy n 2) Đặt 19 a (1) *) Xét n 2k , k 2k k k Khi (1) trở thành: 19 a (a )(a ) 19 a 3k 1 k k k a 19 a a Nhận thấy 2a 20 a 10 3n 19 102 3n 81 n 4 (nhận) *) Xét n 2k 1; k Khi (1) trở thành: 32 k 1 19 a 3.9k 19 a Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Lại có: 1(mod 4) k 1(mod 4) 3.9k 3(mod 4) Mà 19 3(mod 4) k Suy ra: (3.9 19) 2(mod 4) Mặt khác a đồng dư với mod Do n 2k (k ) khơng thỏa mãn n Vậy n 4 19 số phương Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy điểm M trung điểm BC Qua điểm D thuộc đoạn BM , vẽ đường thẳng song song với AM , đường thẳng cắt hai đường thẳng AB, AC , E F Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K 1.Chứng minh AKE ACB MAC Tính giá trị DE DE AM Chứng minh K trung điểm đoạn EF Lời giải chi tiết F A K E B D M C 1) Xét tứ giác AKDM có: AK // DM (vì AK // BC ; D, M BC ) DK // AM (vì DF // AM ; K DF ) Suy tứ giác AKDM hình bình hành AKD AMD (1) +) Ta có AMD góc ngồi AMC AMD MAC MCA (2) Từ (1) (2) suy ra: AKD MAC MCA Hay AKE ACB MAC (đpcm) 2) Ta có: DE DF DE DE EF 2 DE EK (vì KE FK (cmt) 2.( DE EK ) 2.DK Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Mà: DK AM (vì tứ giác AKDM hình bình hành) DE DF 2 AM DE DF AM 0 3) Xét AKE BHA có: AKE BMA (vì tứ giác AKDM hình bình hành) KAE MBA (vì AK // BC ) Suy ra: AKE BMA (g.g) AK KE (1) BM AM +) Xét AFK CAM có: KAF MCA (vì AK // BC ) AFK CAM (vì AM // DF ) Suy ra: AFK CAM (g.g) AK FK (2) CM AM Lại có BM CM (vì M trung điểm BC ) (3) Từ (1) ; (2) ; (3) suy KE FK hay K trung điểm EF (đpcm) Bài 6: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đường cao AH tam giác ABC lấy điểm M ( M nằm A H ) Tia BM cắt AC I , tia CM cắt AB K Chứng minh HA tia phân giác KHI Lời giải chi tiết Q A R S P I K B M H C Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BI , CK , HK , HI P, Q, R, S AR KA AQ (1) Ta có: BH KB BC AS AI AP (2) Tương tự: HC IC BC AR HC AQ (3) Chia vế (1) cho (2) ta được: AS HB AP Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com AQ MA AP AQ HC (4) AP HB Lại có: HC MH BH AR 1 (3) (4) AR AS Từ suy AS +) HRS cân H ; AR AS suy HA tia phân giác KHI (đpcm) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN