Khi M ở vị trí để tổng AM + MB đạt giá trị nhỏ nhất, tính số đo góc AMB và diện tích S của tam giác AMB.. M là giao điểm của CD và A’B với A’ là điểm đối xứng của A qua CD.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG GIẢI TOÁN TRÊN MTBT LỚP - CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2006-2007 Ngày thi: 23/11/2006 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề THÀNH PHỐ CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐIỂM BÀI THI Bằng số GIÁM KHẢO (Họ tên và chữ ký) GIÁM KHẢO (Họ tên và chữ ký) SỐ PHÁCH (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) Bằng chữ Quy định : - Đề thi này gồm có 02 trang, 10 câu, câu điềm - Máy sử dụng: FX-220, FX-500A, FX-500MS, FX-570MS - Các kết tính toán gần đúng, không có định cụ thể ngầm định chính xác đến chữ số thập phân - Các đoạn thẳng đo theo cùng đơn vị độ dài - Thí sinh làm bài trực tiếp vào đề thi này Bài Cho đa thức f (x) = ax3 + bx2 + cx + d và cho biết f (2) = ; f (1) = f (–1) = f (–2) = – a) Xác định các hệ số a, b, c, d đa thức f (x) a) a = b= c= b) r(x) = b) Tìm đa thức dư r(x) phép chia f (x) cho x2 – 2x – Bài Giải phương trình: 5 ( x 2)(252 623, 4) 1 (4 x) 26 64 x= 3 3 3 Bài Tính giá trị chính xác số A = 12345543215432112345 A= Bài Tìm ước số chung lớn (ƯCLN) và bội số chung nhỏ (BCNN) 1962940 và 1965880 ƯCLN = Bài a) Tìm số dư r1 và r2 chia 111111111 (9 chữ số 1) và 111111111111111 (15 chữ số 1) cho 104 a) r1 = BCNN = b) Đáp số: b) r2 = d= (2) b) Tìm bội số 104 gồm toàn chữ số và chữ số Bài Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức E 4n(33 n) 305 với n N Bài Tìm tất các số nguyên n (n < 1000) cho GTLN = GTNN = Đáp số: 3n 789 là số chính phương và chia hết cho Bài Cho góc nhọn thoả mãn cos2 – 2sin2 = tg 2 3tg B tg Tính giá trị biểu thức Bài Tam giác ABC có diện tích 10 và số đo các góc A, B, C tỉ lệ với các số 2, 3, a) Tính số đo các góc A, B, C tam giác b) Tính độ dài cạnh AB Bài 10 Cho hình thang ABCD vuông C và D ; AD = ; BC = và CD = M là điểm thay đổi trên cạnh CD a) Xác định vị trí điểm M để tổng AM + MB đạt giá trị nhỏ b) Khi M vị trí để tổng AM + MB đạt giá trị nhỏ nhất, tính số đo góc AMB và diện tích S tam giác AMB B= a) A = b) AB = a) b) AMB = c) S = HẾT B= C= (3) ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM (Thang điểm 50) Bài 1: Cho đa thức f (x) = ax3 + bx2 + cx + d và cho biết f (2) = ; f (1) = f (–1) = f (–2) = – a) Xác định các hệ số a, b, c, d đa thức f (x) b) Tìm đa thức dư r(x) phép chia f (x) cho x2 – 2x – a) a = 1/3 ; b = –2/3 ; c = –1/3 ; d = –14/3 f x ( x x x 14) 10 r ( x) x 3 1đ b) Hướng dẫn: r(x) = mx + n f(x) = (x2 – 2x – 3).q(x) + r(x) f(–1) = r(–1) = –4 = – m + n f(3) = r(3) = 28/3 = 3m + n 1đ Bài 2: Giải phương trình: 5 1 ( x 2)(252 623, 4) 1 (4 x) 26 64 3 3 x = 4,82787 2đ Bài 3: Tính giá trị chính xác số A = 12345543215432112345 A = 706 237 767 677 192 745 2đ Hướng dẫn: A = (12345.105 + 54321)(54321.105 + 12345) = 12345.54321.1010 + (123452 + 543212)105 + 12345.54321 Sử dụng máy tính và kết hợp với tính tay ta kết Bài 4: Tìm ước số chung lớn (ƯCLN) và (BCNN) 1962940 và 1965880 ƯCLN = 980 BCNN = 937 657 640 0,75đ 0,75đ Bài 5: a) Tìm số dư r1 và r2 chia 111111111 (9 chữ số 1)và 111111111111111 (15 chữ số 1) cho 104 b) Tìm bội số 104 gồm toàn chữ số và chữ số a) r1 = 0,75đ r2 = 0,75đ b) 111 111 111 111 111 – 111 111 111 = 111 111 000 000 000 Bài 6: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức E 4n(33 n) 305 với n N GTLN = E(16) = E(17) = 5,28981 1đ (4) GTNN = E(3) = E(30) = 2,72327 1đ Hướng dẫn: E 9496 (2n 33) 2 Bài 7: Tìm tất các số nguyên n (n < 1000) cho 3n 789 là số chính phương và chia hết cho n = 13 ; 878 Hướng dẫn: 3n 789 (q N) q 3n 789 (1) n 999 789 q 3n 789 2994792 q 41 Đặt q2 = 3n 789 chia hết cho q chia hết cho q = ; ; , 39 Lần lượt thay các giá trị tìm q vào (1) ta thấy với q = và q = 39 thì phương trình (1) có nghiệm nguyên q = n = 13 q = 39 n = 878 tg 2 3tg B 2 tg Bài 8: Cho góc nhọn thoả mãn cos – 2sin = 0.Tính giá trị biểu thức B = –3,29289 Hướng dẫn: tg 2 sin tg cos 2 cos2 – 2sin2 = tg 2 3tg B tg tg = –3,29289 Bài 9: Tam giác ABC có diện tích 10 và số đo các góc A, B, C tỉ lệ với các số 2, 3, a) Tính số đo các góc A, B, C tam giác b) Tính độ dài cạnh AB a) A = 40 ; B = 60 ; C = 80 b) AB = 5,94828 2đ Hướng dẫn: A B C A B C 1800 200 234 a) AB AC AB.sin B AC sin C b) sin C sin B AB sin A.sin B S AB AC.sin A 2sin C S sin C S sin C AB AB sin A.sin B = 5,94828 sin A.sin B (5) Bài 10: Cho hình thang ABCD vuông C và D ;AD = ; BC = và CD = M là điểm thay đổi trên cạnh CD a) Xác định vị trí điểm M để tổng AM + MB đạt giá trị nhỏ b) Khi M vị trí để tổng AM + MB đạt giá trị nhỏ nhất, tính số đo góc AMB và diện tích S tam giác AMB a) M là giao điểm CD và A’B với A’ là điểm đối xứng A qua CD b) AMB = 71 4’ 30’’ S = 8,57143 1đ 1đ Hướng dẫn: a) Gọi A’ là điểm đối xứng A qua CD AM + MB = A’M + MB MC BC D MD DA ' b) Các tam giác BMC và A’MD đồng dạng nên 20 15 MC ; MD 7 Mặt khác, MC + MD = CD = x AD 21 t g(AMD) AMD = DM 15 54 27’ 45’’ = BMC AMC = 180 – 2(AMD) = 71 4’ 30’’ C B A 35 45 40 60 8,57143 Diện tích S = SABCD – SAMD – SBMC = 14 A’ (6)