PHỊNG GD&ĐT VIỆT TRÌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2019-2020 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) x 1 x Câu 1: Tìm tất giá trị x để biểu thức có nghĩa ? A x B x C x 5 D x 2019 2019 x 1 x x 3 x x Câu 2: Tổng nghiệm phương trình A B C D P Câu 3: x 1 x 3x 2 x3 bx cx d Biết Tổng b c 2d A B C D Câu 4: Cho tam giác ABC vng A có AC 3 cm, BC 5 cm, đường cao AH Tỷ số BH BC A 1 3 Câu 5: Biết A 4 x B ax b cx 16 C 25 D 25 Giá trị a 2b c B C 4 Câu 6: Có giá trị nguyên x để biểu thức A B 10 C D 2x 2x xác định ? D Vô số a b a c Câu 7: Biết với a, b, c số nguyên dương c phân số tối giản Biểu thức a 2b c A B 10 C 16 D 5 2 Câu 8: Cho đa thức f ( x) x x 3x x x Khi chia f ( x ) cho x ta dư A 12 x B 12 x C x 12 D x 12 Trang 1/3 Câu 9: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết chu vi HAB HAC cm 12 cm Chu vi ABC A 16 cm B 15 cm C 21 cm D 18 cm Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AC a chu vi 6a Diện tích hình chữ nhật ABCD A a B a D 2a C 2a Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A Gọi M , N hai điểm thuộc cạnh AB AM AN cạnh AC cho AB AC Biết BN 6, CM 8 Độ dài đoạn thẳng BC A 10 B 10 C 10 D 10 x x 10 x , y Câu 12: Biết số thực thỏa mãn y y 10 10 Giá trị biểu x x 2018 2019 y y 2018 2019 10 thức A 2018 B 10 C 2019 D 2029 x 3m x 3 x Câu 13: Gọi S tập giá trị m để phương trình x vơ nghiệm Tổng bình phương phần tử tập S 121 A 49 B 65 C 16 D Câu 14: Cho tam giác ABC vng A có AD phân giác góc BAC ( D thuộc BC ) 1 AD 2 Biểu thức AB AC A B 2 C D 2 Câu 15: Tam giác ABC có độ dài đường trung tuyến AD 36 cm, BE 15 cm CF 39 cm Diện tích tam giác ABC 2 2 A 360 cm B 270 cm C 240 cm D 720 cm Câu 16: Cho nhôm hình vng có cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x cm gập nhôm lại để hộp khơng nắp (như hình vẽ đây) Trang 2/3 Thể tích lớn hộp 3 A 108 cm B 136 cm Trang 3/3 C 144 cm D 128 cm B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm) 2a a 2a 2 a) Tìm a để a 5a a a b) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn 3x x 3xy x y 0 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình b) Giải phương trình x 2 x x x 4 x x x 3x 2 x x Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A có BC 2a Điểm M thuộc cạnh BC , gọi E, F chân đường vuông góc điểm M AB AC a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Khi M thay đổi cạnh BC , chứng minh đường thẳng qua điểm M vng góc với EF ln qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a 2; b 2 c 2 Chứng minh a b c ab bc ca a b b c c a a b c -Hết Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Trang 4/3 PHỊNG GD&ĐT TP VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2019 - 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Hướng dẫn chấm có 04 trang I Đáp án phần trắc nghiệm khách quan - Mỗi câu 0,5 điểm - Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan: 0,5 x 16 = 8,0 điểm Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án B A B 13 C A C 10 C 14 B D D 11 C 15 A C C 12 B 16 D II Đáp án - Thang điểm phần tự luận Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp án mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số Đáp án - thang điểm Câu (3,5đ ) Nội dung Điểm Câu (3,5 điểm) 2a a 2a 2 a) Tìm a để a 5a a a b) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x x xy x y 0 2a a 2a 2 a) Tìm a để a 5a a a Trang 5/3 2,0 Câu Nội dung a 5a 0 a 0 3 a 0 Điều kiện 0,25 a 2 a 3 0,25 2a a 3 a 3 2a 1 a a a 3 0,25 a 1 a a a2 a a a a a 3 a 0,25 P 2 Nên 0,25 2a a 2a 2a a 2a a 5a a a a a 3 a a P Ta có Điểm a 1 a 2 0 a a 0,25 a a a a 0,25 0 30 0 30 a 7 a 7 a 7 a 0,25 Vậy giá trị a thỏa mãn a 7 b) Tìm tất cặp số nguyên Ta có x; y thỏa mãn x x xy x y 0 3x x xy x y 0 y x 3 x x x y x2 x 3 Do y y 3x x 3 1,5 0,25 0,25 0,25 x ước 0,25 x 1; 3 x 6; 4; 2;0 0,25 Trang 6/3 Câu Nội dung Điểm Thử lại ta thấy có cặp số nguyên thỏa mãn x; y 0;1 0,25 Câu (3,5 điểm) (3,5đ ) x 2 x x x 4 a) Giải phương trình b) Giải phương trình a) Giải phương trình Nhận xét: x x x x 2 x x x 2 x x x 4 2x 2x 2 x 1 0,25 2x 2x 2x x Điều kiện Khi PT 2,0 0,25 x x 4 0,25 x 3 0,25 x 3 2x 1 2x 4 2x 0,25 0,25 x 9 x 7 0,25 x 7 Kết hợp điều kiện suy nghiệm phương trình 0,25 x x x x 2 x x 1,5 b) Giải phương trình x Điều kiện: 0,25 Phương trình cho x( x 2) x 2( x x x 2) x( x 2) x 2(x 2)( x x 1) 0,25 x 2 x x 2( x x 1) (*) Ta có (*) 2(3 x 1) 3x x x 0 Trang 7/3 3x 3x 0 x x 0,25 Câu Nội dung t 2t 3t 0 t 3x t (t 0) t x Đặt ta (do t 0 ) t Với 3x 1 x 3x x x 4(3x 1) x x x 6 4 x 12 x 0 Điểm 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm: x 6 4 2; x 2 (3,5đ ) Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A có BC 2a Điểm M thuộc cạnh BC , gọi E , F chân đường vng góc điểm M AB AC a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Khi M thay đổi cạnh BC , chứng minh đường thẳng qua điểm M vng góc với EF ln qua điểm cố định a) Tính diện tích tam giác ABC theo a AB AC Ta có: BC a 2 1,0 0,5 S ABC AB AC a Diện tích tam giác ABC b) Chứng minh chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M Trang 8/3 0,5 1,5 Câu Nội dung Điểm C 2 EM EA Tứ giác AEMF hình chữ nhật nên có chu vi: AEMF 0,50 Dựng hình vng ABDC gọi N giao điểm MF với BD 0,50 Tứ giác BEMN hình vng nên EM EB Do chu vi tứ giác AEMF bằng: C AEMF 2 EM EA 2 EB EA 2 AB 2a 0,50 không phụ thuộc vào vị trí điểm M đoạn thẳng BC c) Khi M thay đổi cạnh BC , chứng minh đường thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm cố định 1,0 Gọi H giao điểm đường thẳng DM với EF G giao điểm ME với CD Ta có: Tứ giác CGMF hình vng; tứ giác DGMN hình chữ nhật 0,25 Suy ra: AE MF MG ND (1) AF EM MN (2) Từ (1), (2) AEF NDM AFE NMD (3) 0,25 Mặt khác NMD HMF (1,5đ ) (4) (đối đỉnh) o Từ (3), (4) suy ra: HMF HFM EFA HFM 90 MH EF 0,25 Vậy M thay đổi cạnh BC , đường thẳng qua M vng góc với EF qua điểm D cố định 0,25 Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a 2; b 2 c 2 Chứng minh a b c ab bc ca a b b c c a a b c Trước hết ta chứng minh Thật vậy: ( a b) c a b c a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b3 3ab a b c a b c a b c a b3 c a b b c c a Trang 9/3 0,25 Câu Nội dung Điểm Do đó, BĐT cần chứng minh tương đương với a b c ab bc ca a b3 c Ta có: với x, y 1 0,25 x y 0 xy x y 0,25 2 2 Vì x, y 1 nên x y x y Suy ra: xy x y Đặt x a 1, y b áp dụng kết ta có a 1 b 1 a 1 b 1 a b a ab b 0,25 a b a b3 (1) Chứng minh tương tự ta có: b c b3 c (2) 0,25 c a c a (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh Dấu xảy a b c 2 a 1, b c 2 hoán vị chúng Hết Trang 10/3 0,25