PHỊNG GD&ĐT VIỆT TRÌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Biểu thức P A x 2 2018 có nghĩa x B x C x 2 D x C x3 D x3 Câu 2: Biểu thức x 1 x x 1 A x B x3 Câu 3: Tổng nghiệm phương trình x 1 x 3 x 1 x A B C D Câu 4: Tam giác ABC vng A có AB 2 cm, AC 4 cm Độ dài đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A A B Câu 5: Phân thức đối phân thức A 2 x x2 B C D C x2 x2 D x x2 x x2 x x2 Câu 6: Cho x số thực dương thỏa mãn 27 x 36 x 0 Khẳng định sau ? A x B x C x D x Câu 7: Biết x, y số thực dương thỏa mãn x y x y 0 Giá trị 3x y A B C D Câu 8: Biết đa thức x 3x x 3m ( x biến, m tham số thực) chia hết cho x Khẳng định sau ? Trang 1/3 A m B m C m Câu 9: Tổng tất nghiệm phương trình x x A B D m 2018 2018 x x x C D Câu 10: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM AM AC Tỉ số A B C tan ABC tan ACB D Câu 11: Tam giác ABC có BAC 60o , AB 3 cm, AB 4 cm Độ dài cạnh BC A B C 13 Câu 12: Biết x, y, z số tự nhiên thỏa mãn D 3 x y z Giá trị biểu thức x y z A B C 12 D 16 Câu 13: Cho tam giác ABC Dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm cạnh BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác (tham khảo hình vẽ bên) Khi diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn tỉ số A B C D A MB MC Q B P M N C Câu 14: Cho tam giác có độ dài đường cao 12 cm; 15 cm 20 cm Diện tích tam giác A 150 cm B 90 cm C 120 cm D 300 cm Câu 15: Cho hình thoi ABCD có AC BD Diện tích hình thoi ABCD phần tư diện tích hình vng có cạnh AB Tỉ số A B 15 AC BD C 2 D Câu 16: Ơng Bình dự định làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) tích m Để tiết kiệm chi phí chiều rộng bể cá Trang 2/3 A 1,5 m B 0,5 m C 1,0 m Trang 3/3 D 0,8 m B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh n3 17 n chia hết cho với n số nguyên dương b) Rút gọn biểu thức P 21 80 10 Câu (3,5 điểm) Giải phương trình: a) x x b) 12 x x x 12 3x x Câu (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng AB (M khác A khác B) Vẽ phía AB hình vuông AMCD BMEF a) Biết AB = 6, MA = Tính diện tích tam giác MBC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh hai đường thẳng AE BC vng góc với c) Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc 8 Chứng minh 1 a3 1 b3 1 c3 1 -Hết Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Trang 4/3 PHỊNG GD&ĐT TP VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2018 - 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Hướng dẫn chấm có 04 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I Đáp án phần trắc nghiệm khách quan - Mỗi câu 0,5 điểm - Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan: 0,5 x 16 = 8,0 điểm Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án D A B 13 A C A 10 D 14 A A D 11 C 15 B C C 12 B 16 C II Đáp án - Thang điểm phần tự luận Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp án mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số Đáp án - thang điểm Câu (3,0đ) Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh n3 17 n chia hết cho với n số nguyên dương b) Rút gọn biểu thức P 21 80 10 a) Chứng minh n3 17 n chia hết cho với n số nguyên dương 1,5 3 Ta có n 17n n n 18n 0,25 Nhận xét: n n n n 1 n n 1 n 1 0,25 Trang 5/3 Câu Nội dung Vì n 1 n n 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 0,50 18n 3.6n số chia hết cho 0,25 3 Do n 17 n n n 18n chia hết cho 0,25 b) Rút gọn biểu thức P 21 80 10 Ta có: 21 80 20 20 4 Suy ra: 21 80 P (3,5đ) 3 10 1 1,5 20 21 80 5 Điểm 1 21 80 20 2 1 0,25 21 80 0,25 0,25 3 2 51 0,25 3 6 51 51 0,25 51 0,25 1 51 Câu (3,5 điểm) Giải phương trình : a) x x 12 x x b) x 12 3 x x a) Giải phương trình x x 12 x x 2 2,0 Phương trình x x x x 12 0 0,25 Đặt t x x, thay vào phương trình ta phương trình t 4t 12 0 0,25 t t 0 0,25 t 6, t 0,25 Với t 6 x x 6 x x 3 0 x 2, x 3 Trang 6/3 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Với t x x x x 0 0,25 1 x 0 phương trình vơ nghiệm 2 0,25 Vậy phương trình có hai nghiệm x 2, x 3 b) Giải phương trình Từ phương trình suy 3x x 12 Phương trình x2 x 12 x2 nên Suy x2 x x 12 3 x 3 x x2 x 2 x 5 3 Vì x 1,5 x 12 3 x x x2 x2 x2 x2 x2 0,25 x2 x2 0 * x 12 x 12 x 12 0,25 x2 x2 0 Do đó, phương trình * x 0 x 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x 2 (4,0đ) Câu (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng AB (M khác A khác B) Vẽ phía AB hình vng AMCD BMEF a) Biết AB = cm, MA=2 cm Tính diện tích tam giác MBC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh hai đường thẳng AE BC vng góc với c) Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng Trang 7/3 Câu Nội dung a) Biết AB = 6, MA=2 Tính diện tích tam giác MBC Điểm 1,5 Ta có: MB AB MA 4 0,5 MC MA 2 0,5 Suy ra: S MBC MB.MC 4 0,5 b) Chứng minh hai đường thẳng AE BC vng góc với Ta có MBC MEA ( g c.g ) 1,5 0,5 MEA MBC 0,25 Và HCE (hai góc đối đỉnh) MCB 0,25 Do CEH HCE MBC MCB 90o 0,25 Suy CHD 90o hay AE BC 0,25 c) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng 1,0 Gọi O giao điểm AC MD O trung điểm AC MD 1 Từ phần b) suy tam giác HAC vuông H HO AC OH DM 2 0,25 Tam giác HDM có đường trung tuyến HO nửa cạnh đáy DM nên suy HDM vuông H hay DHM 90o 0,25 Chứng minh tương tự ta FHM 90o 0,25 Do DHM FHM 180o suy D, H , F thẳng hàng 0,25 Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc 8 Chứng minh Trang 8/3 Câu Nội dung (1,5đ) 1 a3 Ta có a3 1 a 1 a a2 1 b3 Điểm 1 c3 1 2 2 1 a 1 a a a 0,25 Dấu xảy a 1 a a a 2 Tương tự, ta có: 1 b 1 c3 Cộng lại, ta được: Ta chứng minh 1 b 1 2 (1) a 2 b 2 c 2 1 c 0,25 1 1 (2) a 2 b 2 c 2 2 Thật vậy, bất đẳng thức (2) tương đương với a 0,25 , dấu xảy c 2 c 2 1 a , dấu xảy b 2 b 2 b2 b2 c2 c a 0,25 a b2 c a b c a 2b 2c 2 a b c 12 0,25 3 Bất đẳng thức (3) a b c 3 a 2b 2c 12 chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Hết Trang 9/3 0,25