PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2020-2021 Đề thức MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 02 trang I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Chọn đáp án Câu Rút gọn biểu thức P = a a a 16 a với a 16 ta kết là: A B a C - D a Câu Cho Q = x x 17 Giá trị nhỏ Q là: 47 29 43 25 A B C D 4 Câu Chu vi tam giác tạo đường thẳng y x hai trục tọa độ 15 A 40 B 60 C 23 D 31 Câu Phương trình đường thẳng qua A(3; -2) song song với đường thẳng 3x - 4y + = 3 19 17 A y = x B y = x C y = x D y = x 4 4 4 4 Câu Giá trị m để hàm số y = (m - 1)x + - x đồng biến R là: A m < B m > C m > D m < 2mx 3y m Câu Có giá trị m nguyên để hệ phương trình có nghiệm (x; y) x y m mà x; y nguyên A B C D Câu Cho phương trình: (2m + 3)x + (m + 5)y = - 4m (m tham số) Hỏi phương trình ln có nghiệm với m A (-3; 2) B (1; 1) C (3; 2) A D (3; -2) Câu Trong hình bên, biết BMNP hình bình hành NP MN N Giá trị biểu thức bằng: M AB BC A B C B P C D Câu Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a Hai điểm M, N thuộc AB, BC cho MN // AC AM = BN Độ dài đoạn thẳng MN tính theo a, b, c ab bc ab bc A B C D a c a c bc a b Câu 10 Cho hình thoi ABCD độ dài đường chéo AC = 2a, BD = 2b Khoảng cách hai đường thẳng AB CD 3ab ab ab 2ab A B C D a b2 a b2 a b2 a b2 Câu 11 Cho tam giác ABC cân A, kẻ hai đường cao AH BK, biết AH = 15,6cm; BK = 12cm Độ dài đoạn BC là: A 12cm B 14cm C 13cm D 15cm Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH đường trung tuyến AM, biết AH = 2,4cm; AM = 2,5cm Chu vi tam giác ABC x A 13cm B 14cm C 7cm D 12cm Câu 13 Cho hình vẽ bên, biết Ox, Oy, MN tiếp tuyến M đường tròn (I), xOy Chu vi tam giác OMN bằng: O α I A 2.OI.sin B 2.OI.cos N 2 C 2.OI.sin D 2.OI.cos y Câu 14 Diện tích giác 3 Hỏi bán kính đường trịn nội tiếp tam giác A B C D Câu 15 Một hình lập phương có cạnh 1, tăng độ dài cạnh thêm 20% thể tích tăng thêm % A 80% B 72,8% C 44% D 78,2% Câu 16 Anh Thịnh có ao ni cá hình chữ nhật, đợt vừa có loại cá giống nên anh định giăng lưới quây lại để nuôi thử nghiệm góc ao Biết lưới giăng theo đường thẳng từ Bờ vị trí bờ dọc đến vị trí bờ ngang phải qua dọc A 12m cọc cắm sẵn vị trí A (hình bên) Hỏi diện tích nhỏ giăng bao nhiêu? Biết khoảng cách từ cọc A đến bờ 5m dọc 12m khoảng cách từ cọc A đến bờ ngang 5m Bờ ngang A 120m2 B 156m2 C 238,008(3)m2 D 283,003(8)m2 II TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài (3,0 điểm) a) Gọi a1 ;a ;a ; ;a n chữ số số 20102020 Chứng minh rằng: a13 a 32 a 33 a 3n chia hết cho b) Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Bài (3,5 điểm) 1 1 1 a) Cho a, b, c khác 0, thỏa mãn a b c a b c 2 2020a 2020b 2020c Tính giá trị biểu thức: M = 3bc 3ac 3ab b) Giải phương trình: x 1 x Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính PQ = 2R cố định đường kính MN đường tròn thay đổi (MN khác PQ) Qua P vẽ đường thẳng (d) tiếp tuyến đường tròn (O), (d) cắt đường thẳng QM QN E F a) Chứng minh tam giác QMN đồng dạng với tam giác QFE b) Tìm vị trí MN để EF có độ dài nhỏ tính giá trị nhỏ theo R Bài (1,5 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y y x .Hết Họ tên thí sinh: .SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm./ PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm có: 03 trang A Một số chỳ ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm B Đáp án thang điểm I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Chọn đáp án Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu Đáp án B A A D C A A C B 10 D 11 C 12 D 13 B 14 D 15 B II TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài (3,0 điểm) a) Gọi a1 ;a ;a ; ;a n chữ số số 20102020 Chứng minh rằng: a13 a 32 a 33 a 3n chia hết cho b) Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Nội dung 2020 a) Dễ thấy 2010 chia hết cho a1 a a a n 3 (1) 3 3 Xét hiệu: a1 a a a n a1 a a a n a1 1 a1 a1 1 a 1 a a 1 a n 1 a n a n 1 chia hết cho a13 a 32 a 33 a 3n a1 a a a n 3 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm b) Xét p = 2, ta có: 7p + = 15 khơng lập phương stn (loại) Xét p > p lẻ 7p + chẵn Đặt 7p + = (2k)3 (với k N*) Khi đó: 7p = (2k)3 - = (2k - 1)(4k2 + 2k + 1), Vì p số nguyên tố nên ta có TH sau: 2k 7 k 4 (t / m) +) TH1: p 73 4k 2k p 2k p k 1 (L) +) TH2: p 1 4k 2k 7 2k 1 k 1 (L) +) TH3: p 1 4k 2k 7p Vậy p = 73 16 A Bài (3,5 điểm) 1 1 1 a) Cho a, b, c khác 0, thỏa mãn a b c a b c 2 2020a 2020b 2020c Tính giá trị biểu thức: M = 3bc 3ac 3ab b) Giải phương trình: x 1 x Nội dung 1 a) Từ gt suy ra: 0 a b c 0 ab bc ca Biến đổi suy ra: a + b = - c a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 a3 + b3 + c3 = 3abc 2020a 2020b3 2020c3 2020.3abc Thay vào tính M = 2020 3abc 3abc 3abc 3abc b) ĐKXĐ: x Đặt x a ; x b , (với b 0) Khi ta có hệ phương trình: b 1 a a 1 b 2 a a 1 a b 1 b 1 a a 0;1; 2 a a 2a 0 + Với a 0 ta x 0 x 2 + Với a 1 ta x 1 x 1 + Với a ta x x 10 Đối chiếu với đk ta tập nghiệm S 1;2;10 Bài (4,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính PQ = 2R cố định đường kính MN đường tròn thay đổi (MN khác PQ) Qua P vẽ đường thẳng (d) tiếp tuyến đường tròn (O), (d) cắt đường thẳng QM QN E F a) Chứng minh tam giác QMN đồng dạng với tam giác QFE b) Tìm vị trí MN để EF có độ dài nhỏ tính giá trị nhỏ theo R Nội dung Q M O N d E P F QM QN QF QE Chứng minh được: QMN đồng dạng QFE (c.g.c) b) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số EP, PF > ta có a) Chứng minh được: QM.QE = QN.QF (=PQ2) EF EP PF 2 EP.PF Mặt khác: QFE vuông Q có PQ EF (gt) PE.PF = PQ2 PE.PF = (2R)2 = 4R2 EF EP PF 2 EP.PF 2 4R 4R (không đổi) Dấu "=" xảy EP = PF, QP vừa đường cao, vừa đường trung tuyến Cũng đường phân giác Mà QMPN hình chữ nhật QMPN hình vng MN PQ Vậy Khi MN PQ EF có độ dài nhỏ 4R Bài (1,5 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y y x Nội dung 2 + Ta có: M = x y = x y 2 y x x y x2 y 1 255 2 2 256 x y 256 x y + Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: x2 y 1 1 1 2 2 x y 2 2 256 x y 256 x y 16 x y xy 1 x y 2 16 4 16 x y 255 255 255 2 16 256 x y 256 16 1 255 289 2 + Do đó: M Dấu “=” xảy x y 16 16 289 + Vậy minM = x y 16