Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 13 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2019-2020 - MƠN:TỐN Đề thức Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Kết rút gọn biểu thức P x2 y2 A x y B xy 3 x y C , với x < y < y x D xy Câu Cho M M nghiệm phương trình A M 3M 5 B M M 4 C M 3M 4 D M 3M 5 x xy y Câu Cho x y thỏa mãn x 3y 2 xy Giá trị bthức E x y2 A B C D -14 Câu Biểu thức x x đạt giá trị nhỏ x A B C D Câu Giá trị lớn biểu thức M = 10 x x A 26 B 10 C 25 D Câu Cho x 3 2 3 2 ; y 17 12 17 12 3 Giá trị biểu thức P x y x y 26 A 46 B 56 C 66 Câu Kết rút gọn biểu thức I A 10 B 11 10 D 16 1 C 10 100 99 99 100 16 D 10 Câu Số giá trị nguyên x thỏa mãn x A 25 B vô số C D 24 Câu Đa thức f(x) chia cho x dư 3; chia cho x dư Khi chia f(x) cho x 3 x có dư A x B x C x D x Câu 10 Số dư phép chia đa thức x 1 x x x 2025 cho đa thức x x 10 A 2000 B 2005 C 2010 D 2020 Câu 11 Cho tam giác MNP vuông M , đường cao MH Biết NH = 5cm; HP = 9cm Độ dài MH A cm B cm C 4,5cm D cm Câu 12 Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn định khẳng định sau là: A ABC B BAC 60 C BAC 90 1 1 Khẳng AD AB AC D BAC 120 Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD BE, trực tâm H Hệ thức A tan B.tan C HD AD B tan B.tan C AD HD C tan B.tan C HB BE D tan B.tan C BE BH Câu 14 Cho tam giác ABC vng A có sin B Khi sin C A 0,4 B C 0,8 0,6 D = 600 Trên cạnh BC lấy điểm E cho Câu 15 Cho tam giác ABC, AB = cm; A =1050 ; B BE 2 cm Vẽ ED song song với AB (D thuộc AC) Hệ thức 1 2 AC AD 1 C 2 AC AD 1 2 AC AD 1 D 2 AC AD A B 250 m Câu 16 Một tàu ngầm mặt biển đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển góc 210 (tham khảo 21° hình bên) Khi tàu chuyển động xuống theo phương lặn thời gian thủy thủ 30° ? tàu quan sát hải đăng cao 250m nhận thấy: vị trí tàu tạo với đỉnh chân hải đăng góc 300 , tạo với vị trí tàu bắt đầu lặn đỉnh hải đăng góc vng Qng đường mà tàu chuyển động theo phương lặn tới thời điểm quan sát gần A 249 m B 289 m C 324 m D 315 m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực thỏa mãn : 3 3 125 a b c 5a b c 5b c a 5c a b 48 Tính giá trị biểu thức P 5 3a 2b 3b 2c 3c 2a 1995 b) Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 2n n 1 không chia hết cho Chứng minh 5n n không số phương Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x 3 x 26 x 45 b) Chứng minh số vô tỉ Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với AB AC , AD đường phân giác Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực AC E Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực AB G; I giao điểm BE CG a) Chứng minh AB AE AC AG ID / / GB b) Dựng đường cao AH ABC ( AH HC ), gọi P trung điểm HC Đường thẳng qua P vng góc với AC cắt đường thẳng qua C vng góc với BC Q; đường thẳng qua P vng góc với QA cắt cạnh AC R Chứng minh Q, R, H thẳng hàng Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b thỏa mãn b 2a; 6a 7b Tìm giá trị lớn biểu thức Q 5b 2ab b a 7b 6a b2 HẾT -2 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2019-2020 - MƠN: TỐN B Đáp án thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu Đáp án C C D B A II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) C A D D 10 C 11 A 12 D 13 B 14 15 C A Nội dung a) Chứng minh đẳng thức : x y z x y z x y y z z x 16 D Điểm 0,25 đặt x 5a b c; y 5b c a; z 5c a b , ta có x y z 5a b c 5b c a 5c a b 5 a b c x y 5a b c 5b c a 6a 4b 2 3a 2b 0,25 y z 2 3b 2c ; z x 2 3c 2a Giả thiết trở thành: x y z x y z 48 (1) 0,25 Do x y z x3 y z x y y z z x (1) x y y z z x 48 3.2.2.2 3a 2b 3b 2c 3c 2a 48 3a 2b 3b 2c 3c 2a 2 Từ tính P 2005 b) Theo giả thiết kiện 2n n 1 không chia hết 2n n 1 3 0,25 0,25 Vì (2,3) = nên n n 1 3 n 3k 1, k N 0,5 0,5 5n n 5 3k 1 3k 45k 33k 14 chia dư 0,5 Vì số phương chia khơng thể dư nên 5n n số cphương 0,25 Câu (3,5 điểm) Nội dung Điểm 45 Phương trình x 26 x 45 x 0 26 26 x 45 25 x 50 3 x 5 0 x 0 26 x 45 x 26 x 45 x a) Đk: x x 0 3 0 * 26 x 45 x Vì vế trái phương trình (*) ln dương nên phương trình (*) vơ nghiệm x 5 Vậy nghiệm PT x = 0,25 0,75 0,75 0,25 b) Trước tiên, ta chứng minh số vô tỉ m , m, n N * ; m, n 1 n 2 m 2n 1 m 2 m2 (vì số nguyên tố) m 2k , k N * (2) Thay m 2k vào (1), ta có : 4k 2n n 2k n 2 n2 (vì số nguyên tố) n 2h, h N * (3) Từ (2) (3) suy m, n có ước 2, điều vơ lí m, n 1 Thật vậy, giả sử Vậy ta có số hữu tỉ Khi số vơ tỉ 0,75 Giả sử số hữu tỉ m, m Suy 1 Điều vơ lí m 0,75 m số vô tỉ Vậy ta có điều cần chứng minh Câu (4,0 điểm) Nội dung Điểm Hình vẽ A E G I B C D a) Chỉ hai tam giác ABG cân G ACE cân E Ta có ABG BAD DAC ACE Vì hai tam giác ABG ACE cân có góc đáy nên chúng đồng dạng AB AG AB AE AC AG Vì ABG ∽ ACE nên AC AE *) Chứng minh ID / / GB Vì BG // CE, ABG ∽ ACE , AD phân giác nên ta có: IG BG AB DB IC CE AC DC Theo định lý Ta-lét đảo suy ID // BG A b) Gọi giao điểm đường thẳng PQ AH S Q Chứng minh SHP QCP cgv gnk R Suy HS CQ H C Do tứ giác SHQC hình bình hành P B Suy QH / / CS 0,25 0,25 0,75 0,75 0,5 0,75 S Chứng minh R trực tâm APQ ; P trực tâm SAC Suy QR AP (1) CS AP Mà QH / / CS AP QH (2) Từ (1) (2) suy Q, R, H thẳng hàng Câu (1,5 điểm) 0,75 0,25 Nội dung a Do b 2a;6a 7b nên b Ta có Q 5b 2ab b a 7b 6a b2 a a 5 x x x với x , x b b 2x x2 1 5 x 5 Ta có x 5 x 1 5 (theo BĐT Cauchy) 2 x2 x2 5x2 2 (theo BĐT Cauchy) x x x x 2 5x2 5x2 6 Từ suy Q Dấu ``=`` xảy x 1 a b Vậy MaxQ 6 a b a a 5 7 b b Điểm 0,25 0,5 0,5 0,25 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Đề thức NĂM HỌC: 2019-2020 MƠN:TỐN Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Kết rút gọn biểu thức P x2 y2 A x y B xy 3 x y C , với x < y < y x D xy Câu Cho M M nghiệm phương trình A M 3M 5 C M 3M 4 B M M 4 D M 3M 5 x xy y Câu Cho x y thỏa mãn x 3y 2 xy Giá trị biểu thức E x y2 2 A B C D -14 Câu Biểu thức x x đạt giá trị nhỏ x A B D C Câu Giá trị lớn biểu thức M = 10 x x A 26 B 10 C 25 D Câu Cho x 3 2 3 2 ; y 17 12 17 12 3 Giá trị biểu thức P x y x y 26 A 46 B 56 Câu Kết rút gọn biểu thức I A 10 B 11 10 C 66 1 C 10 D 16 2 100 99 99 100 D 16 10 Câu Số giá trị nguyên x thỏa mãn 2x A 25 C B vô số D 24 Câu Đa thức f(x) chia cho x dư 3; chia cho x dư Khi chia f(x) cho x 3 x có dư A x B x C x D x Câu 10 Số dư phép chia đa thức x 1 x x x 2025 cho đa thức x x 10 A 2000 B 2005 C 2010 D 2020 Câu 11 Cho tam giác MNP vuông M , đường cao MH Biết NH = 5cm; HP = 9cm Độ dài MH B cm A cm C 4,5cm Câu 12 Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn D cm 1 Khẳng AD AB AC định khẳng định sau là: B BAC 60 A ABC C BAC 90 D BAC 120 Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD BE, trực tâm H Hệ thức A tan B.tan C HD AD B tan B.tan C AD HD C tan B.tan C HB BE D tan B.tan C BE BH Câu 14 Cho tam giác ABC vng A có sin B Khi sin C A 0,4 B C 0,8 0,6 D = 600 Trên cạnh BC lấy điểm E cho Câu 15 Cho tam giác ABC, AB = cm; A =1050 ; B BE 2 cm Vẽ ED song song với AB (D thuộc AC) Hệ thức 1 2 AC AD 1 C 2 AC AD A 1 2 AC AD 1 D 2 AC AD B 250 m Câu 16 Một tàu ngầm mặt biển đột ngột lặn xuống theo phương tạo 21° với mặt nước biển góc 210 (tham khảo hình bên) Khi tàu chuyển động xuống theo 30° ? phương lặn thời gian thủy thủ tàu quan sát hải đăng cao 250m nhận thấy: vị trí tàu tạo với đỉnh chân hải đăng góc 300 , tạo với vị trí tàu bắt đầu lặn đỉnh hải đăng góc vng Qng đường mà tàu chuyển động theo phương lặn tới thời điểm quan sát gần A 249 m B 289 m C 324 m D 315 m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực thỏa mãn : 3 3 125 a b c 5a b c 5b c a 5c a b 48 Tính giá trị biểu thức P 5 3a 2b 3b 2c 3c 2a 1995 b) Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 2n n 1 không chia hết cho Chứng minh 5n n khơng số phương Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x 3 x 26 x 45 b) Chứng minh số vô tỉ Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với AB AC , AD đường phân giác Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực AC E Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực AB G; I giao điểm BE CG c) Chứng minh AB AE AC AG ID / / GB d) Dựng đường cao AH ABC ( AH HC ), gọi P trung điểm HC Đường thẳng qua P vng góc với AC cắt đường thẳng qua C vng góc với BC Q; đường thẳng qua P vng góc với QA cắt cạnh AC R Chứng minh Q, R, H thẳng hàng Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b thỏa mãn b 2a; 6a 7b Tìm giá trị lớn biểu thức Q 5b 2ab b a 7b 6a b2 HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm có: 05 trang A Mợt số ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm thống cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm B Đáp án thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án C C D B A C A D D C A D B C D A II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực thỏa mãn : 3 3 125 a b c 5a b c 5b c a 5c a b 48 Tính giá trị biểu thức P 5 3a 2b 3b 2c 3c 2a 1995 b) Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 2n n 1 không chia hết cho Chứng minh 5n n khơng số phương Nợi dung a) Chứng minh đẳng thức : x y z x y z x y y z z x Điểm 0,25 0,25 đặt x 5a b c; y 5b c a; z 5c a b , ta có x y z 5a b c 5b c a 5c a b 5 a b c x y 5a b c 5b c a 6a 4b 2 3a 2b y z 2 3b 2c ; z x 2 3c 2a Giả thiết trở thành: x y z x y z 48 (1) 0,25 Do x y z x3 y z x y y z z x (1) x y y z z x 48 3.2.2.2 3a 2b 3b 2c 3c 2a 48 0,5 3a 2b 3b 2c 3c 2a 2 Từ tính P 2005 0,25 b) Theo giả thiết kiện 2n n 1 không chia hết 2n n 1 3 0,25 Vì (2,3) = nên n n 1 3 n 3k 1, k N 0,5 5n n 5 3k 1 3k 45k 33k 14 chia dư 0,5 Vì số phương chia khơng thể dư nên 5n n số 0,25 phương Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x 3 x 26 x 45 b) Chứng minh số vô tỉ Nội dung a) Đk: x 45 Phương trình x 26 3 x 5 Điểm 26 x 45 x 0 26 x 45 25 x 50 0 x 0 26 x 45 x 26 x 45 x 0,25 0,75 x 0 3 0 * 26 x 45 x Vì vế trái phương trình (*) ln dương nên phương trình (*) vơ nghiệm 0,75 x 5 10 Vậy nghiệm PT x = 0,25 b) Trước tiên, ta chứng minh Thật vậy, giả sử số vô tỉ số hữu tỉ Khi m , m, n N * ; m, n 1 n m2 2n 1 m 2 m2 (vì số nguyên tố) m 2k , k N * (2) Thay m 2k vào (1), ta có : 4k 2n n 2k n 2 n2 (vì số nguyên tố) n 2h, h N * (3) Từ (2) (3) suy m, n có ước 2, điều vơ lí m, n 1 Vậy ta có số vơ tỉ 0,75 Giả sử số hữu tỉ m, m Suy 1 Điều vơ lí m m 0,75 số vơ tỉ Vậy ta có điều cần chứng minh Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC, AD đường phân giác Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực AC E Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực AB G; I giao điểm BE CG a) Chứng minh AB AE AC AG ID / / GB b) Dựng đường cao AH ABC ( AH HC ), gọi P trung điểm HC Đường thẳng qua P vuông góc với AC cắt đường thẳng qua C vng góc với BC Q; đường thẳng qua P vng góc với QA cắt cạnh AC R Chứng minh Q, R, H thẳng hàng Nội dung Hình vẽ 11 Điểm A E G I B C D a) Chỉ hai tam giác ABG cân G ACE cân E 0,25 Ta có ABG BAD DAC ACE 0,25 Vì hai tam giác ABG ACE cân có góc đáy nên suy chúng đồng dạng Vì ABG ∽ ACE nên 0,75 AB AG AB AE AC AG AC AE *) Chứng minh ID / / GB Vì BG // CE, ABG ∽ ACE , AD phân giác nên ta có: 0,75 IG BG AB DB IC CE AC DC Theo định lý Ta-lét đảo suy ID // BG 0,5 b) Gọi giao điểm đường thẳng PQ AH S Chứng minh SHP QCP cgv gnk Suy HS CQ A Do tứ giác SHQC hình bình hành Q R Suy QH / / CS 0,75 H P B C S Chứng minh R trực tâm APQ ; P trực tâm SAC Suy QR AP (1) CS AP 12 0,75 Mà QH / / CS AP QH (2) Từ (1) (2) suy Q, R, H thẳng hàng 0,25 Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b thỏa mãn b 2a;6a 7b Tìm giá trị lớn biểu thức Q 5b 2ab b a 7b 6a b2 Nội dung Do b 2a;6a 7b nên Ta có Q a b Điểm 0,25 5b 2ab b a 7b 6a b2 a a 5 7 b b a a 5 x x x với x , x b b 0,5 2x x2 1 5 x 5 Ta có x 5 x 1 5 (theo BĐT Cauchy) 2 x x x x 2 Từ suy Q x2 x2 5x2 (theo BĐT Cauchy) 2 0,5 5x2 5x2 6 Dấu ``=`` xảy x 1 a b 0,25 Vậy MaxQ 6 a b 13