D03 phương trình lượng giác muc do 1

Câu [DS11.C1.1.E03.a] (HSG cấp trường Diễn Châu 2012-2013) Giải phương trình: 16sin x  10sin x - 5sin x a) cos x sin x cos x - sin x b) Lời giải   cos x  sin x  sin x   cos x  sin x  0 a) PT   cos x  sin x    cos x  sin x  sin x  1 0   cos x  sin x  cos x 0  cos x  sin x 0   cos x 0    x   k   k    x    k    x   k , x   k  k   Phương trình có hai họ nghiệm b) Ta có   cos x   4sin x  cos 2 x  cos x  1 16sin x 16sin x  sin x  16sin x    cos x 4sin x  8sin x cos x  4sin x sin x  5sin x  10sinx  k 2    x   x   k    20    k   3 3 k 2   x   k 2 x   sin x  0   20  PT  k 2 3 k 2 x  ,x    k   20 20 Vậy phương trình có họ nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.a] Giải phương trình cos 2 x  cos x  0 Lời giải   cos x  PT    cos x   L      x   k 2  x   k , k   Câu [DS11.C1.1.E03.a] Giải phương trình sau:  sin x cos x Lời giải  sin x cos x  sin x  cos x  1   sin x  cos x   sin  x    2 6      x k  x    k 2     k    x  2  k    x     k 2   6  Vậy phương trình có họ nghiệm là: x k ; x  2  k ; k   Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình sau: 9sin x  6cos x  3sin x  cos2 x 8 Lời giải 9sin x  cos x  3sin x  cos x 8   cos x  3sin x    cos x  9sin x   0   cos x  6sin x cos x     2sin x  9sin x   0  cos x   sin x    2sin x  9sin x   0  cos x   sin x    sin x  1  2sin x   0    sin x   6cos x  2sin x   0  sin x 1  1   cos x  2sin x 7     1  x   k 2 ; k     vơ nghiệm có a  b 62  22  c  x   k 2 ; k   Vậy phương trình có họ nghiệm là: Câu [DS11.C2.2.E02.b] Hoa có 11 bì thư tem thư khác Hoa cần gửi thư cho người bạn, người thư Hỏi Hoa có cách chọn bì thư tem thư, sau dán tem thư lên bì thư để gửi đi? Lời giải Chọn bì thư từ 11 bì thư: có C11 cách Chọn tem thư từ tem thư: có C7 cách Dán tem thư bì thư vừa chọn: có 4! cách Gửi bì thư dán tem thư cho người bạn: có 4! cách 4 Vậy có tất cả: C11.C7 4!.4! 6652800 cách Câu [DS11.C2.2.E03.b] Một thi trắc nghiệm khách quan gồm câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án trả lời đúng, phương án sai Tính xác suất để học sinh làm thi trả lời câu hỏi? Lời giải Xác suất để học sinh trả lời câu , trả lời sai câu 45  1  3 C          512 Xác suất để học sinh trả lời đúng câu là:     15 C54          1024 Xác suất để học sinh trả lời đúng câu là: 1 C      1024 Xác suất để học sinh trả lời câu là: 45 15 53    Vậy xác suất để học sinh trả lời câu là: 512 1024 1024 512 5 10   3x  Câu [DS11.C2.2.E04.b] Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển Newton biểu thức n C1  C22n 1  C2nn 1 220  biết n số nguyên dương thỏa mãn hệ thức n 1 Lời giải Ta có Do C21n 1  C22n 1  C2nn 1 220   C20n 1  C22n 1  C2nn 1 220 C20n 1  C21n 1  C22n 1  C2nn 1 C2nn11  C2nn31  C2nn31  C22nn11 (1  1) n 1 C20n 1  C21n 1  C22n 1  C2nn 1  C2nn11  C2nn21  C2nn31  C22nn11 Suy  22 n 1 2 220  2 n 1 2 21  n  21  n 10 k T C10k 210 k  3x  C10k 210 k 3k x k Số hạng thứ k  khai triển k 1 10 C10 310 59049 Theo yêu cầu đề suy k 10 Vậy hệ số x khai triển 10 x    x2 lim x Câu [DS11.C3.3.E04.b] Tính giới hạn sau x Lời giải lim Ta có x  x   2   x2  x    x2 lim    x  x x  x      lim  x   x  1     lim  x    x  x 7   x      x 1  x  1    x2        1 17  2  x   x     x  12 12   x 1  Câu [DS11.C3.3.E01.c] Cho tam giác ABC có độ dài cạnh lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác có góc mà số đo không vượt 60 Lời giải Gọi a; b; c độ dài cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Không tổng quát giả sử số a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số nhân b ac a  c  b2 a  c  ac cos B  2ac 2ac Mà theo định lý cosin ta có nên 2ac  ac cos B   2 2ac Mặt khác theo bất đẳng thức cauchy a  c 2ca nên cos B  cos B  Do B góc tam giác  a b c   Hơn từ b ac ta suy  c b a nên 0  B  60  A B C  C B  A   A B 60  Vậy  C B 60 hay ta có điều cần chứng minh Câu [HH11.C1.1.E02.b] Cho tứ diện ABCD Gọi E , F , G trọng tâm tam giác ABC , ACD, ABD a) Chứng minh  EFG  / /  BCD  b) Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD Lời giải a) Gọi M , N , P trung điểm BC , CD, DB AE AF    EF / / MN Theo tính chất trọng tâm ta có AM AN Ta có MN   BCD  nên EF / /  BCD  (1) EG / /  BCD  Chứng minh tương tự ta có (2) EFG  / /  BCD  Từ (1) (2) ta có  EF FG EG    b) Ta có MN NP MP theo định lý Talet  S EFG  S MNP (3) (Do tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình  EFG MNP theo tỉ số phương tỉ số đồng dạng)  S MNP  S DBC (4) Mặt khác MNP DBC theo tỉ số S EFG 1   S EFG  SBDC Từ (3) (4) ta có S DBC ABCD Câu [HH11.C1.1.E02.d] Cho tứ diện M điểm thuộc miền tam giác BCD Kẻ qua M đường thẳng d / / AB ACD  a) Xác định giao điểm B ' đường thẳng d mặt phẳng  ABD  b) Kẻ qua M đường thẳng song song với AC AD cắt mặt phẳng   ABC  theo thứ tự C ', D ' Chứng minh c) Tính giá trị nhỏ biểu thức T MB ' MC ' MD '   1 AB AC AD AB AC AD   MB ' MC ' MD ' Lời giải BCD  BM  CD  E a) Trong mặt phẳng  gọi ABE  MB '/ / AB  B '  AE   d MB ' Trong mặt phẳng  kẻ B ' d   d   ACD   B '  B '  AE   ACD   Ta có BCD  CM  BD  F  , DM  BC  G b) Trong mặt phẳng  gọi ACF  MC '/ / AC  C '  AF  Trong mặt phẳng  kẻ ADG  MD '/ / AD  D '  AG  Trong mặt phẳng  kẻ MB ' ME S MCD MB '/ / AB    (1) AB BE S BCD Ta có MC ' S MBD MD ' S MBC  (2);  (3) AC S AD S  BCD  BCD Tương tự ta có MB ' MC ' MD ' S MCD  S MBD  SMBC    1 AC AD S ABC Từ (1) , (2) (3) Suy AB MB ' MC ' MD ' MB '.MC '.MD ' 27   3   AC AD AB AC AD MB '.MC '.MD ' AB AC AD c) Ta có AB T Ta có AB AC AD   3 MB ' MC ' MD ' AB AC AD 3 MB '.MC '.MD ' 27.AB.AC AD 3 AB AC AD MB ' MC ' MD ' ME MF MD        AC AD BE CF DG Dấu " " xảy AB Câu [DS11.C1.1.E03.a] (Đề thi HSG 11 THPT Nho Quan A -Ninh Binh 2018-2019) trình cos 2 x  cos2 x  0 Lời giải  cos2 x   n   cos 2 x  cos2 x  0    cos2 x   l   Ta có:     x   k 2 x   k    cos2 x  cos     k    x    k 2  x    k   Giải phương