D03 phương trình lượng giác muc do 3

Câu [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình sau: cos x - cos x + 6sin x.cos x = ( sin x + cos x ) - sin x - sin x Lời giải cos x + 6sin x.cos x = ( sin x + cos x ) - sin x - sin x cos x - Û cos x - cos x + 3sin x = + sin x - sin x - sin x Û 2sin x = cos x - sin x Û sin x = cos x - sin x 2 é é p k 2p p ê2 x = - x + k 2p êx = + ê ê 3 Û ê Û ê ,k ẻ Â ổ p p p ữ sin x = sin ỗ - x÷ x = p - + x + k 2p ờx = + k 2p ỗ ữ ỗ ố3 ø ê ê ê 3 ë ë p k 2p 2p x= + ;x = + k 2p ( k ẻ Â ) 3 Vy phng trình cho có nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.c][HSG 12 THẠCH THÀNH - THANH HĨA 2019] Giải phương trình   x   cos 2 x  cos    sin  x   12  3 4  0 cos x  Lời giải  cos x  0  x   k 2 ĐK: 3      cos 2 x  cos  x   sin  x    0   4  PT      cos 2 x   sin  x    sin  x      0 2  2    sin 2 x  cos x  sin x  0  sin x 1    sin x    2sin x   sin x  0  sin x  2  VN   sin x 1  x   k  Với Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x 5  k 2 ( k  ¢ )  4sin x.sin( x  )  sin x  3(cos x  2) 1  cos x Câu [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình Lời giải  x   k 2 Đk:  PT   2.cos(2 x  )  5( sin x  cos x)  0    4.sin ( x  )  10sin( x  )  0 6    sin( x  )  /   x   k 2 (L)       sin( x   )  (VN )  x   k 2  Vậy x   k 2 (k  Z ) 2005   x) tan y  cos x  tan y  cos( Câu [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình Lời giải    x   k   y   m Đk  ( k, m  Z ) tan y 2009  sin y cos(   x) cos(1004   x) sin x  tan y 2 Ta có Nên (2)   sin x  sin y cos x  sin y cos x  sin x 2 (3) * Nếu sin y   ( sin y )   2 nên phương trình vơ nghiệm  sin y 1  y   n , n  Z * Nếu    cos( x  ) 1  x   2n '  , n '  Z 6 ta có pt (3)  sin y   y   n , n  Z * Nếu  5  cos( x  )   x   2n '  , n '  Z 6 ta có pt (3) Phương trình có nghiệm  5    x   2n '   x   2n '     y   n  y    n   4 Câu [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình 2   2sin x tan x  cot x Lời giải cos x 0  sin x 0  tan x  cot x  Điều kiện :  tan x  cot x   1 2sin x  cos x  sin x sin x Ta có : Do phương trình cho tương đương với :  2 2 sin x   sin x    sin x  sin x   0  sin x 1  sin x 1     sin x  sin x    ( Thỏa điều kiện (1) )   5 x   k ; x   k ; x   k  12 12 Giải phương trình ta được: sin x   cos x   cos x.sin Câu 2sin x  [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình k Z x 3 0 Lời giải   x   k   sin x    , k,l     x   l  : Điều kiện: (*) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: x sin x   cos x   cos x.sin  0  sin x  sin x.cos x  cos x   cos x   0 2   TH1:  sin x  cos x 0 sin x  cos x  0    sin x  cos x 2  sin x  cos x 0  cot x   x   k , k   TH2:      sin x  cos x 2   sin x cos  cos x sin  2  sin  x   1 6 6     sin x  cos x  x Đối x Câu   sin x  cos x  3sin x  sin x.cos x  cos x 0     2   k 2  x   k 2 , k   chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có 7 2  k 2 , x   k 2 , k   x∈(0 ;π ) thoả mãn phương trình: cos x cot x−1= +sin2 x− sin x 1+tan x [DS11.C1.1.E03.c] Tìm Lời giải sin x 0 sin x 0    tan x  ĐK: sin x  cos x 0 cos x  sin x cos x.cos x    sin x  sin x cos x sin x cos x  sin x Khi pt cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x  sin x cos x sin x  cos x  sin x sin x(1  sin x)  (cos x  sin x)(sin x cos x  sin x  1) 0  (cos x  sin x)(sin x  cos x  3) 0  cos x  sin x 0  họ nghiệm:   x   k ( k  Z )  tanx = (tm) Câu x   0;    k 0  x  ( tan x−2sin x− [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình  π 2(cos x−sin x ) + = cos x +sin x cos x ) Lời giải   cos2 x 0  x   k ĐK sin x 2(cos x  sinx)  2cos2 x   cos x  sinx cos2 x Với điều kiện PT cho tương đương với cos2 x  3sin x  2cos 2 x  2(cos x  sinx) 1  3sin x  2(1  sin 2 x )  2(1  sin x) 1  2sin 2 x  sin x  0    x   k   sin x       x   k  sin x  12   5 x  k 12  k   5 x   k x   k 12 12 Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn Câu  cos x  cos x  [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình 6  2sin x Lời giải Ta có:  cos x  cos x  6  2sin x  4sin x sin x 6  2sin x  4(1  sin x sin x)  2(1  sin x) 0   sin x(1  sin x)  cos x   2(1  sin x) 0  4(sin x cos x  cos x)  2(1  sin x) 0 sin x  sin 3x     sin x cos 3x 0    x   k 2 (k  Z ) cos x 0 cos x 0   cos x  cos x  Cách 2: Đánh giá vế: Câu 4 6  2sin x cos x  cos x 1    x   k 2 (k  Z ) sin x  Dấu “=” xảy 4 6 [DS11.C1.1.E03.c] Tìm m để phương trình : 4(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)  sin x m có    x  ;   4 nghiệm Lời giải pt  2cos x  cos x 2m  (1)    x  ;     t (-1; 0) +) Đặt t cos x với f t  t  t   1;0  lập bảng biến thiên   +) Xét Khi (1) có nghiệm đường thẳng y 2m  (song song trùng Ox ) cắt đồ thị   m    ;1   1;0  Đáp số    cos x  1   cos x  Câu s inx [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình 1  sin x  cos x Lời giải Điều kiện: sin x 0  x m (m  Z ) 2 Phương trình cho tương đương với  2cos x  3cosx  sinx+2sin x.cos x  2sinx.cos x   cos 2x  3cos x  sin x  cos x(1  cos2x)  sin x(1  cos2x)   cos2x   2(cosx  sinx)  cos2x(cos x  sinx) 0  cos 2x  0    cos 2x    cos x  sinx  1 0  cos x  sinx  0  x k2    cos  x     (k  Z)  x    k2    Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình x  Câu [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình:   cot x    tan Lời giải sin x 0   sin x 0  x n  n  Z  2x cos   Điều kiện:  Phương trình cho tương đương với:  sin x  cos x  2  sin x cos 2   sin x  cos x   x  sin x   sin x sin x 2sin x sin x   x cos 2    sin x  cos x   2sin x sin x sin x      2sin x cos x   cos x 2 sin x  4sin x  3  sin x   2sin x  1 cos x  sin x  2sin x  1   2sin x  1  2sin x  0   cos x  sin x   1  2    k 2 ( k   )   4 x 4  sin x    x   k 2  ,  k  Z 5  x   k 2  1  sin x   Ta có: (thỏa mãn điều kiện) Ta có: Câu  2     cos x  sin x 1  cos  x   1  x   k 2  k  Z 2 3   5  x   k 2 , x   k 2 , x   k 2 6 Kiểm tra điều kiện ta có họ nghiệm [DS11.C1.1.E03.c] (HSG Tốn 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Giải phương trình x  sin x   tan x.tan   tan x   2 cos x  Lời giải x 0 Điều kiện xác định: (2) Phương trình cho tương đương x x   cos x.cos  sin x.sin  sin x    tan x    tan x x   cos x.cos   cos x.cos  sin x  tan x    tan x cosx  tan x  tan x  0  tan x  tan x   tan x   x   k    x   k  So sánh với điều kiện (2) tan x  Câu   x   k  x   k , k  ¢ Vậy nghiệm phương trình , [DS11.C1.1.E03.c] (HSG Trường Nguyễn Quán Nho Thanh Hóa năm 19-20) Giải phương x cos x cos x  cos x  cos x  tan tan x  0 trình: Lời giải x  cos x  cos 0    cos x 0  cos x 0 +) Với điều kiện phương trình cho tương đương với x sin sin x cos 3x cos x  cos x  cos x   0 x cos cos x x x sin sin x  cos cos x 2   cos x  cos x   cos x  cos x   0 x cos cos x  cos x  cos x   0  cos x cos x  cos x  cos x  0 cos x  cos x cos x  cos x   cos x  1 0  cos x cos x  cos x   cos x  1 0    x   k cos x          cos x  1  cos x  1 0  cos x 1  x k 2 Câu    x   k  k    x k 2 +) So sánh với điều kiện ta nghiệm phương trình là:  [DS11.C1.1.E03.c] (Giao lưu HSG cấp tỉnh trường Nguyễn Ba Phước 19-20) Giải phương trình: x sin x   cos x   cos x.sin  0 2sin x  Lời giải   x   k 2   sin x    ,k   x  5  k 2  +) Điều kiện: (*) +) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: x  0  sin x  sin x cos x  cos x(1  cos x)  0 sin x (1  cos x)  cos x sin    2( sin x  cos x )  3sin x  sin x cos x  cos x 0  sin x  cos x 0  ( sin x  cos x)( sin x  cos x  2) 0    sin x  cos x 2 +) TH1:  sin x  cos x 0  cot x   x   k , k   +) TH2:      sin x  cos x 2   sin x cos  cos x sin  2  sin  x   1 6 6    x   2   k 2  x   k 2 , k   +) Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có nghiệm x Câu 7 2  k 2 , x   k 2 , k   [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình: 2018(cot x  cos x)  4035(tan x  sin x) 2017 Lời giải sin x 0  *  cos x   Điều kiện: Pt  2018(cot x  cos x)  4035(tan x  sin x) 2017  2018(cot x  cos x)  2018(tan x  sin x) 2017  2017(tan x  sin x) cos x  sin x  sin x cos x  cos x sin x   2018    cos x  sin x  2017  cos x  sin x cos x  cos x  sin x  sin x cos x  cos x  sin x   2018  cos x  sin x    1 2017  cos x  sin x cos x  cos x  sin x 2017      cos x  sin x   sin x cos x   2018    0 sin x cos x cos x     cos x  sin x   sin x cos x 0 (1)   2018cos x  4035sin x  (2) t  Giải (1): Đăt t = cos x  sin x , điều kiện: t 1    1  t2     sin  x    sin  t 0 t 1   l      (1) trở thành:  3 x     k 2  x     k 2  4 , thỏa mãn điều kiện (*) 2018 2018 tan x   x arctan 4035 4035 Giải (2): 2018cos x  4035sin x 0  Câu [DS11.C1.1.E03.c] (HSG 2018 - 2019 - THPT Đan Phượng - Hà Nội) Giải phương trình sau   2 4 4sin x.sin(  x).sin(  x)  cos x.cos( x  ).cos( x  ) 2 3 3 Lời giải   2 4 4sin x.sin(  x).sin(  x)  cos x.cos( x  ).cos( x  ) 2 3 3 Ta có: 1   2sin x cos x  sin x  cos x   cos x   2 2    sin x  sin x   sin x   cos3 x  cos x   cos x 2    cos  3x   1 6   k 2  x  ,k  18  k 2 x  ,k  18 Vậy phương trình có nghiệm là: Câu [DS11.C1.1.E03.c] (HSG 11-Quỳnh Lưu 3-19-20) Giải phương trình:  x x   2 c o s  s i n  c o s x       Lời giải         s in  x    s in  x     c o s x         s in x  c o s x  s in x  c o s x    s in x ( c o s x  1)  c o s x  c o s x    (2 c o sx1 )(sinx c o sx2 )  c o sx    c o sx 2V N sinx   x  k2 ,k Z 3 sin x   cos x   cos x.sin 2sin x  Câu [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình x 3 0 Lời giải    x   k 2  k ¢    x   k 2  Điều kiện x  sin x   cos x   cos x.sin  0 Pt sin x    cos x  0  sin x  cos x  sin x  cos x  0  sin x   cos x   cos x     1   sin x  cos x    sin x  cos x   0 2          cos  x    2sin  x    0 3 6         2sin  x    2sin  x   0 6 6      sin  x       sin  x      0 6    1 6    x   k   x  2  k 2  7 2  k 2 x   k 2 Đối chiếu với điều kiện ta Câu [DS11.C1.1.E03.c] (Đề Ôn thi HSG Tốn 11 – Thanh Hóa năm 1819) Giải phương trình: tan x  tan x    sin  x   tan x  4  x Lời giải  cos x 0  x   k Điều kiện: (*) Câu 2 Phương trình cho tương đương với: cos x(tan x  tan x) sin x  cos x  2sin x  2sin x.cos x sin x  cos x  2sin x(sin x  cos x) sin x  cos x  (sin x  cos x)(2sin x  1) 0  sin x  cos x 0  tan x   x   k  + Với  5 2sin x  0  sin x   x   k 2 ; x   k 2 6 + Với Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là:   5 x   k ; x   k 2 ; x   k 2 (k  ) 6 [DS11.C1.1.E03.c] (HSG Tốn 12 - Bình Phước năm 1819) Giải phương trình  x  2   x  2  4cos   cos    sin x  cos x  cos x    cot x  6     Lời giải sin x  Điều kiện:  cos x   sin x cos x  cos x  sin x Pt cho  cos x    cos x  1  cos x  1 sin x   cos x  1 sin x  cos x  0      cos x  0   sin x  cos x   cos x  0  x   k 2 , k   + Với + Với Câu 2  x   k 2     sin x  cos x   sin  x   sin  , k    3   x   k 2  2 x   k 2 ; x   k 2 , k   3 So sánh điều kiện ta có họ nghiệm:       2.sin  x    6.sin  x   1 4 4   [DS11.C1.1.E03.c] Giải phương trình: Lời giải     2.sin  x    6.sin  x   1  sin x  cos x   sin x  cos x   0 4 4   Ta có:   sin x  cos x    sin x  cos x     sin x  cos x  0   sin x  cos x  2sin x    x   k     sin  x   0   sin x  cos x   4       x   k 2    2sin x  0   sin x    x  2  k 2   0