D03 phương trình lượng giác muc do 2

Câu [DS11.C1.1.E03.b] [HSG Đồng Nai 2018 - 2019] Giải phương trình   sin x  tan x 1 Lời giải  k cos x 0  x   ( k   ) Khi Điều kiện: Cách 1:   sin x  tan x 1    sin x  sin x cos x  sin x  cos x  cos x.sin 2x 0  tan x   tan x    tan 2 x 0  tan x  tan 2 x  tan x  0   tan x   2 cos x cos x   tan x        x   k  x   k    3    tan x   x   k   x  k   16      tan x   x  k  x   k  16  k      tan x      x   k   x  3  k   16  x  k 16  k   Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình  Cách 2:   sin x  tan 2x 1    sin x  sin x cos x  sin x  cos x  cos x  cos 6x 0   m   x  x   x  m     16  sin x  cos x 0  sin x sin   x     2   x    m  x   x  m    m x  16 nghiệm phương trình cho Ta thấy  m  k      4m 4  k 16 4 ( với k , m   )  m  nghiệm phương trình cho Ta thấy  m  k        m 2  k ( với k , m   ) x    m  x 16    x    m  với m   Vậy phương trình có nghiệm  Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Toán sin x  cos x  2sin x cos x   cos x  tan x 12 - Quảng Ngãi 1819) Giải phương trình Lời giải  cos x 1  cos x 0  tan x 0 Điều kiện   sin x  cos x 0   2sin x  0 Với điều kiện phương trình tương đương    1  x   k , k   Giải  1  2   x   k 2  ,k   2    x  2  k 2  Giải Câu    x   k ,k    x  2  k 2  Kết hợp điều kiện, suy họ nghiệm phương trình      2.sin  x    6.sin  x   1 4 4   [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình: Lời giải ỉ ỉ pư pư ç 2.sin ç 2x + ÷ + 6.sin x- ÷ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ=1 sin x + cos x + 3.( sin x - cos x ) - = ỗ ỗ 4ứ ố ø è Ta có Û ( sin x - cos x ) +( sin x - cos x) - ( sin x - cos x ) = Û ( sin x - cos x ) 2sin x - = ( ) é p êx = + k p é ỉ pư ữ ỗ ờsin x - ữ= ờ ữ ộsin x - cos x = ỗ ỗ è ø p ê ê Û ê Û êx = + k 2p ê2sin x - = Û ê ê ë êsin x = ê ê êx = 2p + k 2p ë ê ë Vậy phương trình có họ nghiệm là: Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Toán x= 12 p p 2p + k p, x = + k 2p, x = + k 2p 3 , với k Î ¢ – Bến     sin  x    sin  x   1 4 4   Lời giải     sin  x    sin  x   1 4 4    sin x  cos 2x    s in x  cos x  0  2sin x cos x  2sin x   s in x  cos x  0  2sin x  cos x  sin x    sin x  cos x  0    cos x  sin x  2sin x   0 Tre năm 1819) Giải phương trình Câu   x   k     sin  x   0    cos x  sin x 0 4       x   k 2  k      2sin x  0   sin x    x  2  k 2    2 x   k ; x   k 2 ; x   k  k   3 Vậy phương trình có họ nghiệm [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Toán 12 – Bến Tre năm 1819) Giải phương trình     sin  x    sin  x   1 4 4   Lời giải     sin  x    sin  x   1 4 4    sin x  cos 2x    s in x  cos x  0  2sin x cos x  2sin x   s in x  cos x  0  2sin x  cos x  sin x    sin x  cos x  0    cos x  sin x  2sin x  Câu  0   x   k     sin  x   0   cos x  sin x   4       x   k 2  k      2sin x  0   sin x    x  2  k 2    2 x   k ; x   k 2 ; x   k  k   3 Vậy phương trình có họ nghiệm [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Toán 12 – Cần Thơ năm 1819) cos x  cos x  cos x  6sin x.cos x  sin x  cos x   sin x  sin x Lời giải cos x  6sin x.cos x  sin x  cos x   sin x  sin x  cos x  cos x  6sin x.cos x 1  2sin x.cos x  sin x  sin x  cos x  sin x 4sin x cos x    x   x  k 2     x     x  k 2  sin   x  sin x   cos x  sin x 2sin x 3   2   x 9 k   k    x  2  k 2   2 2 x  k ; x   k 2 ,  k   3 Vậy phương trình có nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x   sin 503 x  cos503 x  1 Lời giải sin 2012 x  cos 2012 x   sin 503 x  cos503 x  1 (1) Đặt t 503x pt (1) trở thành: sin 4t  cos 4t   sin t  cos t  1  sin 4t    cos 4t    sin t  cos t  0  2sin 2t.cos2t  cos 2t   sin t  cost  0  cos 2t  sin 2t  cos 2t    sin t  cos t  0   cos2 t  sin t   sin 2t  cos 2t    sin t  cos t  0   cos t  sin t    sin 2t  cos 2t   sin t  cos t    0  cos t  sin t 0(2)    sin 2t  cos 2t   sin t  cos t   0(3) 2 +) Giải (2): cos t  sin t 0  tan t 1 (vì sin t  cos t 1 )      t   k  503x   k  x  k ,k  Z 4 2012 503      cos  2t   cos  t    0  sin 2t  cos 2t   sin t  cos t   0 4 4   +) Giải (3):    cos 3t  cos  t    0  cos 3t  sin t  0 2  cos 3t   cos 3t  sin t  0  Ta có:   sin t   cos3 t  3cos t  cos 3t      sin t  cos t 0 Do cos3t  sin t  0 (vô nghiệm)   x k ,k  2012 503 Vậy: Câu Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình tan x  cot x tan x  sin x Lời giải Điều kiện x k / pt  tan x  cot x tan x  tan x  cot x  x   k  tan x  tan x 0  tanx = tanx = Đáp số [DS11.C1.1.E03.b] (HSG 11 trường THPT Sông Lô – Vĩnh Phúc 2012-2013) tan x cos x  cos x    sin x  cos x   2sin x Giải phương trình Lời giải    x   k 2  cos x 0       x   k 2  k    sin x   5   x   k 2  Điều kiện sin x  4cos x  3  4cos x  Khi pt cho tương đương với :  sin x  1   4sin x    3cos x  2sin x  1  2sin x  2sin x  3cos x  2sin x  1   sin x  1   2sin x   3cos x  2sin x 1  5  x   k 2   1   x     k 2 ;  sin x       cos  x     x   k 2    6     x  k 2   5   x   k 2   k    x     k 2  Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm:  Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình:   cos x     cos x    sin x   tan x.sin x    sin x   tan x Lời giải sin x 1    x   k  k   cos x  Điều kiện:   1    cos x  4(1  sin x)  sin x sin x   sin x     sin x  sin x    cos x    sin x   2sin x   sin x    sin x   2sin x    cos x    sin x    sin x  cos x  2sin x   sin x     sin x    2sin x  0    sin x  cos x 0   x   k 2   sin x     cos x 0  x   k    k     x   k  k   Đối chiếu với điều kiện, phương trình cho có nghiệm là: Câu 1.[DS11.C1.1.E03.b] (HSG CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG LẦN NĂM 2019-2020)  4 Giải phương trình cos x sin x Lời giải cos x 0,sin x 0  x  k Điều kiện: PT sin x  cos x 4sin x.cos x   2 k 2  sin x sin( x  )  x   k 2 ; x   , k   3 Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG 12 ĐỒNG NAI 2018-2019) Giải phương trình   2sin x  tan x 1 Lời giải  k cos x 0  x   ( k   ) Khi Điều kiện: Cách 1:   2sin x  tan x 1    2sin x  sin x cos x  sin x  cos x  cos x.sin 2 x 0  tan x    tan x  tan 2 x  tan x  0   tan x   tan x  tan x      tan 2 x 0  cos x cos 2 x      x   k  x   k    3    tan x   x   k   x  k   16      tan x    x  k   x    k  tan x     16  k       x   k   x  3  k   16   x  k  16  k   Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình    2sin x  tan x 1    2sin x  sin x cos x Cách 2:    sin x sin   x  2   sin x  cos x  cos x  cos x 0  sin x  cos x 0  m     x 16   x   x  2m    x    m  x   x  2m    m    m x  16 nghiệm phương trình cho Ta thấy  m  k      4m 4  8k 16 4 ( với k , m   )  m  nghiệm phương trình cho Ta thấy  m  k        4m   4k ( với k , m   ) x  Câu  m   x 16    x    m  với m   Vậy phương trình có nghiệm  [DS11.C1.1.E03.b] (HSG cấp tỉnh Hà Nam 2013-2014) Tính tổng nghiệm phương trình sau  0;1007  8sin x.cos x  sin x  cos x 0 7  3    sin  x    cos  x       Lời giải  3      sin  x    cos  x   0  x   k ; k       Điều kiện xác định: Pt  4sin x.sin x  sin x  cos x 0   cos x  cos x   sin x  cos x 0    cos 3x  cos x  sin x  cos x cos  x   2 3       x  x   m 2  x   m   ;m  x   x     m 2  x    m      3 12  x     m ;m 12 Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm phương trình cho   x   0;1007     m 1007  m 2014 ; m   12 Vì 0;1007  Suy nghiệm phương trình cho đoạn  gồm 2014 nghiệm lập thành  5 d  , x1  12 cấp số cộng có cơng sai 2014  5   3043154 S   2014  1    2  12 2 Tổng nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG cấp trường Yên Định 2017-2018) Giải phương trình: sin x.sin x  cos3 x.cos x      tan  x   tan  x   6 3   Lời giải Điều kiện      sin  x   cos  x   0           sin  x   0  x   m  m    *  3  sin  x    cos  x    0       3 3          tan  x   tan  x    cot  x   tan  x    6  3 3 3    Ta có Suy 1  sin x sin x  cos3 x cos3 x   sin x  sin x sin x   cos x  cos x cos3 x   8 (1)  sin x  cos x  cos x   cos x  cos x  cos x     sin x  cos x  cos x   cos x  sin x  cos x  1  cos x  cos x cos x   cos x   cos x    cos x  4   cos x   x   k   k    x   k   k   Kết hợp điều kiện (*) ta Câu      ;  [DS11.C1.1.E03.b] Tính tổng nghiệm phương trình sin x  6 cos x đoạn   Lời giải  sin x   sin x  6 cos x  6sin x  sin x  0    sin x 1  1     sin x   x    ;     x  2   1 1    sin x   x    ;     x arc sin , x   arc sin 3 3      5  ;  Tổng nghiệm phương trình sin x  6 cos x đoạn   Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình 3cos x  4 cos x   1   cos 3x  Ta có   3x    3x   sin x  1    sin x  sin  x   sin 6      k 2 6 ,k Z  5   k 2 6 k x   k  Z Vậy Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình: 2sin x   cos x   sin x 1  cos x Lời giải 2sin x   cos x   sin x 1  cos x   cos x 1  sin x  1 0 Ta có: 2   x   k 2   x   k   Câu Câu 2  x   k 2 , x   k , k   Vậy nghiệm phương trình [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình sau: co s x  cos x  sin x 3 Lời giải Phương trình tương đương với  cos x 1 (1  cos x)  cos x  (1  cos x) 3    cos x  15  cos x 1  x k , k    2.sin x cos x  sin( x  ) 4 cos3 x  sin x [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình: Câu Lời giải  2.sin x cos x  sin( x  ) 4 cos x  2sin x  2sin x(cos x  1)  4cos3 x  (sin x  cos x) 0    x   k   sin x  cos x 0      x   k   cos x     x    k  tan x cos x    tan x [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình: Lời giải  x   k Tập xác định: *PT tương tương: sin x  2sin x 0  sin x 0   sin x 2 k  x kết hợp điều kiện nghiệm: x k Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình 2.sin x cos x   ) 4 cos x  2sin x sin( x  Lời giải PT  2sin x(cos x  1)  cos x  (sin x  cos x) 0  sin x  cos x 0    cos x   Câu   x   k    x   k  x    k  3 [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình: sin x  cos x sin x  cos x 2(cos x  sin x) Lời giải (1  2sin x) s inx+cosxsin2x+ 3cos2 x 2cos x   sin 3x  3cos3x 2cos x  cos(3x- ) cos x   x 3 x   k 2 x  x   k 2  6 Vậy x    2  k 2 x  k 42 Câu sin x  cos x   cos x 2 [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình lượng giác:  Lời giải  sin x  cos x   cos x 2   sin x  cos x 1  sin(2 x  )        x    k 2  x  12  k  kZ    x    5  k 2  x   k    Câu kZ 4 [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình lượng giác: 4(cos x  sin x) 1  sin x Lời giải 4 4(cos x  sin x) 1  sin x  4(1  2sin x.cos x) 1  sin x  4(1  sin 2 x) 1  sin x   2sin 2 x  sin x  0  sin x 1   sin x    sin x 1   x   k Câu  k  Z [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình sau cos x  cos x  sin x  cos x  sin x 0 Lời giải cos x  cos x  sin x  cos x  sin x 0  (cos x  cos x)  sin x  (cos x  2sin x.cos x) 0  2sin x.sin x  sin x  cos 3x(1  2sin x) 0 Câu  k 2   x 18    x  5  k 2  18   k  x      x   k  (1  2sin x)(cos x  sin x) 0  [DS11.C1.1.E03.b] (HSG 11 trường THPT Sông Lô – Vĩnh Phúc 2012-2013) tan x cos x  cos x    sin x  cos x   2sin x Giải phương trình Lời giải   5 x   k 2 ; x   k 2 ; x   k 2 ; k   cos x 0;sin x  hay 6 Điều kiện sin x  4cos x  3  4cos x   2sin x Khi pt cho tương đương với :  sin x  1   4sin x    3cos x  2sin x  1  2sin x   sin x  1   2sin x   3cos x  2sin x  1  3cos x  2sin x  1  5   x   k 2  1   x     k 2 ;  sin x      cos  x      x   k 2    6     x  k 2   5   x   k 2 k     x  k 2  Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm:  Câu [DS11.C1.1.E03.b] Cho phương trình phương trình với m = ( 2sin x - 1) ( 2cos2x + 2sin x + m) = 1Lời giải Với m = 1ta phương trình: ( 2sin x - 1) ( 2cos2x + 2sin x + 1) = 1- 2cos2x Û ( 2sin x - 1) cos2x = é êx = p + k2p ê sin x = Û ê êx = 5p + k2p ê ë + + Câu Câu cos2x = Û x = p kp + 4 [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình sau: cos x + 2cos2x - 2sin x = , Lời giải Phương trình tương đương với (1 + cos2x)2 + 2cos2x - (1- cos2x) = Û cos22x + 14cos2x - 15 = écos2x = Û ê êcos2x = - 15 Û cos2x = ê ë Û x = kp, k ẻ Â Cõu [DS11.C1.1.E03.b] Gii phng trỡnh 2cos2 3x 4x + = 3cos (1) 5 Lời giải Câu (1) Û + cos Đặt t= 6x 4x + = 3cos 5 2x phương trình trở thành + cos3t = 3cos2t Û + (4cos3 t - 3cost) = 3(2cos2 t - 1) Û (cost - 1)(4cos2 t - 2cost - 5) + cost = Þ t = 2x = k2p x = k5p (k ẻ Â) 2cos2x Giải + Câu 4cos2 t - 2cost - = Û cost = [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình 1- 21 1- 21 Þ x = arccos + k5p (k ẻ Â) + sin x = 3( + cosx) sin x Lời giải Điều kiện sin x ¹ Û x ¹ kp Đặt t = tan x , phương trình trở thành ỉ 1- t ữ ữ 3ỗ + ỗ 2ữ ỗ ỗ 2t è 1+ t ÷ ø 2+ = 2t 1+ t 2 1+ t2 Û 2t - t2 + 2t - = Û ( t - 1) ( 2t + t + 3) = Û t = Khi tan x p = Û x = + k2p 2 Vậy phương trình có nghiệm Câu x= p + k2p [DS11.C1.1.E03.b] Cho phương trình với m= 4cos3 x + ( 2m - 5) cosx - = cos2x Giải phương trình Lời giải , ta có phương trình ( 1) trở thành Với é ê êcosx = ê Û êcosx = Û ê ê êcosx = ê ë 4cos x - 2cos x - 2cosx = m= Câu [DS11.C1.1.E03.b] Cho phương trình é êx = p + kp ê ê êx = k2p ( k ẻ Â) ờ 2p + k2p ờx = ± ê ë ( 2sin x - 1) ( 2cos2x + 2sin x + m) = 1- é0;pù ê û ú Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ë Lời giải Phương trình cho tương đương với: é ù êx = p Ỵ é ê ë0; pú û ê sin x = Û ê p êx = ù Ỵ é ê ê ë0; pú û ë + Với ( 2sinx - 1) ( 2cos2x + m - 1) = é0;pù ë ú ûthì phương trình: Để phương trình cho có nghiệm thuộc ê cos2x = 1- m p 5p x = ;x = vô nghiệm có hai nghiệm 6 2cos2x Từ ta Câu m < - Úm > Ú m = f ( x) = [DS11.C1.1.E03.b] Tìm tập xác định hàm số Lời giải ìï 1- sin x ¹ ï Û í ïï sin x ¹ f ( x) Hàm số xác định v ch ợ ỡù ùù x p + k2p ùù x k2p ùùợ 2014 + 2015cot x 1- sin x ìï sin x ¹ ï í ïï sin x ¹ ỵ ìï ï x ¹ p + k2p ïí ( k ẻ Â) ùù x k2p ùợù ùỡ p ïü S = ¡ \ ïí + k2p, kp k ẻ Âùý ùù ùù ợ ỵ Vy xỏc định hàm số cho là: Câu ìï ï x ¹ p + k2p ïí Û ïï x ¹ k2p ïỵï sin x ; sin2 2x ; 1- sin7x [DS11.C1.1.E03.b] Tìm x để theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải sin x ; sin 2x ; 1- sin7x lập thành cấp số cộng khi: Û sin x + 1- sin7x = 1- cos4x Û 2cos4x sin3x = cos4x é êx = p + k p ê ê p 2p Û ê +k êx = ê 18 ê p p êx = +k sin3x = ê 18 kẻ Â cos4x=0 hoc , Câu 11 – Cụm Hoàn Kiếm Hai Bà Trưng năm sin x   sin x  2cos x  2 sin x + 1- sin7x = 2sin2 2x [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Tốn 1617) Giải phương trình sau: Lời giải Điều kiện: x   sin x   sin x  2cos x  2 Ta có:  2sin x cos x  sin x  2 cos x  0  sin x cos x   2 cos x  0   Câu  sin x       cos x  0  sin x   3   cos x   x   k 2  k    cos x  0 3 x   k 2  k   Vậy phương trình có nghiệm [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Tốn 11 – Cụm Hồn Kiếm Hai Bà Trưng năm 1617) Giải phương  2cos x  3sin x  0 tan x  trình sau: Lời giải    x   k cos x 0    x    k   k    Điều kiện:  tan x 1 Với điều kiện trên, phương trình tương đương    x   k 2  loaïi      x   k 2   sin x 1     x  5  k 2  sin x    2cos x  3sin x  0  2sin x  3sin x  0   5 x   k 2 x   k 2  k   6 Vậy phương trình có nghiệm ; Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình : cos x   sin x  cos x  1 Lời giải cos x   sin x  cos x  1  cos x  sin x 2 cos x   2x      2x   cos  x   cos x    Câu     x  k 2 x   k 2  3    x   k 2  x  k 2  [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình  k   sin x  cos x  sin x cos x   cos x  tan x Lời giải  cos x   cos x 0  tan x 0  Điều kiện:  Khi sin x  cos x  2sin x cos x   cos x  tan x  sin x  cos x  2sin x sin x  2sin x cos x  sin x  cos x  3sin x  2sin x cos x 0  sin x 2sin x     2sin x      cos x 2sin x   0  sin x  cos x 0  sin x  cos x 0  1   2sin x  0  2 +)  1     sin x  cos x 0  sin  x   0  x   k , k  Z 2 6    x   k 2  3 ,k     sin x     x  2  k 2  +) Câu    x   k ,k    x  2  k 2  Kết hợp điều kiện ta suy nghiệm phương trình  [DS11.C1.1.E03.b] (YÊN LẠC VĨNH PHÚC 2019) Giải cos x    2cos x   sin x  cos x  0 phương Lời giải Ta có: cos x    2cos x   sin x  cos x  0  cos x  sin x    cos x   sin x  cos x  0   cos x  sin x   cos x  sin x     cos x   cos x  sin x  0   cos x  sin x   cos x  sin x   cos x  0   cos x  sin x   sin x  cos x  1 0  cos x  sin x 0   sin x  cos x  0    cos x  sin x 0  sin x  cos x 0  sin  x   0  x   k  k   4   sin x  cos x  0    x    sin  x   1   4  x       k 2  x   k 2 4    k     3   k 2  x   k 2 4   x   k x   k 2 x   k 2  k   Vậy phương trình có nghiệm : ; ; Câu   cos   x   cos x 4 cos x  4  [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình Lời giải Ta có:     cos   x   cos x 4 cos x    cos   x   cos x 2   cos x   4  2     cos  x   cos x 6  sin x  cos x 2cos x    k   x   x  k 2 x    36    k    x   2 x  k 2  x    k   12 trình: Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Tốn 12 - Hịa Bình năm 1718) Tính tổng nghiệm phương trình:   cos x  sin x cos x cos x  sin x  x     ;  Lời giải      cos  x   cos   x  3 sin x  3  Phương trình cho  cos x  sin x cos x   x Vì k 2 ,k   x     ;  nên x1 0 ,x2  Vậy tổng nghiệm 2 2 ,x3  3 thỏa mãn x     ;  phương trình cho S 0 Câu   cos  x   2  [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình sau:    4 cos  x   4  3   sin   x   Lời giải Điều kiện Với điều kiện phương trình cho tương đương với:    x   k  tan x    cos x  sin x 0 1    2  cos x  sin x       x   k  k    sin x cos x  2 sin x cos x 1  sin x     x  3  k  Đối chiếu với ĐK ta phương trình có họ nghiệm là:   3 x   k ; x   k ; x   k  k   8 Câu Câu ỉ ỉ p p ÷ ÷ sin x + sin5x = 2cos2 ỗ - 2cos2 ỗ ỗ - xữ ỗ + 2xữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ4 ố4 ứ è ø [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình: Lời giải é ù ổ ổ p p ữ ữ ỗ ú= + sin2x - + sin4x ÷ ÷ sin x + sin5x = + cosỗ x + cos + x ỗ ỗ ữ ữ ữ ữỳ ỗ ỗ ố2 ứ ố ø ê ú ë û PT é kp ésin3x = êx = kp Û 2sin3x cos2x = 2sin3x cosx ,k ẻ Â x = ,k ẻ ¢ êcos2x = cosx Û ê ê ê x = k p ë ê ë     sin x  sin x 2 cos   x   cos   x  4  4  [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình Lời giải      sin x  sin x 1  cos   x    cos   x  2  2  PT  2sin x.cos x sin x  sin x  2sin x.cos x 2sin x.cos x    x k     x k , k  Z   sin x    x k 2    cos x cos x Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG TỐN 11-VĨNH PHÚC-18-19) Giải phương trình   cos x  sin   x   0 2  Lời giải   cos x  sin   x   0 2   cos x  cos x  0  cos x  cos x  0  cos x    cos x    x   k 2 ,  k   Tập nghiệm phương trình T    k 2, k   Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Toán 11 - TX Quảng Trị năm 2019) Giải sin x.cos x  sin x 0 phương trình: Lời giải Cách 1: Ta có: sin 3x 3sin x  4sin x sin x   4sin x  sin x   cos x  sin x.cos x  sin x 0   sin x   cos x   cos x  sin x 0   Vậy ta có:  sin x    cos x  cos x 1 0  sin x  cos x  cos 2 x  cos x  1 0    x k  sin x 0 k  sin x  cos x  1  cos x  1 0     x   cos x -1  x   k  k x với k   Vậy nghiệm phương trình là: 2 Cách 2: 2 Ta có: sin x cos x  sin x 0   cos x  cos x cos x  0  cos x  cos x cos x   cos x 0 2  cos x cos x  0  cos8 x  cos x  0  cos x  cos x  0   cos x  1  cos x  3 0  cos x  0  ,k  [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Tốn 11 – Cụm Hà Đơng năm 1819) Giải phương trình sin 3x  cos x 2sin x  cos x 1  x k 2  x k Câu  cos x   x    Lời giải sin x  cos 3x 2sin x  sin x  cos x sin x 2 Ta có :     x  2 x  k 2 x   k 2     3  sin  x   sin x     k   3   x     x  k 2  x  2  k 2   15   2 k 2  S    k 2 ;  k   15   Vậy phương trình cho có tập nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Tốn 11 – Cụm Hà Đơng năm 1819) Giải phương trình sin x  sin x  sin 3x Lời giải sin x 0  sin x 0  3sin x  4sin x 0  sin x  cos x  1 0   cos x 2 Điều kiện xác định: Khi đó, phương trình cho tương đương với sin x  sin x  sin x 0  2sin x.cos x  sin x 0  sin x  2cos x 1 0   sin x 0  l     cos x 0  t/m   1  cos x   l   x   k  2 Câu  k    x   k  k   Vậy phương trình cho có nghiệm [DS11.C1.1.E03.b] (HSG trường Thạch Thành-Thanh Hóa-18-19) Giải phương trình   x   cos 2 x  cos    sin  x   12  3 4  0 cos x  Lời giải  cos x  0  x   k 2 +) ĐK:       cos 2 x  cos  x   sin  x    0   4  +) PT 1     cos 2 x   sin  x    sin  x      0 2  2    sin x  cos x  sin x  0  sin x 1  2   sin x    2sin x   sin x  0  sin x   VN   sin x 1  x   k Với 5 x   k 2 (k  ) +) Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG12-Vĩnh Phúc năm học 17-18) Giải phương trình: sin 3x  cos x 1 Lời giải Câu    x   k 2   k    3 k 2    sin 3x sin  x   x   10     sin x  cos x sin x  cos x  Ta có: 2sin x  sin x  cos x 0 tan x  [DS11.C1.1.E03.b] (SỞ GD-ĐT HẢI PHỊNG) Giải phương trình Lời giải    x   k   tan x  0  x    k   Điều kiện: cos x 0 , k   Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với: 2sin x  sin x  cos x 0  sin x  2sin x  1  cos x 0   sin x cos x  cos x 0   sin x  1 cos x 0    x   k 2   sin x 1  x   k     cos x 0 Câu Kết hợp với điều kiện xác định phương trình phương trình cho có nghiệm k   1  cot x  [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình sin x sin x Lời giải Điều kiện: sin x 0  x k  * Pt  1    cot x   (cot x  cot x) cot x  3  x   k  t / m    cot x      x arc cot  k  t / m   cot x 2  cot x  cot x  0 KL:  3  Tx   k ;arc cot  k  4  tan x  tan x    sin  x   2 4  Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình: tan x  Lời giải  cos x 0  x   k Điều kiện: (*) 2 Phương trình cho tương đương với: cos x(tan x  tan x) sin x  cos x  sin x  sin x.cos x sin x  cos x  sin x(sin x  cos x) sin x  cos x  (sin x  cos x)(2 sin x  1) 0 x 3  k , + Với sin x  cos x 0  tan x   x    k  5 sin x  0  sin x   x   k 2 ; x   k 2 6 + Với Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là:   5 x   k ; x   k 2 ; x   k 2 ( k  ) 6 Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Lớp 11 THPT Đặng Thúc Hứa 2017-2018) Giải phương trình sau cos x  sin x   cos x  sin x  Lời giải Phương trình cho tương đương: cos  sin x  sin x  sin x   cos x  sin x   cos x  sin x  2cos x sin x   cos x  sin x    cos x  sin x    2sin x(cos x  sin x)    cos x  sin x   cos x  sin x 0   cos x  sin x   cos x  sin x 0  x   k +)   cos x  sin x   cos  x   1  x   k 2  x    k 4  +)   x   k ; x   k  k   Vậy phương trình cho có nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.b] (HSG Lớp 11 THPT Minh Châu 2014-2015) Giải phương trình sin x  cos3 x cos x  2cos x  sin x  Lời giải Biến đổi đưa tích (sin x  cos x)(2sin x  cos x) cos x 0  cos x 0  x  k , k   *   sin x  cos x 0  sin( x  ) 0  x   k , k   4 * 1 sin x  cos x 0  tan x   x  k , k  , tan   2 * Câu [DS11.C1.1.E03.b] Giải phương trình: cos x - sin x = 2(cos x - sin x) Lời giải Phương trình tương đương cos x - sin x + sin x - sin x = ( cos x - sin x ) Û cos x - sin x - cos x sin x = ( cos x - sin x ) Û ( cos x - sin x ) ( 1- 2sin x ( cos x + sin x ) ) = ( cos x - sin x )