Câu [DS11.C1.1.E03.d] Tìm cos x cos x 4sin x cos x nghiệm thuộc khoảng 0;2 phương trình: Lời giải Đk xác định phương trình: cos x 0 x x cos x cos x 4sin x cos sin 2 cos x 2sin x 1 Do x không nghiệm nên xét trường hợp: x x x cos sin x 0; 2 2 TH1: Khi , k x 6 x x x x 3 4l sin cos sin x sin sin x 2 10 2 4 PT trở thành k k 0 3 4l 10 l 0 Tìm k l nguyên cho 3 x x 10 Ta nhận nghiệm x x x cos sin 0 x ;2 2 TH2: Khi 2 , 4k x x x x x 4l sin cos sin x sin sin x 2 2 4 PT trở thành k 2 k 1 4l 2 l 1 Tìm k l nguyên cho 7 13 x x 10 Ta nhận nghiệm 3 7 x x x 0;2 phương trình ban đầu có nghiệm 6; 10 ; Kết luận: Trong khoảng 13 x 10 Câu [DS11.C1.1.E03.d] Cho phương trình cos 3x – cos x m cos x –1 0 (1) Giải phương trình (1) ; 2 m 3 Tìm m để phương trình (1) có số nghiệm nhiều Lời giải Ta có (1) cos x cos x cos x m 0 cos x 0 cos x cos x m 0 (2) cos x 0 cos x 1) Với m 3 phương trình (1) ( t 1) t cos x 2) Xét phương trình (2) 4t 2t m 0 x k x 2k , k (3) ; 2 : Ta có đồ thị hàm số y cos x ; 2 số giao điểm đường thẳng y t đồ thị hàm số y cos x Số nghiệm (2) ; 2 ; 2 Do phương trình (1) có nhiều nghiệm phương trình (3) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1 t2 f (0) 13 f (1) m 0 Kết luận: Câu 3m 13 2sin x 8sin x cos 2 x 4 [DS11.C1.1.E03.d] Giải phương trình: Lời giải 2sin x 8sin x cos 2 x 4 (1) sin x 0 4sin x 1 8sin x cos 2 x 4 Giải (3): (2) (3) cos x 1 8sin x sin 2 x (2) sin x 1 8sin x 8sin x 3sin x 4sin x 1 8sin x 8sin x x 12 k (k , l ) 5 x l sin x 12 k VT (2) sin 3k 1 0 x k 2 12 +) Thay vào (2) ta có: k chẵn x 2n (n ) 12 Do họ nghiệm (1) 5 l 12 +) Thay vào (2) ta có: l 1 3 VT (2) sin 3l 1 0 l lẻ 5 x 2m 1 ( m ) 12 Do họ nghiệm (1) x 5 x 2n x 2m 1 12 12 Vậy (1) có hai họ nghiệm: ( n, m ) Câu 4 [DS11.C1.1.E03.d] Tìm m để phương trình sau sin x + cos x + cos 4x = m có nghiệm phân biệt ; đoạn Lời giải Phương trình cho tương đương phương trình cos x cos x m 4cos x cos x 4m (1) Đặt t cos4x ta được: 4t t 4m , (2) x ; 4 t 1;1 Với x ; 4 phương trình (2) có hai nghiệm Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phân biệt g’ t 8t Xét g (t ) 4t t víi t [ 1;1) , g’ t t Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra(3) xảy 47 m Vậy giá trị m cần tìm : 64 Câu [DS11.C1.1.E03.d] Giải phương trình 47 4m 3 m 16 64 3 3sin x sin x Lời giải 3 3sin x sin x 3 3sin x sin x 3sin x 3 3sin x sin x 3sin x 3sin x u u 3 sin x v v 1 Đặt ta có u 3u v 3v u v u v uv 0 u v Khi u v Với Câu 2 , u v uv 0, u , v sin x 3sin x sin x sin x 3sin x 0 sin x 2 VN sin x x [DS11.C1.1.E03.d] k 2 k Tìm tất giá trị tham số m để ; sin x cos x cos x m có bốn nghiệm (phân biệt) đoạn 4 Lời giải sin x cos x 1 sin 2 x, cos x 1 2sin 2 x Do nên sin x cos x cos x m sin 2 x 2sin 2 x m 17 4sin x sin x m (1) Đặt sin x t , t 1 phương trình (1) trở thành 6 16t 17t m 0 (2) phương trình x ; 2x ; x ; 4 2 , nên với 4 thỏa mãn (1) có giá Để ý trị t 0;1 thỏa mãn (2) Ngược lại, với t 0;1 thỏa mãn (2) phương trình sin 2x t x ; 4 nghiệm thỏa mãn (1) cho hai nghiệm ; 0;1 Vậy (1) có bốn nghiệm thuộc 4 (2) có hai nghiệm thuộc Điều tương đương với 17 16 4 m f 0 f 1 0 S 17 0 32 f t 16t 17t m 223 m Kết luận Giải hệ, 256 Câu [DS11.C1.1.E03.d] Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x m 3m 3 có nghiệm nửa khoảng Lời giải 5 2 x ; x 0; 2 ; Sử dụng đường tròn lượng giác ta có pt có nghiệm thuộc nửa khoảng m 3m 2 ; m 3m 13 m ; Câu Giải hệ ta 3 13 3 ; m 2 2 [DS11.C1.1.E03.d] Cho góc nhọn x, y thỏa mãn sin x sin y sin( x y ) () Chứng minh rằng: x y Lời giải 0; y sin x, y cos x Ta có hàm số đồng biến khoảng x, y , Và x, y 0; 2 2 x y sin x sin y cos y 2 xy y x sin y sin x cos x 2 Giả sử 2 Suy ra: sin x sin y sin x.sin x sin y.sin y sin x cos y sin y cos x sin(x y) Mâu thuẫn với () sin x sin y cos y x y xy y x sin y sin x cos x 2 Giả sử 2 Suy ra: sin x sin y sin x.sin x sin y.sin y sin x cos y sin y cos x sin(x y) Mâu thuẫn với () xy () Nếu Vậy Câu () x y [DS11.C1.1.E03.d] xỴ 3Ê n ẻ Ơ Cho Tỡm nghim ổ pử ç ÷ ç0; ÷ ÷ ÷ ç è 2ø phương trình 2- n sinn x + cosn x = n.2 Lời giải Ta có n n n- n n- n(2- n) sin x + sin x + + 43 ³ n 14444 24444 n n n(2- n) (sin x) = n.2 sin2 x (n- 2)sô n n n- n n- n(2- n) cos x + cos x + + 43 ³ n 14444 24444 n n n(2- n) cos2 x (cos x) = n.2 (n- 2)sô Cộng vế ta 2- n 2(sinn x + cosnx) + (n - 2).2 n n 2- n Þ sin x + cos x ³ 2- n sin x = cosx = Câu 2- n ³ n.2 (sin2 x + cos2x) = n.2 Þ x= p Dấu xẩy [DS11.C1.1.E03.d] (HSG Toán 11 – Quảng Ngãi năm 1516) Tính tổng nghiệm phương 0;1007 trình sau 8sin x.cos x s inx cos x 0 7 3 sin x cos x Lời giải 7 sin x Điều kiện xác định pt 4sin x.sin x sin x 3 cos x 0 x k , k cos x 0 cos x cos x sin x cos x 0 cos 3x cos x sin x cos 3x cos x 2 3 x x m 2 x m ,m x x m 2 x m 3 12 Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm phương trình cho x m m 12 x 0;1008 m 1008 m 2016, m 12 Vì 0;1008 gồm 2016 nghiệm lập thành Suy nghiệm phương trình cho đoạn 5 d , x1 12 cấp số cộng có cơng sai 2016 5 3043154 S 2016 1 12 2 Tổng nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.d] Tìm tất giá trị m 5 x ; cos x cos x 2m 1 cos x 2m 0 2 có nghiệm để phương trình Lời giải cos x cos x 2m 1 cos x 2m 0 (1) Pt 1 cos x 3cos x cos x 4m cos x cos x 2m 0 cos3 x cos x cos x cos x cos x 2m cos x 1 0 cos x 1 cos x cos x 2m 1 0 cos x cos x cos x 2m 0 5 ; Nhận xét: Phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng 2 5 ; Do để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng 2 phương trình (2) có cos x 5 ; nghiệm phân biệt thuộc khoảng 2 khác nghiệm t 1;1 3 Đặt t cos x phương trình (2) trở thành: 2t t 1 2m 5 ; t 1;0 Pt (2) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng 2 Pt (3) có nghiệm , nghiệm cịn lại nằm ngồi đoạn 1;1 Qua bảng biến thiên suy điều kiện là: 2m m T 1;0 KL: m Câu [DS11.C1.1.E03.d] (Trường THPT Nguyên Hãn- Hải Phòng) Giải phương trình sau: 2005 cos x tan y cos x tan y , ( x, y ẩn) Lời giải x k y m k , m Điều kiện: , tan y 2009 sin y cos x cos 1004 x sin x tan y 2 Ta có: Vậy (2) sin x sin y cos x * Nếu sin y sin y cos x sin x 2 3 sin y 2 nên phương trình vơ nghiệm sin y 1 y n , n * Nếu ta có 3 cos x 1 x 2n , n 6 sin y y * Nếu 3 cos x n , n ta có 5 x 2n , n 6 x 2n y n Phương trình có nghiệm 5 x 2n y n