D03 phương trình lượng giác muc do 4

Câu [DS11.C1.1.E03.d] Tìm  cos x   cos x 4sin x cos x nghiệm thuộc khoảng  0;2  phương trình: Lời giải Đk xác định phương trình: cos x 0  x x  cos x   cos x 4sin x   cos  sin 2  cos x   2sin x  1  Do x  không nghiệm   nên xét trường hợp: x  x x    cos  sin  x   0;   2 2 TH1: Khi ,  k   x 6   x x  x   x  3  4l sin  cos   sin x  sin    sin x   2 10 2 4 PT   trở thành   k       k 0   3  4l      10  l 0 Tìm k l nguyên cho   3 x x 10 Ta nhận nghiệm  x x x     cos  sin 0 x    ;2  2 TH2: Khi 2 ,  4k   x    x x  x   x   4l sin  cos   sin x  sin    sin x   2 2 4 PT   trở thành   k        2  k 1      4l  2     l 1 Tìm k l nguyên cho  7 13 x x 10 Ta nhận nghiệm  3 7 x  x  x   0;2  phương trình ban đầu có nghiệm 6; 10 ; Kết luận: Trong khoảng 13 x 10 Câu [DS11.C1.1.E03.d] Cho phương trình cos 3x – cos x  m cos x –1 0 (1) Giải phương trình (1)      ; 2   m 3 Tìm m để phương trình (1) có số nghiệm nhiều  Lời giải Ta có (1)  cos x  cos x  cos x  m   0  cos x 0   cos x  cos x  m  0 (2)  cos x 0    cos x   1) Với m 3 phương trình (1) ( t 1) t cos x  2) Xét phương trình (2) 4t  2t  m  0    x   k   x   2k  , k   (3)     ; 2   : Ta có đồ thị hàm số y cos x       ; 2   số giao điểm đường thẳng y t đồ thị hàm số y cos x Số nghiệm (2)          ; 2    ; 2   Do phương trình (1) có nhiều nghiệm    phương trình (3) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn  t1  t2      f (0)   13   f (1)    m   0    Kết luận: Câu 3m 13   2sin  x     8sin x cos 2 x 4  [DS11.C1.1.E03.d] Giải phương trình: Lời giải   2sin  x     8sin x cos 2 x 4  (1)    sin  x   0     4sin  x    1  8sin x cos 2 x    4  Giải (3): (2) (3)        cos  x    1  8sin x   sin 2 x     (2)   sin x 1  8sin x  8sin x    3sin x  4sin x  1  8sin x  8sin x    x 12  k  (k , l  ) 5  x   l  sin x   12 k    VT (2) sin   3k    1 0 x   k 2  12 +) Thay vào (2) ta có: k chẵn  x   2n (n  ) 12 Do họ nghiệm (1) 5  l 12 +) Thay vào (2) ta có: l 1  3  VT (2) sin   3l    1 0   l lẻ 5 x    2m  1  ( m  ) 12 Do họ nghiệm (1) x  5 x   2n x    2m  1  12 12 Vậy (1) có hai họ nghiệm: ( n, m   ) Câu 4 [DS11.C1.1.E03.d] Tìm m để phương trình sau sin x + cos x + cos 4x = m có nghiệm phân biệt      ;  đoạn Lời giải Phương trình cho tương đương phương trình  cos x  cos x m  4cos x  cos x 4m  (1) Đặt t  cos4x ta được: 4t  t 4m  , (2)    x ;   4  t    1;1 Với    x ;   4  phương trình (2) có hai nghiệm Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phân biệt  g’ t  8t  Xét g (t ) 4t  t víi t  [ 1;1) ,  g’ t   t  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra(3) xảy  47 m Vậy giá trị m cần tìm : 64 Câu [DS11.C1.1.E03.d] Giải phương trình  47  4m  3 m 16  64  3  3sin x sin x Lời giải  3  3sin x sin x   3  3sin x sin x    3sin x   3  3sin x sin x  3sin x     3sin x u  u   3  sin x v   v 1 Đặt  ta có u  3u v  3v     u  v  u  v  uv  0  u v Khi u v  Với Câu 2 , u  v  uv   0, u , v    sin x    3sin x sin x  sin x  3sin x  0  sin x 2  VN  sin x   x  [DS11.C1.1.E03.d]   k 2  k   Tìm tất giá trị tham số m để     ;  sin x  cos x  cos x m có bốn nghiệm (phân biệt) đoạn  4  Lời giải sin x  cos x 1  sin 2 x, cos x 1  2sin 2 x Do nên sin x  cos x  cos x m   sin 2 x    2sin 2 x  m 17  4sin x  sin x  m (1) Đặt sin x t , t 1 phương trình (1) trở thành 6 16t  17t    m  0 (2) phương trình          x    ;   2x    ;  x ;   4  2  , nên với  4  thỏa mãn (1) có giá Để ý trị t   0;1 thỏa mãn (2) Ngược lại, với t   0;1 thỏa mãn (2) phương trình sin 2x t    x ;   4  nghiệm thỏa mãn (1) cho hai nghiệm     ;  0;1 Vậy (1) có bốn nghiệm thuộc  4  (2) có hai nghiệm thuộc   Điều tương đương với   17  16 4   m     f   0   f  1 0  S 17  0   32  f  t  16t  17t    m  223 m Kết luận Giải hệ, 256 Câu [DS11.C1.1.E03.d] Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình   cos  x   m  3m 3  có nghiệm nửa khoảng Lời giải   5    2  x    ;   x    0;        2   ;    Sử dụng đường tròn lượng giác ta có pt có nghiệm thuộc nửa khoảng   m  3m    2    ;       m  3m    13  m  ;   Câu Giải hệ ta      3  13  3    ; m   2     2 [DS11.C1.1.E03.d] Cho góc nhọn x, y thỏa mãn sin x  sin y sin( x  y ) () Chứng minh rằng: x y   Lời giải    0;  y  sin x, y  cos x Ta có hàm số đồng biến khoảng   x, y , Và      x,  y   0;  2  2      x   y sin x  sin   y  cos y     2  xy         y   x sin y  sin  x  cos x     2   Giả sử 2 Suy ra: sin x  sin y sin x.sin x  sin y.sin y  sin x cos y  sin y cos x sin(x  y) Mâu thuẫn với ()      sin x  sin   y  cos y x   y       xy       y   x sin y  sin    x  cos x     2   Giả sử 2 Suy ra: sin x  sin y sin x.sin x  sin y.sin y  sin x cos y  sin y cos x sin(x  y) Mâu thuẫn với ()  xy  ()  Nếu Vậy Câu ()  x  y   [DS11.C1.1.E03.d] xỴ 3Ê n ẻ Ơ Cho Tỡm nghim ổ pử ç ÷ ç0; ÷ ÷ ÷ ç è 2ø phương trình 2- n sinn x + cosn x = n.2 Lời giải Ta có n n n- n n- n(2- n) sin x + sin x + + 43 ³ n 14444 24444 n n n(2- n) (sin x) = n.2 sin2 x (n- 2)sô n n n- n n- n(2- n) cos x + cos x + + 43 ³ n 14444 24444 n n n(2- n) cos2 x (cos x) = n.2 (n- 2)sô Cộng vế ta 2- n 2(sinn x + cosnx) + (n - 2).2 n n 2- n Þ sin x + cos x ³ 2- n sin x = cosx = Câu 2- n ³ n.2 (sin2 x + cos2x) = n.2 Þ x= p Dấu xẩy [DS11.C1.1.E03.d] (HSG Toán 11 – Quảng Ngãi năm 1516) Tính tổng nghiệm phương  0;1007  trình sau 8sin x.cos x  s inx  cos x 0 7  3    sin  x    cos  x       Lời giải 7  sin  x   Điều kiện xác định pt  4sin x.sin x  sin x     3    cos  x   0  x   k , k     cos x 0   cos x  cos x   sin x  cos x 0    cos 3x  cos x  sin x  cos 3x cos  x   2 3      x  x   m 2 x   m     ,m   x   x     m 2  x    m      3 12  Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm phương trình cho   x   m  m   12   x   0;1008     m 1008  m 2016, m   12 Vì  0;1008  gồm 2016 nghiệm lập thành Suy nghiệm phương trình cho đoạn  5 d  , x1  12 cấp số cộng có cơng sai 2016  5   3043154 S    2016  1    12 2 Tổng nghiệm Câu [DS11.C1.1.E03.d] Tìm tất giá trị m   5 x   ; cos x  cos x   2m  1 cos x  2m  0  2 có nghiệm để phương trình    Lời giải cos x  cos x   2m  1 cos x  2m  0 (1) Pt  1  cos x  3cos x  cos x  4m cos x  cos x  2m  0  cos3 x  cos x  cos x  cos x  cos x   2m  cos x  1 0   cos x  1  cos x  cos x  2m  1 0  cos x      cos x  cos x  2m  0     5   ;  Nhận xét: Phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng  2    5   ;  Do để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng  2  phương trình (2) có cos x    5   ;  nghiệm phân biệt thuộc khoảng  2  khác nghiệm  t    1;1  3 Đặt t cos x phương trình (2) trở thành: 2t  t 1  2m   5   ;  t    1;0 Pt (2) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng  2  Pt (3) có nghiệm , nghiệm cịn lại nằm ngồi đoạn   1;1 Qua bảng biến thiên suy điều kiện là:   2m     m  T   1;0  KL: m Câu [DS11.C1.1.E03.d] (Trường THPT Nguyên Hãn- Hải Phòng) Giải phương trình sau:  2005   cos   x    tan y cos x  tan y   , ( x, y ẩn) Lời giải    x   k   y   m  k , m   Điều kiện:  , tan y   2009    sin y cos   x  cos  1004   x  sin x  tan y 2     Ta có: Vậy (2)   sin x  sin y cos x  * Nếu sin y     sin y cos x  sin x 2  3 sin y   2 nên phương trình vơ nghiệm  sin y 1  y   n , n   * Nếu ta có  3  cos  x      1  x   2n , n  6 sin y   y  * Nếu  3  cos  x     n , n   ta có  5    x   2n , n  6    x   2n   y   n Phương trình có nghiệm  5   x   2n   y    n 