D04 phương pháp biến đổi một phương trình về tích muc do 3

Câu [DS10.C3.2.E04.c] [HSG Đồng Nai 2018 - 2019] Giải hệ phương trình ìï x - x y - y - x +1 = ï í ïï x - x - = y - - y ỵ (với x, y   ) Lời giải x 0, y  Điều kiện: x - x y - y - x +1 = Û ( x - 1) + x ( x - 1) - x y - y = Û é + x ( x - 1- y ) = (ëx - 1) - y ù ê ú û Û ( x - + y )( x - y - 1) + x ( x - 1- y ) = Û ( x - y - 1) ( x + x + y - 1) = éx = y +1 Û ê2 ê ëx + x + y - = Với x  y  , thay vào (2) ta y +1 - y - = y - - y Û y - - Û y +1 +( y - y - 3) = é êy = Þ x = ê 2 2y- + (2 y - 3)( y +1) = Û ê ê y - + y +1 + y +1 = ê ê y + y + ë (VN )  3  ;  Vậy trường hợp có nghiệm  2  2 Với x  x  y  0   x  x  y , x 0   x  x 1  y 1 Kết hợp điều kiện ta  y 1 - x - x +1 = y Þ £ - x - x +1 £ Û Ta có: Xét vế trái (2): 0£ x£ ìï - x - 3x +1 ³ - + 21 ïí Û 0£ x£ < 0,3 ïïỵ - x - x £ - + 21 Þ - £ x - x- £ -  y 1 Xét vế phải (2): f ( y ) = y - - y với 3 f ¢( y ) = - y = Û y y - = Û 192 y - 128 y - = Û y = 3y - Ta có: nên phương trình vơ nghiệm Suy ra:  3 ( x; y )  ;   2 Vậy hệ cho có nghiệm   f  y   Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình 2 x  y  x  y  x  xy  y  x   x  y x2   Lời giải Điều kiện x 1, Phương trình thứ hệ  x - xy - y - ( x - y )  x - y 0 x - y (2 x  y -1)  0   x  y   x  y  1  x  y 0  x y    x  y  x  y  x  y  1  1 0  x - y (2 x  y -1)  0 +) Với khơng thỏa mãn x - y (2 x  y -1)   x - y [( x  y )  ( x -1)]  0  1 (do x  y 0, x  0 ) +) Với x  y , thay y  x vào phương trình thứ hai hệ ta được: x -1  x  x -1     x 1   x  x  x 2      x  (3)  x   2x  Phương trình (3) khơng xảy Vế trái (3)   2 1  , Vế phải (3)  + = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Câu  2;   y  x    x    x  x  y  x y 2 xy  3x  y [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải Điều kiện:   x 2 Nhận xét: Hệ cho có nghiệm (0; 0) 2 2 2 Ta có (2)  x( x  y )  y ( x  y )  3( x  y ) 0  (2 x  y  3)( x  y ) 0  y  x (vì 2x + y2 +3 > 0, với   x 2 ) Thay y = x2 vào (1) ta được: x  x    x    x (3) Dùng liên hợp: Tìm nghiệm (1;1) Câu  x  3x  y  1  y  y  1  x  y  x  y 5 [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải  x  3x  y  1  y  y  1  x  y  x  y 5 Ta có   1  2  x  y 0  Điều kiện:  x  y 0  1  x  3x  y  1  y  y  1  x   y  1 x  y  y 0  y 3x   3   x  y  1  x  y  0    4  x 2 y Thay  3 vào   ta x  Điều kiện: x   x  5 49 x  21x  11  x x   x  5  11  x 0   175 x 119 11   x  17 76  x  y  25 25  x 17  25 (tmđk) Thay (4) vào (2) ta được: y  y 5  y 1  x 2 (tmđk)  Vậy hệ phương trình có nghiệm: Câu 17 76   ;   25 25    x; y    2;1 ,     x  y   y2  x      x  y   y  x   x  y  [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình: Lời giải  y   Điều kiện : 0  x 4 2  x  y   y  2x   x  y 1  x  xy  y  x  y   x  y   x  y  1   x  x  y  1   y  1   y   x 2 x  y  1     y 1  x    x y 1  0  y x  Thế vào pt đầu ta  x  x  x2  5x   x  x  3  x   4 x  x2 x  0 1     x  x  3     0 x 1   x x   x       21 x    x  3x  0    y    21  Câu  5x2  2  x  y 1    1   x  y  1 1    x  y  2  x  y  1 [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải x  y     5x  0  Điều kiện xác định  Đặt a   x  y   , a   a 2  x  y    x  y   a2  2  a2   1 4    a2  2 a 1   1    a a a2   a2   2    Khi phương trình thứ hai trở thành:   a    a  a  a  * u a   3 v a Đặt  Khi phương trình (*) trở thành u  u v  v   u  v   u  uv  v  1 0  u v 2 u  uv  v    a  (l )  a  a    a 2 Với a 2  y  x 5x2  x  5x   Với y x vào phương trình thứ ta 3 5x2  t (t 0) 2 Ta có x 6t  Phương trình cho Điều kiện xác định: x  0 Đặt trở thành x  6t   t  x3  6t  (t  1)3  x (t  1)3  x t   t  x    x   x  5x2   x 1   x    x   28  ( x  1)  x  12 x  0   Đối chiếu điều kiện ta nghiệm Câu [DS10.C3.2.E04.c]  x, y     Giải 28,   28 hệ  phương  y  y    x   x 0  ,  x, y     2   x  y   x  x  10  y  x  x  Lời giải  x 2 3  x  Điều kiện: 3 x  x  0 Từ phương trình đầu hệ ta có: y  y    x   x 0  y  y     x   x 0  y3  y  2 x   2 x   0  y  2 x  y  y 2 x   2 x   0 trình:  y   x 0   y2  y  x    2 x y  y 2 x  Ta có:   0 2 x    x 0  x 2 y     y 0   x 0  Với y    x  *    y  2 x      2 x  , phương trình  * có nghiệm thay vào phương trình thứ hai hệ khơng thỏa mãn  x 0  y   x thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình:  x   x  x  10   x  x  x    3x  x    x  3x  x    3x  x    x  3x  x     3x  x    x  3x  x  3x  x    x  x  x  0   2 x   3x  x    x Với x 3 0 3x  x    x  2 x  ** x  x    x   x   , suy phương trình  ** có 1   x 2 x nên vơ nghiệm Phương trình cho tương đương với:  3 x    3 x  x  0  Với Câu x  3 x   109   x   x   109   109 42  109 y 6 , suy x3  xy2  x y3  yx2  y   2x  y  x  y   xy  3x  [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải x  2y  0; x  y   Điều kiện: 3 2 Xét phương trình thứ hệ x  xy  x y  yx  y  (x  y)(x  y  1)   x y (Do x2  y2   0) Với x y thay vào phương trình thứ hai ta được: Điều kiện x  ta có x  2x  x2  3x    Câu x x 2     x  x  2x   x2  3x   2x   x2  3x  2(x  4)   (x  1)(x  4)  (x  4)    (x  1)  2x   2x    x 2   x 4      x  (*)  x  2x   2    1  x  (*) Với x  ta có x  2x   1 (dấu "  " xảy x  0) Vậy (*) có nghiệm x  (x;y) (4;4); (x;y) (0;0) Kết luận hệ có hai nghiệm [DS10.C3.2.E04.c] (HSG10_SỞ GD&ĐT_QUẢNG NAM_2016-2017) Giải hệ phương trình  x  xy  x  y  yx  y   x  y  x  y   xy  3x  Điều kiện: x  y 0 x  y  0 Lời giải - Xét phương trình thứ hệ: x  xy  x  y  yx  y  ( x  y )( x  y  1) 0  x  y (vì x  y   ) + Với x  y thay vào phương trình thứ hai ta được: Điều kiện: x 0 Khi đó, ta có: x  x  x  3x  x  x   x  3x   ( x  2)  ( x   3)  x  3x  x 2( x  4)     ( x  1)( x  4)  ( x  4)    ( x  1)  0 x 2 2x 1  x 1   x 2   x 4     x  1(*) x 1   x  2    1  x   x  2 x   *Với x 0 ta có (dấu xảy x=0) Do pt (*) có nghiệm x 0  x 4  x 0    y 4  y 0 Câu Vậy nghiệm hệ phương trình là: [DS10.C3.2.E04.c] (HSG cấp trường Yên Định 2017-2018) 2) Giải hệ phương trình:    x, y     x  x  y   x  y  y y3 1   2   x  y  8 y x  3x  Lời giải Điều kiện: x  y 0, y 0,2x  3x  0 (1)  x  x  y   x  y 2 y  y  x  xy  y  x  y  Pt Nếu Nếu y 0 (*) x  y  y 0  x  y 0 không thỏa mãn hệ x  y  2y  x y  x y  (*)   x  y   x  y   0   x  2y  0  ** x  y  2y  x  y  2y x y y 0 x  y  y x  y  0, y  Mặt khác với điều kiện nên (**) vơ nghiệm.Với x  y 0 PT(2) trở thành x  x  8 x x  x   4( x  x  3x  1) (2 x  1)  3 x   71 x   3 3   3 3     1 ; ; ;   ;  ;  4 4 4       Vậy hệ có nghiệm [DS10.C3.2.E04.c] (HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Giải hệ  2 x  x  1    2 x  x  4 x  Câu  y  x    x    x  1  x  y  x y 2 xy  x  y     phương trình: Lời giải Điều kiện:   x 2 0;0  Nhận xét: Hệ cho có nghiệm  2 2  x x  y  y x  y  x  y 0 Ta có    x  y  x  y 0           y  x (vì x  y   , với   x 2 ) 2 Thay y  x vào   ta được: x  x    x    x   Câu 1; 1 Dùng liên hợp: Tìm nghiệm  [DS10.C3.2.E04.c] (Giao lưu HSG cấp tỉnh trường Nguyễn Ba Phước 19-20) Giải hệ phương  y  x  1 y    x   x  0  x; y     2  x   x  x  y  3 x  y   y  trình: Lời giải   x    y 1  x  x  y  0  +) Điều kiện:  x  y  0 +) Phương trình (1)  [( y  2)  (6 x  3)] y   2(2 x  1) x  0  ( y  2) y   3(2 x  1) y   2(2 x  1) x  0 +) Đặt a  y  2; b  x  1;(a  0; b 0) , ta a  3ab2  2b3 0  ( a  b) (a  2b) 0  a b  y   x   y 2 x  1( x  1  x 1) +) Thay y 2 x  vào (2) ta được: x   x  x 3 x   x    x  3x    ( x  x  x  2)  3( x  3x  2) 0     x  3x       0 x  x  x  x  3x     x 1  x  x  0   (t / m )  x 2 +) x 1  y 1 +) x 2  y 3 KL : T( x; y ) {(1;1), (2;3)} Câu [DS10.C3.2.E04.c] (HSG 11-Quỳnh Lưu 3-19-20) Giải hệ phương trình: Lời giải  y  x   y   x  ( )   x  x y  x  y  y   y ( )   D K : x  y  (2)(x y)3 (x y)(y 1)  4(y 1)  x y y  0VN  x y4 y 1 x 2y Thế x = 2y – vào (1) ta có y  y   y   y 2  y  y   y   ( y  y  ) ( y  )4 y  ( y  y  ) ( y  )y   y  y  y    y   x   3;  Vậy hệ có nghiệm  x  y  x  1  x  y  y    1  x  1  y  x   2 y  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  (với x, y   ) Lời giải Điều kiện: x, y   1     x  y  x  1  y   x y 0  Ta có  x  y   y  1  x  y  x  1  y x y 0 x y   y 1  0  x  y   x  y   x  y   x  y  x  1  y (3) (Vì x, y  ) 3 1  x  1  x  x   2  x  x    x   x 0 x x   Thế (3) vào (2) ta   1  1    x     x    0 t  x  0 t  t  0   t  1 t  2t  0  t 1 x  x  x Đặt ta 1 1 x  1  x  x  0  x  x x Vì x  nên Với t 1 ta  1 1  ;  x; y    2   Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: 3  x  xy  x  y  yx  y  x  y  x  y  xy  3x  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải Điều kiện: x  y 0; x  y  0   3 2 Xét phương trình thứ hệ x  xy  x  y  yx  y  ( x  y )( x  y  1) 0  x  y (Do x  y   0) Với x  y thay vào phương trình thứ hai ta được: x  x   x  3x  Điều kiện x 0 ta có x  x  x  3x   x   x    x  3x      x 2( x  4)    ( x  1)( x  4)  ( x  4)    ( x  1)  0 x 2 x 1  x 1   x 2   x 4     x  (*)  x  2x 1  2    1  x  (*) Với x 0 ta có x  2 x 1  3 (dấu " " xảy x 0 ) Vậy (*) có nghiệm x 0  Kết luận hệ có hai nghiệm ( x; y) (4; 4); ( x; y ) (0;0)  x  xy  x  y  yx  y   x  y  x  y   xy  3x  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải Điều kiện: x  y 0 x  y  0 - Xét phương trình thứ hệ: x  xy  x  y  yx  y  ( x  y )( x  y  1) 0  x  y (vì x  y   ) + Với x  y thay vào phương trình thứ hai ta được: Điều kiện: x 0 Khi đó, ta có: x  x   x  3x  x  x   x  3x   ( x  2)  ( x   3)  x  x  x 2( x  4)     ( x  1)( x  4)  ( x  4)    ( x  1)  0 x 2 2x 1  x 1   x 2   x 4     x  1(*)  x  2x 1  2    1  x   x  2 x   x  *Với ta có (dấu xảy x=0) x  Do pt (*) có nghiệm  x 4  x 0    y 4  y 0 Vậy nghiệm hệ phương trình là:   x, y      x  x  y   x  y  y y3 1    x  y  8 y x  x  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình:  Lời giải Điều kiện: x  y 0, y 0,2x  3x  0 (1)  x  x  y   x  y 2 y  y  x  xy  y  x  y  Pt Nếu x  y  y 0  x  y 0 không thỏa mãn hệ y 0 (*) Nếu x  y  y  x y  x y (*)   x  y   x  y   0   x  2y  0  ** x  y  2y  x  y  2y x yy 0 x  y  y x  y  0, y  Mặt khác với điều kiện nên (**) vơ nghiệm.Với x  y 0 PT(2) trở thành x  x  8 x x  x   4( x  x  3x  1) (2 x  1)  3 x   71 x   3 3   3 3     1 ; ; ;   ;  ;  4   4   4   Vậy hệ có nghiệm Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  2 x  x  1    2 x  x  4 x   x  xy  x  y   xy   y  y (1)   x, y      y  xy  x  x  x  1  0 (2)  Lời giải x  0; y    xy   x  y  xy  0 ĐKXĐ:  Nhận thấy y 0 từ (1) suy x 0 Thay x  y 0 vào   không thỏa mãn       Vậy ta có điều kiện x 0, y  0, điều có nghĩa x  y 0, xy   x  y  Khi    xy   y 0 ta (1)  có:  x y  xy   x  y    xy   y 0   x  y  y  xy  x y  0 x y xy   x  y  xy   y     y  xy      x  y    0 x y xy  x  y xy   y      x y  y  xy    0  x y xy   x  y  xy   y       17 x  x  x  0  x 1; x  Vì x  y  nên   17  17  ;  1;1 ;   2   trường hợp hệ có hai nghiệm * Xét x  y Thế vào y  xy   0 x y xy   x  y  xy   y (3)  * Xét phương trình Từ phương   x    nghiệm   ta trình (2) ta  y  xy  x  x  có: y  xy   0 x y xy   x  y  xy   y 2     x  1  2 x 1  Do Vậy hệ có hai nghiệm    17  17  ;     1;1 ;  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình 4 x     x  1  x 1 x 1 {x3(1+2y)=1¿ ¿¿¿ Lời giải  nên (3) vô Nhận xét: x=0 khơng thoả mãn Với x≠0 , ta có hệ { {1+2 y=t ¿ ¿ ¿ ¿ =t Đặt x , hệ trở thành Do 1+2y= ¿ ¿¿¿ x 2 y + yt +t +2>0 , suy từ (1) ta có y=t [ y=−1 y −2 y−1=0⇔ ( y+1 ) ( y − y−1 ) =0⇔¿ 1±√ [ ¿ [ y= Thay vào (2) ta có Với y=−1 , suy x=−1 1+ √5 −1+ √5 x= 2 Với , suy ; 1−√ −1−√  1 y= x= x 2 , suy y= Với 3 2x  y  y  2x     x  x3  16 x  y  y  x  1  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải Đk: x  y 0 x  16 x  y 0  1  2  t 1 TM  3t t    t  x  y  t 0   t   L  Đặt , pt(1) trở thành 2 Với t 1 y 2 x  thay vào phương trình   ta x  2 x  x  Đk: x  , ta có x3  2 x  x    x2 x2  x  u 2  x2  x    x  x   2  x  x     x   x2 2 x  x  x  x   x  1   0x  R  u 0  , phương trình trở thành u 2  u  u 1  x 1 Tm  x2   x  x     x2  2x   x 2  Tm  u  Với ta có:  x 1  x 2   y   Vậy nghiệm hệ phương trình  y 3 Đặt x  2x   x  3x  y   y  xy  y 3 x  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình:  Lời giải ĐK: y  Phương trình (2): y  xy  y 3 x    y  x  1  y   0  y  x   y   0 Thay vào phương trình (1) ta có x  x  x  Đk: x  x  x  3x  x  x( x  4)  x  x  x  x  x  pt vô nghiệm t   0;   Do để giải (1) cần xét   x 2 đặt x= 2cost ; Phương trình trở thành: cos3t=cos(t/2) 4 4 x 2 cos ;x  t   0;   suy nghiệm hệ (x; x+1) Giải pt với ta có: x= 2; ( x  y )  3( x  y )  2( x  y  1)   ( x  y  2) x  x  y  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải x  y    Điều kiện:  x  0 Đặt t x  y (t 0) Phương trình (1) trở thành t  3t  2t   3t  2t  0 3t  2t  1  (t  2)(t   ) 0  t 2 t 2  t 0 3t  2t  t  t  (Vì ) x  y   y   x t  Với suy  t   3t  2t  0  (t  2)(t  2)  Thay y 2  x vào (2) ta có: ( x  x) x   x  x   x ( x  x  1)  x  1( x  x  1) 0  ( x  x  1)( x  x  1) 0  x 0 x 1 x    x 1  2 2 x  x Suy y 1  Vậy hệ cho có nghiệm: (1  2;1  2)   x y  x  y 4   x y   y x  0 Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải   x y  x  y 4   x y   y x  0 Giải hệ phương trình  Điều kiện: x 0 Gọi hai phương trình (1) (2)  x (2) x  0  ⇔x √ y +1=−2 y √ x 2+1 (3) ⇒ x ( y +1 )=4 y ( x +1 )⇔ x=±2 y x=2 y thay vào (3) ta có: x= y=0 (khơng thỏa mãn (1)) Với x=−2 y thay vào (3) ta thấy thỏa mãn, thay vào (1) ta có Với   x3   x  (4) Để (4) có nghiệm x  Khi (4)   x  x 2   x a a  b 2  a 0; b 0    6 x b a  b 2 Đặt:  ta có hệ:   a b  3 a  b    2  a  b6  4  a  b3    Ta lại có Do đó:  a  b6  16 6 hay a  b 2  x 1; y  Dấu "=" xảy a=b=1  x; y   1;   2  Vậy hệ có nghiệm  x3  3x  y   y  xy  y 3x  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình:  Lời giải y  ĐK: Pt: y  xy  y 3 x    y  x  1  y  3 0  y  x  (do y   ) 3 Thay vào phương trình x  3x  y  ta có x  x  x  Đk: x  , x  x  x x  x( x  4)  x  x  x  x  x  pt vơ nghiệm t   0;   Do để giải (1) cần xét  x 2 đặt x 2 cos t ; t cos 3t cos Phương trình trở thành: 4 4 x 2 cos x 2 cos t   0;   ; suy nghiệm hệ  2;3 Giải pt với ta có: x 2 ; 4 4 4 4     ; cos  1  cos ; cos 1  cos 5 7  ;    x  3x  y   y  xy  y 3 x  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình:  Lời giải y  ĐK: Pt: y  xy  y 3 x   ( y  x  1)( y  3) 0  y  x  ( y   0) Thay vào phương trình (1) ta có x  3x  x  Đk: x  x  x  x  x  x( x  4)  x  x  x  x  x  pt vơ nghiệm Do để giải (1) cần xét   x  đặt x 2 cos t ; t   0;  t cos 3t cos    2 Phương trình trở thành: Giải pt với t   0;  ta có: 4 4 x  cos ;x  suy nghiệm hệ ( x; x  1) x 2 ;  y  xy  y  x  3 ( y  1)( y  x)   y   y  x  2( y  x  1) Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải  y  xy  y  x  3 ( y  1)( y  x) (1)  (2)  y   y  x  2( y  x  1) Xét hệ phương trình   y  x 0   y  0   y  0  ĐK:  y  x  Bình phương hai vế phương trình (2) ta được: y  x   ( y  1)( y  x) 2 y  x   ( y 1)( y  x)  (3)  y  xy  y  x  (4) (1)  2( y  xy  y  x)  y  3 ( y  1)( y  1)( y  x ) Ta có:  y   ( y  1) Kết hợp với (3) (4) ta có phương trình:  y  3 y   y  13 y  10 0  y 2, y  23 x 24 Với y 2 thay vào (3) ta 41 y x thay vào (3) ta 72 Với Thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện  23   41   ;2 , ;  Vậy hệ có hai nghiệm  24   72   y  x    x    x  1  x  y  x y 2 xy  x  y     Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình: Lời giải   x  Điều kiện: 0;0  Nhận xét: Hệ cho có nghiệm  2 2   x x  y  y x  y  x  y 0  Ta có  x  y  x  y 0           y  x (vì x  y   , với   x 2 ) 2 Thay y  x vào   ta được: x  x    x    x   Dùng liên hợp: Tìm nghiệm  1; 1 17  x  y  x x   63  14 x  18 y   x x  x   12 y 34   13  y  17  y     Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình Lời giải  17  y  ; x 0;63  14 x  18 y 0 ĐKXĐ:  2  x  x  x  17  y  17  y   17  y   17  y  x 17  y  x  17  y    x 0 Từ  1  6y 3x  x  62  14 x   x  17     x   y  3  x  x 2   x   x x 2  x  x    x  3 Đặt u 2  x; v  x  3  3u  v 2 3u  2v  3u  v 0  3u  v 0  u v       u v 3u  v 0    u  3v  u  3v    x 1    y 8     v 0   u  3v v 0   u 0  x 0  VN    x 2  x 1   y  Vậy hệ có nghiệm  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình:  x  y  1  x  y  1 3x  x  (1)   xy  x   x (2) Lời giải Xét x 0 vô lý x2  x vào (1) ta x 0 (l ); x 1; x  Xét x 0 từ (2) x   y  x 1  y  ;  y 1  5   2;    x; y  1;  1  Câu [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình Vậy hệ có hai nghiệm     x  y  x  x  y  0 ( x, y  )  ( x  1) y   ( x  6) y   x  x  12 y ĐK: y   x  1 Phương trình (1) tương đương:   x  1  y  y  y x  ( x +1) x + +( x + 6) x + = x + x +12   x  1   x     x  6   x   x  x  x 6  x 1   x  2    x x 7 3  x2 2   0   x 2  x 1 x6    x  0  * x 7 3  x    Chứng minh phương trình (*) vơ nghiệm x 2   x 6 x 6   x2     x       x 7 3  - x2 2  x2 2 x; y   2;3 Kết luận hệ phương trình có nghiệm  Câu  x   x  x  17  y  y    x  y  y  21  2 y  3x [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình  Lời giải  x   x  x  17  y  y   1   x  y  y  21  2 y  3x   Ta có:  Điều kiện: y 0  1  ( x  y  4)  x  x  17    x  y  4  y  0   x  y     x   y  x   y x  x  17  y    x  y   (1   x  4 2  y2 x  x  17  y  0  x   y x  x  17  y  ) 0  y x   x   y 1 x  x  17  y  Vì:   x  4 1   x    y 1  y x  x  17  y  Thay y  x  vào ta đuợc:  2    x  x   x  25  2 x  16   x4     x  25   x   x  16 0  1 x  12    x    0 x  25  x   x  16   x4 2  x 0  y 4    1 x  12    0 x  25  x   x  16  x    0x, y 0 [DS10.C3.2.E04.c] (HSG - KonTum - 1819) Giải hệ phương Câu  x   x   y   y    x  x  12 y  36 Lời giải  x   x   y   y   x  x  12 y  36 Ta có   1  2 Điều kiện: x 1 ; y 1 Ta thấy x  y 1 không nghiệm hệ phương trình Ta có   1  x 1 y   y 1  x 1  x y 1   x y y x   *   x   y  y 1  x 1 x 1 y y 1  x 1 Ta thấy  * vơ nghiệm vế trái ln dương, vế phải ln âm với x 1, y 1,  x; y   1;1   ta được: x  x  12 x  36 Với x  y , vào   x  x   x   12 x   36   x  1   x 1  x 1    x   x    x 1     x  1  x   0  v« nghiƯm     x  1  x   0  x  2   x 3  x    v« nghiƯm  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Câu  x; y   3; 3 2  x  xy  y  x  y  0 (1)  x  y  x  y  0 (2) [DS10.C3.2.E04.c] Giải hệ phương trình sau:  Lời giải 2 2 Từ phương trình: x  xy  y  x  y  0  x  xy  xy  y  x  x  y  y  0  (2 x  xy  x )  (2 xy  y  y )  (2 y  x  2) 0  x (2 x  y  1)  y (2 x  y  1)  2(2 x  y  1) 0  (2 x  y  1)( x  y  2) 0  x  y  0 (3)   x  y  0 (4) Kết hợp (2) (3) (2) (4) ta có hệ: trình   x  y  x  y  0    x  y  0   2  x  y  x  y      x  y  0   x  y  x  y  0   x  (2 x  1)2  x  (2 x  1)  0     y 2 x    y 2 x     2   x  y  x  y  0   x  (2  x)  x  (2  x)  0   y 2  x   y 2  x  x  2   5 x  x  0  5 x  x  0      y  13   y 2 x    y 2 x        ( x  1) 0 x  x  0        x 1   y 2  x   y 2  x   y 1  Câu   13   S  x ; y   1;1 ,  ;    5  Vậy nghiệm hệ [DS10.C3.2.E04.c] (HSG cấp trường Toán 10 – THPT Đan Phượng năm 2018- 2019)Giải hệ  x  y  y   2 y  0  x,y     2 2  x  y   x  xy  y  3 3  x  y   phương trình Lời giải y  Điều kiện: 3 2 Phương trình thứ hai hệ  x  y  3( x  y ) 3x  y  3   x  1  y  1  y  x  Thay y x  vào phương trình đầu hệ ta x   x     x     2  x    0  x  x   2 x  0 (*) 1 2 x   x   4 1   x   2x     x   x    2  x  2x  (a )  (b)   x  x   x 0 (a )    x 1 x  x   ( a )  Giải :  x 1 (b)    x 2  x  x   ( b )  Giải :  x2  x   x 2   x 1   y  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  y   Chú ý: Có thể giải phương trình (*) cách khác sau: (*)  x  x   x  x  2  3x  1 2 x   x  x  11x  x  0  x  1 x  x  0   Câu   x 1    x 2   x 2   Thử lại, ta thấy x 1; x 2  thỏa mãn phương trình (*) [DS10.C3.2.E04.c] (HSG cấp trường Tốn 10 – THPT Đan Phượng năm 2018- 2019)Giải hệ 7 x  3( y  4) x  3(2  y ) x  y   y  9 x  x  phương trình  Lời giải y  Điều kiện 2 Phương trình đầu hệ x  3( y  4) x  3(2  y ) x  y  3 2  x  y  3x y  3xy 8 x  12 x  x  3  ( x  y ) (2 x  1)  x  y 2 x   y  x  Thay  x 1  y 0   1  x  x    97  y   23  97  18 18 [DS10.C3.2.E04.c] (HSG Toán 10 - THPT Thuận Thành _2018-2019) Giải hệ phương trình  x  3x  x   y  y   x  x    x  1 y Lời giải 2 1   x  1   x  1  y  y   x   y    x  1   x  1 y  y  1 0  Phương trình  Câu y  x  vào phương trình thứ hai hệ ta x  9 x  x    x   3x 9 x    x    x  2 y 3y2  x  1   x  1 y  y   x 1      x, y  y x  (vì 2  ) x  x    x  1  x  1 Thay y  x  vào phương trình   , ta được:  x   x 1   x 1   x 2  y 3   2  x   4 x  x   2 x  x   x  3   Câu  x; y   2;3 Vậy hệ phương trình có nghiệm:  [DS10.C3.2.E04.c] (HSG THUẬN THÀNH 2- 2019) Giải hệ phương trình  x   x  x  17  y  y    x  y  y  21  2 y  3x Lời giải  x   x  x  17  y  y   1   x  y  y  21  2 y  x   Điều kiện: y 0, y  x 0