D04 phương pháp biến đổi một phương trình về tích muc do 4

Câu [DS10.C3.2.E04.d] (HSG CẤP TỈNH - THANH HÓA- 2017-2018) Giải hệ phương trình  x  xy  x  y   xy   y  y (1)   x, y      y  xy  x  x  x  1  0 (2)  Lời giải x  0; y    xy   x  y  xy  0 ĐKXĐ:        Nhận thấy y 0 từ (1) suy x 0 Thay x  y 0 vào   không thỏa mãn Vậy ta có điều kiện x 0, y  0, điều có nghĩa x  y 0, xy   x  y  Khi ta có:  (1)  x   xy   y 0 y  xy   x  y     xy   y 0   x  y  y  xy  x y  0 x y xy   x  y  xy   y     y  xy      x  y    0 x y xy  x  y xy   y      x y  y  xy    0  x y xy   x  y  xy   y       17 x  x  x  0  x 1; x  2  x  y * Xét Thế vào ta Vì x  y  nên   17  17  ;  1;1 ;   2   trường hợp hệ có hai nghiệm y  xy   0 x y xy   x  y  xy   y (3) * Xét phương trình 4 y  xy  x  x  x     x  1  x 1 x 1 Từ phương trình (2) ta có:    x    nghiệm 2     x  1  2 x 1  Do  y  xy   0 x y xy   x  y  xy   y   17  17  ;  2    1;1 ;  Câu   nên (3) vơ Vậy hệ có hai nghiệm [DS10.C3.2.E04.d] (Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Giải hệ phương trình 3 2x  y  y  2x     x  x3  16 x  y  y  x  1  Đk: x  y 0 x  16 x  y 0  1  2  t 1 TM  3t t    t  x  y  t 0   t   L  Đặt , pt(1) trở thành 2 Với t 1 y 2 x  thay vào phương trình   ta x  2 x  x  Đk: x  , ta có x3  2 x  x    x2 x2  x  u x2 2  x2  x    x  x   2  x2  x     x   2 x  x  x  x   x  1   0x  R  u 0  , phương trình trở thành u 2  u  u 1  x 1 Tm  x2   x  x     x2  2x   x 2  Tm  u  Với ta có:  x 1  x 2   y   Vậy nghiệm hệ phương trình  y 3 Đặt Câu x  2x  [DS10.C3.2.E04.d] (HSG11 Quỳnh Lưu II – Nghệ An - 2011 - 2012) Giải hệ phương trình :  x  3x  y    y  xy  y 3 x  Lời giải ĐK: y  Phương trình (2): y  xy  y 3x    y  x  1  y  3 0  y  x   y   0 Thay vào phương trình (1) ta có x  x  x  Đk: x  x  x  3x  x  x( x  4)  x  x  x  x  x  pt vô nghiệm Câu t   0;   Do để giải (1) cần xét   x 2 đặt x= 2cost ; Phương trình trở thành : cos3t=cos(t/2) 4 4 x 2 cos ;x  t   0;   suy nghiệm hệ (x; x+1) Giải pt với ta có : x= 2; ( x  y )  3( x  y )  2( x  y  1)   ( x  y  2) x   x3  y  [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình  Lời giải  x  y 0  Điều kiện:  x  0 Đặt t x  y (t 0) Phương trình (1) trở thành t  3t  2t   3t  2t  0 3t  2t  1  (t  2)(t   ) 0  t 2 t 2  t 0 3t  2t  t  t  (Vì ) x  y   y   x t  Với suy  t   3t  2t  0  (t  2)(t  2)  Thay y 2  x vào (2) ta có: ( x  x) x   x  x   x2 ( x  x  1) 0  ( x  x  1)( x  x  1) 0  x 0 x 1 x    x 1  2 2 x  x Suy y 1  Vậy hệ cho có nghiệm: (1  2;1  2) [DS10.C3.2.E04.d] (HSG lớp 11 – sở GD Thanh Hóa – 2017 - 2018) Giải hệ phương trình  x Câu x  1)  x  1( x  x  0    x y  x  y 4   x y   y x  0 Lời giải   x y  x  y 4   x y   y x  0 Giải hệ phương trình  Điều kiện: x 0 Gọi hai phương trình (1) (2) (2) ⇔x √ y +1=−2 y √ x 2+1 2 (3) ⇒ x ( y +1 )=4 y ( x +1 )⇔ x=±2 y x=2 y thay vào (3) ta có: x= y=0 (khơng thỏa mãn (1)) Với x=−2 y thay vào (3) ta thấy thỏa mãn, thay vào (1) ta có Với   x3   x  (4) 3 Để (4) có nghiệm x  Khi (4)   x  x 2   x a a  b 2  a 0; b 0    6 x b a  b 2   Đặt: ta có hệ:   a b  3 a  b 2   2  a  b6  4  a  b3    Ta lại có Do đó:  a  b6  16 6 hay a  b 2  x 1; y  Câu 1 Dấu "=" xảy a=b=1  x; y   1;   2  Vậy hệ có nghiệm [DS10.C3.2.E04.d] (HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Giải hệ phương  x  13 y  x  1 3 y   x  2  y  1 x   y   x  y  12 y   x  1 3 y  trình :  Lời giải  y  1 x   y 1 y  y 0    y x Trừ vế với vế (1) (2) ta y 1 thay vào (1) ta x  13  x   x  x 1 Với Với y  x thay vào (1) ta x3  13 x  x  x  1 3x    x  1   x  x  1  x  1  x  1  x  1   x  x  1 Câu Đặt a 2 x  1, b  x  ta  a   x  x  1  x  1 b   a  b3   a  b   x  1 0   a b   2 b   x  x  1  x  1 a  a  ab  b  x  0  x 1  y 1 3 a b  x   x   x  15 x  x  0    x   y  64  [DS10.C3.2.E04.d] (HSG 11 trường THPT Quỳnh Lưu II – Nghệ An 2011-2012) Giải hệ  x3  3x  y   y  xy  y 3x  phương trình :  Lời giải ĐK: y  y  xy  y 3 x    y  x  1  y  3 0  y  x  Pt : (do y   ) 3 Thay vào phương trình x  3x  y  ta có x  x  x  Đk: x  , x  x  x  x  x( x  4)  x  x  x  x  x  pt vô nghiệm t   0;   Do để giải (1) cần xét  x 2 đặt x 2 cos t ; t cos 3t cos Phương trình trở thành : 4 4 x 2 cos x 2 cos t   0;   ; suy nghiệm hệ  2;3 Giải pt với ta có : x 2 ; 4 4 4 4     ; cos  1  cos ; cos 1  cos 5 7  ;   Câu  x  3x  y   y  xy  y 3 x  [DS10.C3.2.E04.d] [HSG11-QUỲNH LƯU-11-12] Giải hệ phương trình :  Lời giải y  ĐK: Pt : y  xy  y 3 x   ( y  x  1)( y  3) 0  y  x  ( y   0) Thay vào phương trình (1) ta có x  3x  x  Đk: x  x  x  x  x  x( x  4)  x  x  x  x  x  pt vơ nghiệm Do để giải (1) cần xét   x  đặt x 2 cos t ; t   0;  t cos 3t cos    2 Phương trình trở thành : Giải pt với t   0;  ta có : 4 4 x  cos ;x  suy nghiệm hệ ( x; x  1) x 2 ; Câu   1  x   y   5y  x    x  y    x  y 1  3x     x, y    [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình:  Lời giải  x 1  y 1   5 y  x  0  Điều kiện:  x  y  0 Từ phương trình thứ hệ ta có: x   y   5y  x   x  y    2x  y     x 1 y  x  1  y  1 0    x  1  y  1 5 y  x  1 x  x  1  y  1  2( y  1) 0  x 1 y x   y  0    x  y 1   x y   x  y 1  kh«ng tháa m·n    Thay x  y vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình:  x  x   x   3x   x  x   x    x2  x     5x   x 1   3x  0 x2  x  x2  x   0 5x   x  3x   x 1 1     x  x  1     0 5x   x 1 3x   x     1 1  y x  2  x  x  0    1 1  y x   2 1 1  0 5x   x 1 3x   x  Vì , x 1 Câu  1 1  ( x; y )  ;  2   Đối chiều điều kiện ta có nghiệm hệ: [DS10.C3.2.E04.d] (HSG Trường Nguyễn Quán Nho Thanh Hóa năm 19-20) Giải hệ phương  y   y  3  y  x   xy 7 x    x  25 y  19  x  x  35 7 y  trình  Lời giải 9 y   y  3  y  x  0  7 x  25 y  19 0  xy 0; y  2; x   x 7 +) Điều kiện:  +) Từ phương trình đầu hệ kết hợp với điều kiện xác định suy x 7, y 0 Do y   y  3  y  x   x xy  x   0 xy  x y   y  3  y  x   x (1)  y   y  3  y  x   x  xy  x 0    9 x  y  2y 3 x    y  x   0  y   y    y  x   3x xy  x   x y   2 +) Thế vào phương trình thứ hai, ta được: x  25 x  19  x  x  35  x   3x  11x  22 7  x    x    x     x  x  14    x   7  x  5  x  x  14  a  x  x  14 ;b  x   a 0, b   +) Đặt Khi phương trình trở thành 2 3a  4b 7 ab  a b  3a 4b +) Với a b  x 3  (thỏa mãn) x 3  (loại) 61  11137 61  11137 3a 4b  x  x 18 18 +) Với (thỏa mãn) (loại)  61  11137 61  11137  ;    7;3  18 18   +) Vậy, hệ có nghiệm hệ là:  Câu [DS10.C3.2.E04.d](HSG 12  ĐỒNG NAI 2018-2019) Giải hệ  x  x y  y  x  0   x  x   y   y (với x, y   ) Lời giải Điều kiện: x 0, y  x  x y  y  x  0   x  1  x ( x  1)  x y  y 0    x  1  y   x ( x   y ) 0    ( x   y )( x  y  1)  x ( x   y ) 0  ( x  y  1)  x  x  y  1 0  x  y 1   x  x  y  0 Với x  y  , thay vào (2) ta y 1  y   y   y   3y   y    y  y   0  y  x  2 2y   (2 y  3)( y  1) 0   y   y 1   y  0  y   y 1   3  ;  Vậy trường hợp có nghiệm  2  (VN ) phương trình 2 Với x  x  y  0   x  x  y , x 0   x  x 1  y 1 Kết hợp điều kiện ta  y 1  x  3x  0   21  x   0,3   x  x 0  x  x   y   x  x  1  Ta có: Xét vế trái (2): x    21    x  x    y 1 Xét vế phải (2): f ( y )  y   y với 3 f  ( y)   y 0  y y  3  192 y  128 y  0  y  3y  Ta có:   f  y   Suy ra: nên phương trình vơ nghiệm  3 ( x; y )  ;   2 Vậy hệ cho có nghiệm Câu  y   x   x y 0  1   x  y   y  3  x  y  3x  [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình:  x, y        2 Lời giải  x    y 0  x  y  3x 0  * Điều kiện: a  x  1  x a     b  y   y b - Đặt   1 trở thành:  b   a  b  a   0  ab  b  a    b  a  0 Khi   b  a   ab   0  a b  ab     x   y  y x  - Thay vào phương trình x      ta phương trình:   x    x  1  x  x   x  1     x  1    x  1   x  1 1   3  3 vô nghiệm - Nếu x  - Với x 1 , xét hàm số: f  t  1   t  Có:   3  f    f  t  t   t t2 1 t2   0;   0, t   0;   x   f  x  1   0;  đồng biến  x 0 x  x   x  x 0    x 3  x 3 (do x 1 ) , hàm số f  t với Vậy hệ có nghiệm Câu  x; y   3;5 [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình  x y  y  x 4 xy  1 x  x  xy  y 3  Lời giải Giải hệ phương trình  x y  y  x 4 xy (1)  1 x (2)  x  xy  y 3  Điều kiện x 0, y 0 x   4 x y Chia hai vế (1) cho xy ta có phương trình  1 1 x 1 1 x 11 1   3      3      x    4 x xy y x x y y x x y  y x  1     x      4 x  y x     x  x  y 4      1    x     4  x  y x  Ta có hệ   x  x 2   1   2  x y Câu  1 1 1  x       4 x  x y      1    x     4  x  y x    x  x  0   1   x y    x  x 2 1   2  x y  x 1   y 1  xy  x xy  y xy  x  y  x  y  y   ( x  1)( y  xy  x  x ) 4 [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình Lời giải  xy  ( x  y )( xy  2)  x  y  y   ( x  1)( y  xy  x  x ) 4 Hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình:   x; y 0  xy  ( x  y )( xy  2) 0 Điều kiện:  Nhận xét: x = y = khơng thỏa mãn hệ phương trình  x; y   (1)  xy  ( x  y )( xy  2)  y  ( x  y ) 0 xy  ( x  y )( xy  2) 0 Với  , ta có: ( x  y )( y  xy  2) x y   0 x y xy  ( x  y )( xy  2)  y   y  xy    0  ( x  y)   xy  ( x  y )( xy  2)  y x y   (3) y  xy x  x  4   ( x  1)   x     2 x 1 x 1   Từ phương trình (2) ta có: y  xy    0 x y xy  ( x  y )( xy  2)  y Do đó: (3)  x  y , thay vào y = x vào phương trình (2) ta được: x  x  3x  0  17 x  x 1 Câu 1  17 x Kết hợp với điều kiện ta có x 1 ,   17  17  (1; 1);  ;  2   Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) là: [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình: ( x  y  2015)( y  x  2015) 2015   x  y  x   x x  Lời giải: + Giải phương trình (1)  x  y  2015  x  y  2015  2015( x  2015  y )     y  x  2015  y  x  2015  2015( y  2015  x)  ( x  y ) x  y  2015 2015 x  2015  y  2015  2015( x  y )    ( y  x ) y  x  2015 2015 y  2015  x  2015  2015( x  y )             x  y  x  y  y  2015       x  2015  2015.2.( x  y )  x  y 0      x y ( x  y )     4030 0 (vn)   x  2015  y  2015   + Với x  y Thay vào phương trình (2): x   x x  (3) Nhận xét: Từ (3) suy ra: x   x    x    x.3 x  x (3)  (4) x  +) thỏa mãn (4) VT (4)  x 1  VP (4)  +) VT (4)   x 1   VP (4)  KL: Hệ có nghiệm  x; y   1;  1 +) Câu  y  x  xy  y 2  x  16 y   x  2  y  1   [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình : Lời giải: 2 x  16 y  0, x 1 Điều kiện: Từ phương trình thứ hai ta suy y  Từ phương trình thứ nhất, thực biến đổi ta được: y  y   x  y   0   y  1  y    x  y   0  y    y    y  x  1 0    y  x   y x  Với y  x  1, thay vào phương trình thứ ta được: x  16 x  18  x  2 x   * x  16 x  18 0, x 1, x  2 Từ ta suy  *    Với điều kiện x  x   x  16 x  18 2  x  1 2  x 1  2  x   x  16 x  18 2 x   ** Từ (*) (**) ta suy Câu x  2 x  16 x  18  3x  64 x  73 0 (***) Thử lại nghiệm (***) không thỏa (**) Suy (**) vô nghiệm   1;  ,  1;  Đáp số: Nghiệm hệ phương trình  y  x  xy  x y 0  x   y  x3  y  [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình:  Lời giải  y  x3  xy  x y 0   x   y   x  y  Điều kiện: x 1; y 3  1  2  1   y  x3    x3  x y    10 x y  xy  0   y  x   y  xy  x  0   y  xy  3x  y  x   x  0, x 1; y 3  1  y 2 x   Vì nên Thay y 2 x vào (2), ta phương trình: x   x  x3  x      x 1  3   dk : x   2   x   x3  x  x 2x    x    x  x   x  1 x  1 x 2    2  x  2x    0 (3) x  1 x  1       3  x  x       2  0 x  1   x  1    x 2x   0 x  1 x  1 x  Do (2) có nghiệm x 2 (3) vơ nghiệm vế trái dương  x2  x   Câu  x 2  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nhất:  y 4 [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình sau tập số thực 17 x   3  x  y  ( x  1) 4  y2   y  y   x  3( x  y )  Lời giải Biến đổi hệ dạng  (y  1)3  3( y  1)  x  3x   y ( x  y  ( x  1) ) 8 y  17 x  Từ phương trình (1) ta có ( y  x  1)(( y  1)  x( y  1)  x  3) 0 y  x  0   2  ( y  1)  x( y  1)  x  0  y  x  0 ( y  1)  x( y  1)  x   0, x, y Thay x  y  vào (2) thu gọn ta có y  10 y  17 y   y y  y 0  y ( y  2)  (6 y  17 y  8)  y y  y (*) 3 3 Đặt u  y  2; v  y  y  u  v  (6 y  17 y  8) Thay vào phương trình (*) ta có 2uy  u  v3  2vy 0  (u  v)(u  u.v  v  y ) 0  u  v   u v  y 0 Câu  y  0  u v  y 0   y  y 0  y 0  Trường hợp: vô nghiệm  4x  1 x   y  3  y 0  2 [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình  4x  y   4x 7 Lời giải   y  a  x   a  x     b2 x 3  y   Sau đặt b   y  Điều kiện:  8a  2a  b3  b 0   2a  b   4a  2ab  b  1 0  2a b  2  4a  2ab  b  0  l  Phương trình (1) trở thành  x 0    4x y    Với 2a b  2x   y Thay vào (2)  4x  4x  1   4x  1  ta  có pt 16x  24x    4x 0   4x  0 16     2x  1  8x  4x  10x    0  4x     2x  0  16  8x  4x  10x   0  *  4x   16 0  4x  Ta có 16 2x  4x  3  3x  4x    2x  x   0 x   4x  có Với x  Vậy (*) khơng có nghiệm thỏa mãn  x; y   ;  2  Kết luận hệ có nghiệm  *  2x  4x  3  3x  4x  3  2x  Câu x 5 (17  x)  x  (3 y  14)  y 0  2 x  y   3 x  y  11  x  x  13 [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình:  Lời giải Điều kiện x 5; y 4; x  y  0;3 x  y  11 0 Phương trình (1) tương đương với  3(5  x)    x  3(4  y )    y (3) 3 Đặt a   x , b   y Phương trình trở thành; 3a  2a 3b  2b  a b a b   x 4  y  y x  Thay vào phương trình (2) hệ ta được: x   x   x  x  13 , với    x    x   2( x  2)  x   3( x  3)  x  x  x ( x  1)  x( x  1)   x ( x  1) 3x   x  5x   x  3    x( x  1)    1 0 5x   x    3x   x   Câu  x 0 x   Với x 0 y   Với x  y  xy  2  x  y  x  y 1 :   x  y x  y  [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình Lời giải xy  0   x  y   xy  x  y   xy   x  y  0  1   x  y   xy  x y   x  y   x  y   1  xy  x  y  1 0   x  y  1   x  y   x  y  1  xy  0  x  y 1  3  2  x  y  x  y 0  4 Dễ thấy (4) vơ nghiệm x  y  Thế (3) vào (2) ta x  y 1 Câu  x  y 1  x 1; y 0    x  2; y 3 Giải hệ  x  y 1  [DS10.C3.2.E04.d] (HSG cấp trường Toán 10 – THPT Đan Phượng năm 2018- 2019)Giải hệ  x  y   x  y   xy x  y   x  11x   x   x  y phương trình  Lời giải  x    x  y 0 Điều kiện: x  y   x  y   xy x  y  Phương trình đầu    x  y   xy   x  y   xy x  y   x  y    x  y   xy  x  y   xy 0   x  y    x  y   1  xy  x  y  1 0   x  y  1   x  y   x  y  xy  0   x  y  1  x  y  x  y  0  x y   x x  y  9) Từ tìm (do Thay y 1  x vào phương trình thứ củahệ ta được: x  11x   x  0  x  x  9 x   x    Câu  x  1    x  1 13  133  11  133 x  y 2  [DS10.C3.2.E04.d] (HSG Tốn 12 - Hịa Binh năm 1718) Giải hệ phương trình  x  y  3x  x  y  0  x, y     x  y   x  y   x  x  12 y      Lời giải Điều kiện y  Phương trình  1 tương đương:  x  1 Thế vào phương trình  2 :   x  1  y  y  y  x   x  1 x    x   x   x  x  12  x  1 x 6  x 1   x  2    x x 7 3  x2 2 Ta chứng pt  4   x     x  6   x   x  x   x 2   x 1 x6    x  0  *  0  x   x 7 3  *  vơ nghiệm Thật vậy, ta có: x 2   x 6 x 6   x2         x 7 3   x2 2 Kết luận hệ phương trình có nghiệm Câu   0,x  x2 2  x; y   2; 3 [DS10.C3.2.E04.d] Giải hệ phương trình sau (với x, y   )  y  x y  x  y  2 x   2 6 y  yx 6 y  x Lời giải Điều kiện y  Ta có y  x y  x  y  2 x    x2  y2    y   x  0 Do y  x , thay vào phương trình sau ta x  x  x 0  x 0   x3  x  Suy  Ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc đoạn [-1;1] (dùng đồ thị hàm số) cos 3t  t   0;  suy Với   x 1 ta đặt x = cost (với ), phương trình trở thành  5 7 t  ,t  ,t  9   5 5 7 7  0;0  ,  cos ;cos  ,  cos ;cos  ,  cos ;cos  9  9   9   Như hệ có nghiệm Câu [DS10.C3.2.E04.d] (HSG lớp 11 SGD Thanh Hố 18-19) Giải hệ phương trình    y  y  y  x 1 y  y   x 1    x  x   x   y  x  1   y  1 3x  Lời giải x Điều kiện: Phương trình đầu   x; y  R  y  y  y  x 1 y  y   x     y  y  y    x 1 y  y   y  x 1  y  y    y    x 1  y  x 1   x 1 x    y    x   0      y   y    x  0  1   y  x  0  2  y  2 Giải ( 1):  y  0  y 2  x  0     x  0  x  ( Loai)  y x 1 x  0    y 1 y Giải ( 2): Thế y  x  vào phương trình thứ hai ta được: 2 x  3x   x   x  1  x  1  x 3x  2  x  3x    3x   x 3x    x  1  x  1  3x  0 2    x  3x    3x  2  x  3x   x  3x   3x     x   x   x  1  x   0 x  3x    x    x  x   0 x  3x    3x    x  3x      x   0  x  3x   x  x    x  3x  0  3   3x    x  0     x  3x   x  x   x 1  tm  x  3x  0     x; y   1; ; 2; x  tm     Giải (3): hệ có nghiệm 3x  2 3x    x  0   x2 2 x  3x   x  3x  Giải (4) : x  3x   x  x      VT     VP   phương trình (4) vơ nghiệm Ta thấy với Câu 1.[DS10.C3.2.E04.d] (HSG Hà Tĩnh - Khối 10 - Lần 1) Giải hệ phương trình x     x2 1  x y   y 1   3 x  y   x x  y  10 Lời Giải     x2 1  x y   y 1 (1)   x  y  0   3 x  y   x x  y  10 (2) Xét hệ phương trình  Điều kiện  x  y  0 Nhận xét (1)  Vậy (1) y   y  y   x2 1  x  y 1  y  y 1  y  y 1  y  y 1  y   y 1  y  y 1  y y 1  y    x 1  y 1   x  y  0   x2 1  y 1  x2 1  y 1 x2 1  y2 1    x  y  0   xy  1 0   x  y  0   x  y    x   y   x2 1  y 1 x y x   y   x  y  x  y  x  y   0 x 1  y 1 Chú ý , x  y x2  y2       3x   x  x 10  3x     x    x  Khi  3x   2  x    x  2  x  0 3x   6 x 2    x  2   6 x   3x   x 6    0 6 x 2  x   6  Điều kiện: Do Từ đó:  3    x  0  3  x   2 Mặt khác   x  1   3x   6 x 2  2  1 6 x 2  6 x  3x   2 3    x   ; 6 6 x 2 2  x 2  x  y 2 : thỏa điều kiện Vậy hệ có nghiệm x  y 2 f  t   t 1  t f ' t    t  R Nhận xét: Có thể xét hàm chứng minh , từ  x  y , cách vượt kiến thức lớp 10 Câu [DS10.C3.2.E04.d] (HSG Tốn 12 - Thanh Hóa năm 1718) Giải hệ phương trình 2 x x  y   x  y  1  y   x  y  y  (1)    2  y   x  8 x  13  y    82 x  29     Lời giải Điều kiện x  , y 2 Từ phương trình   hệ ta có: y  2 x   13  y     x  8 x  82 x  29  3  x 0   x  0  Nếu  x 0 Khi  1  x  x   3 vô nghiệm y    x  y  1   y    y  1  y   x   x  y    x  y  1     4x2  y  2  2x  y      x  y  0   4x2  y  y   2x   0 y   x  y  2 x  x     ta Thay x  y  vào  x  1 x 1 8 x3  52 x  82 x  29   x  1 x   x  1  x  24 x  29   x  0  3   x  4 x  24 x  29    3  x   y 3   trở thành Đặt t  x   t 2 t  14t  t  42 0   t  3  t    t  t   0    29 t   t 2  x  , y 11 Với 2  29 13  29 103 13 29 t  x ,y  Với Câu [DS10.C3.2.E04.d] (Đề HSG K12 Đồng Nai 2018-2019) Giải hệ  x3  x y  y  x  0  1   x  x   y   y   Lời giải y Điều kiện: x 0 ,  1   x3  x y  x    x  xy  x    xy  x     y  0  x  x x2  x  y  1  x  x  y  1  x  y  1   y  1  y  1 0 y  1  x  x  y  1   y  1  x  y  1 0  x  y 1    x  y  1  x  x  y  1 0  x  x  y  0 2 +) Với x  y  thay vào   ta được: y 1  y   y   y  y   y    y  y  3 0   y 2  x 2  2y    y   *    y  3  y  1 0  y   y  y   y 1  1 y  *  y   y  y   Phương trình vơ nghiệm ,  3  ;  Trường hợp có nghiệm  2  2 +) Với x  x  y  0   x  x  y , x 0   x  x 1  y 1  y 1 Kết hợp với điều kiện ta phương trình   x  x  1  Ta có  x  x   y Xét vế trái  2 Xét vế phải ta có f  y   Ta có Suy : f  x  x  x  với f  y   3y   y2   3x  x  0   21   x   0,3  x  x    x    21    f  x    y 1 với 3  y 0  y 3y   y y  3  192 y  128 y  0   f  y   nên phương trình vơ nghiệm  3  ;  Kết luận : Vậy hệ phương trình có nghiệm  2 