SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh trường THPT Chun Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ————————————— Câu Tìm số nguyên dương n , biết ba mệnh đề sau có mệnh đề sai: P " n 15 số phương " , Q " n có chữ số tận " , R " n 74 số phương " Câu Giải hệ phương trình: ( k10 – 2013) 2 2 81x y 81x y 33xy 29 y 4 3 25 y x y xy y 24 C©u Tìm tất số nguyên m để phương trình sau có nghiệm ngun dương (x; y): m x2 x 1 xy 2 B 4 A Gọi D, E, F theo thứ tự chân đường Câu Cho tam giác ABC có C phân giác hạ từ đỉnh A, B, C Chứng minh tam giác DEF cân Câu Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ( K10 – 2013) P 4 x y 24 z 19 25 x y 3z -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh…………………………………… SBD…………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc ————————————— Lưu ý chấm bài: -Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm -Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai không điểm -Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau -Riêng câu 4, học sinh khơng có hình vẽ khơng cho điểm -Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn Câu (1,5 điểm) NỘI DUNG TRÌNH BÀY Nếu Q chữ số tận n+15 7, chữ số tận n-74 nên n+15 n-74 khơng thể số phương, suy P, R sai, vô lý!Vậy Q phải mệnh đề sai Tức P, R Giả sử n 15 x ; n 74 y ( x, y ) x y x y 1 x 45 ( x y )( x y ) 89 =89.1 x y 89 y 44 ĐIỂM 0,5 0,25 0,5 0,25 Vậy n 452 15 2010 Câu (2,0 điểm) NỘI DUNG TRÌNH BÀY y Nhận thấy khơng thỏa mãn hệ phương trình 2 81x y 81x y 33 xy 29 y 4(1) 3 25 y x y xy y 24.(2) ĐIỂM 0,25 Chia hai vế (1) cho y hai vế (2) cho y ta 81x 81x 33x 29 y (1') 25 x x 24 (2 ') y y3 0,25 4 3(3 x -1)3 2(3 x 1) 24 2 y y 4 24 3(3x -1)3 2(3 x 1) 24 (3) (2') 24 x x 3 (3x 1) 24 (4) y y y y y Ta có (1') 3(27 x 27 x x 1) x 26 3a b 2a 24 (3') Đặt a 3 x 1; b , từ (3) (4) ta có hệ y 3b a 2b 24 (4 ') Suy (a b)(3a 3ab 3b a b 2) 0 Dễ thấy 3a 3ab 3b a b Do a b Thay vào (3’) ta có 3a a 2a 24 0 a 2 b 2 Vậy hệ có nghiệm x y 1 0,5 0,25 a, b 0,25 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) ĐIỂM NI DUNG TRèNH BY Điều kiện: xy Vì x, y nguyên dơng xy > y(x x 1) (x 1)(xy 1) x y x y 1 x (1) xy xy xy Theo gi¶ thiÕt suy ra: x y N*, xy N * Ta cã: m.y 0,25 x y 1 Z (x + y + 1) chia hÕt cho (xy – 1) Tõ m.y Z xy x y xy x(y 1) y (2) x 1 x 2 x x 1 - NÕu y = th× m x Z x x x 3 x 4 + Víi x = 2, y = th× m = 7; Víi x = 4, y = th× m = VËy m = tho¶ m·n y2 1 1 4 - NÕu y ≠ V× y N* y > Khi ®ã (2) x y y y 1 y 2 + Víi x = 1, suy m Z y y 3 y 4 x = 1, y = m = (thỏa mãn); x = 1, y = m = tho¶ m·n 2y 1 y 1 + Víi x = 2, suy m Z y 4 2y 2y 7 y 4 Với x = 2, y = m = thoả mãn y 3y 1 13 khơng thoả mãn + Víi x = 3, suy m Z 3y 3y 13 y 14 y 4y 4y 3 y 1 y 1 21 + Víi x = 4, suy m (do y nguyên) Z 4y 7 y 2 y 2 4y 4y 21 y 11 Khi x = 4, y = m 7 Khi x = 4, y = m = VËy m = 1, m = 3, m= tho¶ m·n 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Câu (3,0 điểm) NỘI DUNG TRÌNH BÀY HÌNH VẼ ĐIỂM B 2x F x I x x A J 5x 5x 2x x 4x 2x 2x x 4x E 4 x; C 8x ta có A B C 1800 14 x 1800 Đặt A 2 x; B 4x C D Gọi I giao điểm AD, BE CF Dựng đường thẳng BJ vng góc với CF cắt AC J Ta có tam giác BCJ cân C CB CJ Ta chứng minh FBD FCE : Dễ có CBF BCF 4 x nên tam giác BCF cân F FB FC 1 FCE Lại có : FBD (2) 4 x 0,5 0,25 Bây ta chứng minh CE = BD 8 x CBJ x IJB Thật vậy: BCJ cân C mà C (vì I thuộc trung trực CJB 3x IBJ 0,25 2 x JB) IJE IJB IBJ 2 x Mặt khác: EIJ EIJ Suy EJI 2 x nên tam giác EIJ cân E suy EJ = EI (*) EIJ 4 x ECI Mà IEC nên tam giác ICE cân I EI = IC (**) EJI IAC CID ICA 5x CDI CID nên CID cân C IC CD *** CDI 1800 x x 14 x x 5 x Từ (*), (**) (***) suy EJ CD CE CJ JE CB CD DB (3) Từ (1), (2) (3) suy FBD FCE (c.g.c) Suy FD = FE tam giác FED cân F 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 Câu (1,5 điểm) NỘI DUNG TRÌNH BÀY Ta có bất đẳng thức quen biết : Với số dương a,b,c,x,y,z ta có a b c (a b c)2 (*) x y z x yz a b c Đẳng thức xảy x y z 9 1 1 Ta có P (4 x ) (3 y ) (24 z ) x 3y 3z x y z (3 1) 36 (do x y z 1 ) x y z x yz Mặt khác, theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân : 1 1 (4 x ) (3 y ) (24 z ) 2 x y 24 z 14 x 3y 3z x 3y 3z Suy P 14 2.36 86 Đẳng thức xảy xảy thời hệ (1), (2), (3), (4), (5) 1 (1), x y z 1 (2) , x (3), y (4), 24 z (5) x y z x 3y 3z 1 Hay x , y , z 1 Vậy MinP = 86 đạt x ; y ; z Theo (*) ta có -HẾT - ĐIỂM 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25