SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 GDTX NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN - GDTX Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu (6,0 điểm) a) Giải phương trình sin x 0 y x 0 b) Giải hệ phương trình x y x x, y Câu (5,0 điểm) n 3n 1 a) Tìm lim 4n n b) Tìm hệ số x khai triển biểu thức x 3 Câu (5,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc 3a với mặt phẳng ABC SA Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh BC SG b) Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng ( SBC ) Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn CD cho CN 3 ND Viết phương trình đường thẳng AD, biết M (1; 2) N (2; 1) Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức c3 P 4a 4b ab b - - - Hết - - Họ tên thí sinh…………………………………… SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Số báo danh…………………… KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 GDTX NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – GDTX (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu (6,0đ) Đáp án a) (3,0 điểm) Giải phương trình sin x 0 (1) (1) sin x 1 x k 2 x k , (k ) Vậy phương trình có nghiệm x k , (k ) b) (3,0 điểm) Giải hệ phương trình (1) y x 0 x, y 2 x y x (2) Điều kiện: x y 0 Điểm 1,0 1,0 1,0 0,5 1 y x Thay y x vào phương trình (2) ta phương trình x 2 x x x x 3x 0 1,0 x 0 x 3 +) Với x 0 suy y 1 +) Với x 3 suy y 4 (5,0đ) 0,5 1,0 x 0 x 3 ; Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) với y 1 y 4 n 3n 1 a) (2,0 điểm) Tìm lim 4n n 1 3 n 3n 1 3n3 n n lim lim lim 1 4n n 4n n 4 n n n 3n 1 Vậy lim 4n n 1,0 1,0 b) (3,0 điểm) Tìm hệ số x khai triển biểu thức x 3 Số hạng tổng quát khai triển biểu thức x 3 C8k (2 x)8 k 3k C8k 28 k 3k x8 k Số hạng khai triển chứa x ứng với k 3 k 5 1,0 1,0 5 Vậy hệ số x khai triển là: C8 108864 (5,0đ) 1,0 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông 3a góc với mặt phẳng ABC SA Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh BC SG b) Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng ( SBC ) a) (3,0 điểm) S H C A G M B SA ABC SA BC (1) BC ABC Vì tam giác ABC G trọng tâm nên BC AG (2) Từ (1) (2) ta có BC ( SAG ) suy BC SG (2,0đ) 1,0 1,0 1,0 b) (2,0 điểm) Gọi H hình chiếu A lên SM , ta có AH SM AH BC nên AH SBC , suy góc đường thẳng SA mặt phẳng ( SBC ) 0,5 góc ASH a Tam giác ABC cạnh a nên AM 0,5 Vì SA ABC nên SA AM Trong tam giác vuông SAM ta có AM 0,5 H tan ASM H 300 tan AS AS SA Vậy góc đường thẳng SA mặt phẳng ( SBC ) 300 0,5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn CD cho CN 3 ND Viết phương trình đường thẳng AD, biết M (1; 2) N (2; 1) A D M N B C Đặt BC a 0, ta có 5a 5a a MN a 10 a 8 a 2 4 2 Mặt khác tam giác AMN cân N nên AN MN 10 Gọi A( x, y ) Khi x y 8 AM 2 x y x y 3 2 2 x y x y 5 x y 10 AN 10 x 3 y x 3 y 2 x y x y 5 y 1 y y 1 y 5 x 3 y x 1, y 0 y 0 x 19 , y y 8 5 2 0,5 0,5 0,5 +) Nếu A( 1,0) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x y 0 19 0,5 , ) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường 5 thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x y 25 0 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 5 Tìm giá trị nhỏ biểu c3 thức P 4a 4b ab b c3 c3 P 4a 4b (a 1) b 3 a b 0,5 ab b a 1 b +) Nếu A( (2,0đ) Theo bất đẳng thức cơ-si ta có (a 1) b c3 3c a 1 b P 3 a b c 14 0,5 0,5 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 14 a b c 5 c3 c3 a 1, b c 2 Dấu xảy a b a 1 b b - - - Hết - - Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5