To 22 40 nghe an a

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình cos x  7cos x   sin x  7sin x  8  x  x2  2x   y 1  y   b) Giải hệ phương trình  2  x   3x  y   x  y  0  x, y    Câu (2,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác ACD Viết 5  phương trình đường thẳng AD, biết M  1;  G  ;  3  Câu (5,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân  AB / / CD    nội tiếp đường tròn tâm O SBA SCA 900 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh MO   ABCD  BC b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh cos   SA Câu (4,0 điểm) a) Cho dãy số  un  , biết u1 12, 2un1 un  n  n   với n 1 n  5n  n2  n un 2n  b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b3  c 3abc  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c   a  b  b  c  c  a  Tìm lim - - - Hết - - Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – BẢNG A (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Câu (7,0đ) Đáp án Điểm a) (4,0 điểm) Giải phương trình cos x  7cos x   sin x  7sin x  8 (1)  (1)  cos x     sin x  cos x  sin x 8 0,5      cos  x    7sin  x    0 3 6         2sin  x    7sin  x    0 6 6        2sin  x    7sin  x    0 6 6      sin x     6       sin  x   3 ( ptvn) 6   1,0 1,0 0,5  x k 2   k   2  x   k 2  0,5 Vậy phương trình có nghiệm x k 2 , x  2  k 2 , k   b) (3,0 điểm) Giải hệ phương trình  x  x  x   y 1  y  (1)   2  x   x  y   x  y  0 (2) Điều kiện x  y  0  1  ( x   y)   x  1  ( x   y)  1  y  0 ( x   y )( x   y )  x  1   y  0,5  x, y    0,5 0   x 1  y   0  ( x   y)  2   x  1   y    x   y 0   x 1  y  1  0 2  x    y     0,5  y  x     x  1   y   ( x  1)  y 0 (*) Ta có  x  1 0,5   y   ( x  1)  y  x   ( x  1)  y  y 0 nên phương trình (*) vơ nghiệm Thay y  x  vào phương trình (2) ta phương trình x   x  x   x  x  0 0,5  x   3x   x  x  1  x  x  0 (3) Đặt a  x  x  0 , phương trình (3) trở thành  x a x  3x a  4a 0  ( x  a)( x  2a) 0    x  2a x 0   1  1 x a  x  x   x    x  y 2  x  x  0 x 0   2  54 x  2a  2 x  x   x    x  y 7 7 x  x  0    2  1 x  x     Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) với       y  y    (2,0đ) 0,5 0,5 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Số phần tử S A9 3024 (số) Số phần tử không gian mẫu n    3024 0,5 Gọi A biến cố “số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 ” Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi khác abcd  a 0, a b c d  0,5 Theo giả thiết ta có  a  c    b  d  11  a  c    b  d  11 Suy  a  c  11  b  d  11 Trong chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có số gồm hai chữ số mà 0,5 tổng chia hết cho 11  2, 9 ; 3, 8 ; 4, 7 ; 5, 6 Chọn cặp số  a, c có khả năng, khả có cách Khi chọn cặp số  b, d  cịn khả năng, khả có cách Như n  A  4.2.3.2 48 (số) n  A 48   Xác suất cần tìm p  A   n    3024 63 0,5 (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác 5  ACD Viết phương trình đường thẳng AD, biết M  1;  G  ;  3  M H A B G D C K Gọi H hình chiếu vng góc G lên AB K trung điểm đoạn CD Đặt BC 3a  0, suy AB 6a, GH 2a, HM a 40 2 5a  a   a  9 2 Suy AM 3a 2 2, AG  AK  3a  3 Gọi A( x, y ) Khi   x     y  8  AM 2  x  y  x  y 3      5 64    x 3 y    AG     x  y       x 3 y   x  1, y 0    y 0     x 19 , y    y 8 5    MG 4a  a   0,5  0,5 0,5 +) Nếu A( 1,0) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y  0 19 , ) Đường thẳng AD qua A vuông góc với đường 5 thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y  25 0 +) Nếu A( (5,0đ) 0,5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân  AB / / CD  nội tiếp   đường tròn tâm O SBA SCA 900 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh MO   ABCD  b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh BC cos   SA a) (3,0 điểm) S M I A B O D C Gọi H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  ABCD  1,0 Xét tam giác MHA, MHB, MHC có    MHA MHB MHC 900 MH chung MA MB MC  SA 1,0 Suy MHA MHB MHC nên HA HB HC Do H O, MO   ABCD  b) (2,0 điểm) Vì AB / / CD nên góc hai đường thẳng AB SC góc hai     sin SCD (*) đường thẳng CD SC , suy cos   cos SCD 1,0 0,5 Gọi điểm I hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng  SCD  Mặt khác lại có MS MD MC suy I tâm đường tròn ngoại tiếp SD SD SD     SCD Khi sin SCD (vì MID vng I nên ID 2MD SA ID  MD ) Ta có MD MC  SA nên SDA vuông D 0,5 0,5 Từ (*) suy SD SA2  SD AD AD BC  cos    sin SCD       SA2 SA2 SA2 SA SA BC cos   (đpcm) SA (4,0đ) a) (2,0 điểm) Cho dãy số  un  , biết u1 12, Tìm lim Ta có: 0,5 2un1 un  n  n   với n 1 n  5n  n2  n un 2n  0,5 2un 1 un  n  n  2un 1 un n     2 n  5n  n n  n    n  3 n  n  1 n   2un 1    n  1  n    n  3 2un1  n  1  n    n  3 un n  n  1  n  2 un n  n  1  n     n n  n  1  n    n  1  n    n  n  1 1 un        2  n  1  n    n  3  n  1  n    n  n  1  n   n  n 1  un1 Đặt  un n  n  1  n  2  0,5 (*) , từ (*) ta có vn1  nên   n  n  1 1 n cấp số nhân có cơng bội q  , v1  suy v1q  n 2 2 n  n  1  n   un 1   n  un    n  3n   n n  n  1  n   n  n  1 0,5 Khi n  n  1  n     n  3n    n  n  1  n   n  3n   n un lim lim lim    n 2n  2n  2n     2n  1  Ta có 2n Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  Cn3  Suy lim n  n  1  n   2n  2n  1 n  n  1  n   0,5 0 lim n  32 n   2n  un  2n  b) (2,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b3  c3 3abc  32 Tìm giá trị 2 nhỏ biểu thức P  a  b  c   a  b  b  c  c  a  Vậy lim Ta có a  b3  c  3abc 32   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  32  * Đặt t a  b  c, từ (*) suy t a  b  c   *   a  b  c    a  b  c    a  b  c   64 64 64  3 a  b2  c     a  b  c   t2 a b c t Ta chứng minh 2 a  b  b  c  c  a    a  b    b  c    a  c    **   Thật vậy,vì vai trị a, b, c bình đẳng nên giả sử a b c a  b  b  c  c  a  a  b    b  c    a  c  2  a  c  0,5 0,5 0,5 2 Ta có  **   a  c     a  b    b  c    a  c   2   a  c   a  b    b  c  2   a  b  b  c   a  b    b  c    a  b   b  c  0 ln Vì a  b  b  c  c  a 2 a  b  c  ab  bc  ca 2 32  a b c t 3P 3  a  b  c   a  b  b  c  c  a  64  64   64 8 3P   t  8   t t  8 2.2 t t 128 t t  t  t t t  128 Suy P  128 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 44 4 2 Đạt a  , b c  hoán vị a, b, c 3 - - - Hết - - Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5