To 22 40 nghe an b

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình cos x  cos x   sin x  sin x   x  x  x  y   y  y  x  1  b) Giải hệ phương trình  2  x   3x  y   x  y  0  x, y    Câu (2,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn CD cho CN 3 ND Viết phương trình đường thẳng AD, biết M (1; 2) N (2;  1) Câu (5,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân  AB / / CD    SBA SCA 900 Gọi M trung điểm cạnh SA O hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng đáy a) Chứng minh OA OB OC BC b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh cos   SA Câu (4,0 điểm) 2un1 un  n   với n 1 n2 n Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b3  c 3abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 P  a  b  c    a  b    b  c     a) Cho dãy số  un  , biết u1 3, - - - Hết - - Họ tên thí sinh…………………………………… Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – BẢNG B (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu (7,0đ) Đáp án a) (4,0 điểm) Giải phương trình cos x  cos x   sin x  sin x  (1) (1)  cos x  sin x cos x       cos  x   cos  x   3 3      x   x   k 2  3   x    x    k 2  3 x k 2    2 2  k    x  k  1,0 sin x 1,0 1,0 1,0 Vậy phương trình có nghiệm x k 2 , x  2 2 k , k   b) (3,0 điểm) Giải hệ phương trình  x  x  x  y   y  y  x  1 (1)   2  x   x  y   x  y  0 (2) Điều kiện: x  y  0  1   x, y    x  x  y   y  y  x    x  y  0  y  x    x  y   x  y  1 0    x  y 0 Với điều kiện x  y  0 suy x  y 0 không thỏa mãn Thay y  x  vào phương trình (2) ta phương trình x   x  x   x  x  0  x   3x   x  x  1  x  x  0 (3) Đặt a  x  x  0 , phương trình (3) trở thành  x a x  3x a  4a 0  ( x  a)( x  2a) 0    x  2a x 0   1  1 x a  x  x   x    x  y 2  x  x  0 2 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x 0   2  54 x  2a  2 x  x   x    x  y 7 7 x  x  0    2  1 x  x    Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) với    y    y     (2,0đ) 0,5 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho Số phần tử S A9 3024 (số) 0,5 Số phần tử không gian mẫu n    3024 Gọi A biến cố “số chọn số chia hết cho ” Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chia hết cho abcd  a 0, a b c d  Suy d 5 , chọn chữ số a, b, c có A8 336 cách chọn Nên n  A  336 (số) 0,5 0,5 n  A 336   0,5 n    3024 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC Gọi M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn CD cho CN 3 ND Viết phương trình đường thẳng AD, biết M (1; 2) N (2;  1) Xác suất cần tìm p  A   (2,0đ) A D M N B C Đặt BC a  0, ta có 5a 5a  a MN a      10   a 8  a 2 2 4   Mặt khác tam giác AMN cân N nên AN MN  10 Gọi A( x, y ) Khi    x     y  8  AM 2  x  y  x  y 3    2  x  y  x  y 5  AN  10   x      y  10 2 0,5 0,5 x 3 y      x  y  x  y 5  x 3 y    y 0      y   x 3 y    2  y  1  y   y  1  y 5 0,5  x  1, y 0   x 19 , y  5  +) Nếu A( 1,0) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y  0 19 , ) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường 5 thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y  25 0 +) Nếu A( (5,0đ) 0,5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân  AB / / CD    SBA SCA 900 Gọi M trung điểm cạnh SA O hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng đáy a) Chứng minh OA OB OC b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh BC cos   SA a) (3,0 điểm) S M I A B O D C Xét tam giác MOA, MOB, MOC có    MOA MOB MOC 900 1,0 MO chung MA MB MC  SA 1,0 Suy MOA MOB MOC nên OA OB OC 1,0 b) (2,0 điểm) Vì AB / / CD nên góc hai đường thẳng AB SC góc hai     sin SCD (*) đường thẳng CD SC , suy cos   cos SCD Mặt khác ABCD hình thang cân nên ta có OA OB OC OD Gọi điểm I hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng  SCD  0,5 0,5 Mặt khác lại có MS MD MC suy I tâm đường tròn ngoại tiếp SD SD SD     SCD Khi sin SCD (vì MID vuông I nên ID 2MD SA ID  MD ) Ta có MD MC  SA nên SDA vuông D 0,5 Từ (*) suy SD SA2  SD AD AD BC  cos    sin SCD       SA2 SA2 SA2 SA SA BC cos   (đpcm) SA 2un1 un  n   a) (2,0 điểm) Cho dãy số  un  , biết u1 3, với n 1 n2 n Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  Ta có: 2un1 un  n  2un1 un n     n2 n  n    n  1 n  n  1 n  n  1 (4,0đ)  2un1 un     n    n  1 n  n  1 n  n  2un1 un     n    n  1 n  n  n  1 n 0,5 0,5 0,5 un1 1  un 1       n    n  1 n   n  n 1 n  un 1 Đặt  n n   n , từ (*) ta có vn1  nên   cấp số nhân có   0,5 1 n công bội q  , v1  suy v1q  n 2  n  1  n  2n  n  n  1 un 1    un    n  1  0,5 n  n  1 n 2n 2n 2n b) (2,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b3  c 3abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 P  a  b  c    a  b    b  c      Ta có a  b3  c3  3abc 2   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  2  * Đặt t a  b  c, từ (*) suy t a  b  c   *   a  b  c   3 a  b  c    a  b  c   4 4  3 a  b2  c     a  b  c   t2 a b c t 0,5  a  b   b  c 2  a  b  b  c  2   a  b    b  c   a  c   a  c  2 2 2 2    a  b    b  c    a  b    b  c    a  c    2   a  b    b  c    a  b  c  ab  bc  ca   3t Ta có 2 4 4 3P 3  a  b  c    a  b    b  c     t    t  3t 4  4 t t  t t  3P    t       4 4 3 t 2 t 2  3 t  P Suy P  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 2 2 Đạt a  ,b  , c  3 2 2 a  ,b  , c  3 - - - Hết - - Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5 0,5 0,5