Bài Tính khoảng cách Một nhân viên kiểm lâm đường nghiêng góc 5 so với đường thẳng đứng để hướng tháp quan sát cao 100 feet Góc độ cao từ chân lên đỉnh tháp 40 Tính khoảng cách từ nhân viên kiểm lâm đến chân tháp vào thời điểm Bài giải: Giả sử nhân viên kiểm lâm thời điểm đứng điểm A , ta kí hiệu chân tháp B đỉnh tháp C BC 100 AB 119,175 tan A tan 40 Xét ABC vng B có A 40 BC 100 nên ft Vậy khoảng cách từ nhân viên đến chân tháp vào thời điểm xấp xỉ 119,175 ft Bài Tìm chiều cao núi Để đo chiều cao núi, nhân viên trắc địa nhìn đỉnh núi hai vị trí cách 900 mét nằm đường thẳng đến núi (quan sát hình minh họa) Lần quan sát người nhìn đỉnh núi với góc nâng 47 lần thứ hai nhìn đỉnh núi với góc nâng 35 Giả sử máy tồn đạc cao mét, tìm chiều cao h núi Bài giải: Ta mơ hình hóa tốn hình vẽ sau: với h chiều cao núi Ta có: C 180 47 133 Mặt khác: C A 35 180 A 180 35 133 12 a c 900.sin133 c 3165,8553 sin12 Áp dụng định lí sin ta có: sin A sin C (mét) b sin 35 b c sin 35 1815,8600 c Mà: (mét) Vậy chiều cao núi là: h 1815,8600 1817,860 (mét) Bài Xác định độ dài cáp treo trượt tuyết độ cao núi Tham khảo hình vẽ Để xác định chiều dài cáp treo trượt tuyết cần lắp đặt từ điểm P đến điểm Q , nhân viên trắc địa đo DPQ 25 , sau xa đoạn 1000 feet tới điểm R đo PRQ 15 a) Tính khoảng cách từ điểm P đến điểm Q ? b) Tính chiều cao QD núi ? Bài giải: a) Ta có: DPQ PQR QRP PQR DPQ QRP 25 15 10 Áp dụng định lý sin tam giác PQR ta có : PR PQ PR.sin QRP 1000.sin15 PQ 1490, 479 sin10 feet sin PQR sin QRP sin PQR feet Vậy khoảng cách hai điểm P Q 1490, 479 b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng PQD ta có : QD PQ.sin QPD 1490, 479.sin 25 629,904 feet Bài Xác định độ cao máy bay Một máy bay quan sát hai người cách 1000 ft mặt đất Máy bay bay đường nối liền hai người người quan sát theo góc nâng hình vẽ Hỏi độ cao máy bay so với mặt đất ? Bài giải: Mơ hình tốn hình vẽ: Trong PRI có: Trong RQI có: cot RPI PI PI RI cot 40 RI cot RQI QI QI RI cot 35 RI PQ RI cot 40 cot 35 Từ ta được: PQ PI QI RI cot 40 RI cot 35 RI PQ 1000 381, 694 ft cot 40 cot 35 cot 40 cot 35 Vậy độ cao máy bay so với mặt đất 381, 694 ft Bài Tìm độ nghiêng tháp nghiêng Pisa Tháp nghiêng Pisa tiếng có chiều cao 184,5 feet Góc nâng nhìn từ điểm Q cách chân tháp P khoảng 123 feet lên đỉnh R tháp có số đo 60 Tìm số đo góc RPQ (như hình vẽ) tìm khoảng cách từ đỉnh R tháp đến đường thẳng PQ 2 Cách 1: Theo định lí cosin, ta có: RP QP QR 2QP.QR.cos 60 2 184,5 123 QR 2.123.QR.cos 60 QR 212,1436 ft Áp dụng hệ định lí cosin, ta có: 2 PR PQ RQ 184, 123 212,1436 cos RPQ 0, 0918 RPQ 84 44 2.PR.PQ 2.184,5.123 Gọi H chân đường cao kẻ từ R đến PQ sin 60 Ta có RH RH RQ.sin 60 183, 722 RQ ft Vậy, khoảng cách từ đỉnh R tháp đến đường thẳng PQ RH 183, 722 ft Cách 2: Áp dụng định lí sin, ta có: sin PRQ sin RQP sin RQP sin 60 sin PRQ PQ 123 0,5774 PQ PR PR 184,5 PRQ 35 16 RPQ 84 44 Gọi H chân đường cao kẻ từ R lên PQ sin 60 Ta có RH RH RQ.sin 60 183, 722 RQ ft Vậy, khoảng cách từ đỉnh R tháp đến đường thẳng PQ RH 183, 722 ft Bài Tính tốn khoảng cách biển Hoa tiêu tàu biển phát bờ biển có hai hải đăng cách dặm Người xác định góc tạo thành đường ngắm hai hải đăng đường thẳng từ tàu vng góc với bờ 15 35 (xem hình minh họa) a) Con tàu cách hải đăng P bao xa? b) Con tàu cách hải đăng Q bao xa? c) Con tàu cách bờ bao xa? Bài giải: Ta kí hiệu điểm A, H hình vẽ H A Khi HPA 75 ; HQA 55 , PAQ 50 Suy AP PQ PQ.sin PQA 3.sin 55 AP 3, 2080 sin 50 sin PQA sin PAQ sin PAQ (dặm) AQ PQ PQ.sin APQ 3.sin 75 AQ 3, 7828 sin 50 sin APQ sin PAQ sin PAQ (dặm) AH AP.cos PAH 3, 2080.cos15 3,0987 (dặm) Vậy thuyền cách bờ 3, 0987 dặm Bài Thiết kế mái che Một mái hiên che cửa kính có độ cao 88 inch tạo với vách tường góc 50 Mục đích mái hiên che ánh nắng mặt trời chiếu vào nhà góc tia sáng mặt trời với mặt đất lớn 65 Xem hình vẽ Tính độ dài L mái hiên Bài giải: Ta có BAC 25 ; ACB 105 Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta có: AB BC AB.sin 25 BC 12, 001 sin105 sin ACB sin BAC Vậy chiều dài L mái hiên xấp xỉ 12,001 inch Bài Xác định độ cao máy bay Hai cảm biến đặt cách 700 feet dọc theo đường dẫn tới sân bay nhỏ Khi máy bay bay gần sân bay, góc nhìn từ cảm biến thứ đến máy bay 20 , từ cảm biến thứ hai đến máy bay 15 Xác định độ cao máy bay thời điểm Bài giải: Trong mặt phẳng tạo hai cảm biến máy bay, gọi vị trí cảm biến thứ nhất, thứ hai máy bay A , B , C ; gọi hình chiếu máy bay tới mặt đất D Suy AB 700 , CAD 20 , CBD 15 Trong tam giác vuông CAD , CBD ta có AD h.cot CAD h.cot 20 BD h.cot CBD h.cot15 BA BD AD h cot15 cot 20 h.0,9845 700 h.0,9846 h Vậy ta có 700 710,9486 0,9846 feet Bài Tránh bão nhiệt đới Một tàu du lịch chạy với tốc độ trung bình 15 hải lý/giờ từ San Juan, Puerto Rico, đến Barbados, Tây Ấn Độ, với khoảng cách 600 hải lý Để tránh bão nhiệt đới, thuyền trưởng cho thuyền rời San Juan theo hướng lệch góc 20 so với hướng thẳng đến Barbados Thuyền trưởng trì tốc độ 15 hải lý/giờ 10 giờ, sau thuyền trưởng cho tàu thẳng đến Barbados mà không gặp bão a) Tính góc mà thuyền trưởng quay đầu để thẳng đến Barbados? b) Tính từ sau rẽ, tốc độ trì mức 15 hải lý/giờ sau tàu đến Barbados? Bài giải: Gọi A : vị trí San Juan ; B : vị trí Barbados ; C : vị trí tàu sau 10 A B C D a) Ta có AB 600 hải lý; BAC 20 Quãng đường tàu 10 đầu AC 15.10 150 hải lý Áp dụng định lý cosin cho ABC : BC AB AC AB AC.cos BAC BC 461,9040 hải lý Khi cos ACB AC BC AB 0,8959 ACB 153, 6243 AC.BC BCD 180 ACB 26,3757 Vậy thuyền trưởng phải quay đầu góc xấp xỉ 26,3757 b) Thời gian kể từ sau rẽ t BC 30 15 48 phút Bài Điều chỉnh kế hoạch bay Trong chuyến bay thử nghiệm từ Chicago tới Louisville, khoảng cách 330 dặm, viên phi cơng vơ tình chọn hướng bay sai lệch góc 10 , hình vẽ a) Nếu máy bay trì tốc độ trung bình 220 dặm lỗi sai hướng bay phát sau 15 phút, viên phi cơng nên điều chỉnh hướng bay chếch lên theo góc để bay tới Lousville? b) Viên phi cơng nên trì tốc độ trung bình máy bay tổng thời gian chuyến bay 90 phút? Bài giải: 15 0.25 Đổi 15 phút 60 Đến phát lỗi sai, máy bay bay quãng đường AC 0, 25.220 55 (dặm) Khi đó, máy bay cịn cách Lousville khoảng BC AB AC AB AC.cos BAC 3302 552 2.330.55.cos10 276, 0009 (dặm) BC AC AC.sin A 55.sin10 sin B 0, 0346 BC 276, 0009 a) Theo định lí sin ta có: sin A sin B 1,983 B (vì AC BC B A 10 90 ) Do đó, viên phi cơng cần điều chỉnh hướng bay góc A B 11,198 để bay thẳng tới Louisville b) Để tổng thời gian chuyến bay 90 phút, viên phi cơng nên trì tốc độ trung bình tiếp 276.0004 220,8 theo máy bay 1,5 0.25 (dặm/giờ)