1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 11 – VẼ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐỂ TẠO THÀNH CÁC CẶP ĐOẠN THẲNG TỶ LỆ A Phương pháp: Trong tập vận dụng định lí Talét Nhiều ta cần vẽ thêm đường phlà đường thẳng song song với đường thẳng cho trước, Đây cách vẽ đường phụ ïhay dùng, nhờ mà tạo thành cặp đoạn thẳng tỉ lệ B Các ví dụ: 1) Ví dụ 1: Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy tương ứng điểm P, Q, R cho ba đường thẳng AP, BQ, CR cắt điểm AR BP CQ 1 Chứng minh: RB PC QA (Định lí Cê – va) A E Giải F Q R O Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng CR, BQ E, F Gọi O giao điểm AP, BQ, CR ARE AR AE = BC (a) BRC RB BOP BP OP = OA (1) FOA FA POC PC PO = AO (2) AOE AE B C P BP PC BP FA = AE PC AE (b) Từ (1) (2) suy ra: FA AQF CQ BC = FA (c) CQB AQ R AR BP CQ AE FA BC 1 Nhân (a), (b), (c) vế theo vế ta có: RB PC QA BC AE FA A AR BP CQ 1 RB PC QA * Đảo lại: Nếu bai đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy E Q 2) Ví dụ 2: Một đường thăng cắt cạnh( phần kéo dài cạnh) tam giác ABC P, Q, R B Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: P C TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com RB.QA.PC 1 RA.CQ.BP Chứng minh rằng: (Định lí Mê-nê-la-uýt) Giải: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt PR E Ta có RAE RB BP = AE (a) RBP RA AQE QA AE = CP (b) CQP QC Nhân vế theo vế đẳng thức (a) (b) ta coù RB QA BP AE = RA QC AE CP (1) RB PC QA BP AE PC PC = 1 RA BP QC AE CP BP BP Nhân hai vế đẳng thức (1) với ta có: RB.QA.PC 1 RA.CQ.BP Đảo lại: Nếu ba điểm P, Q, R thẳng hàng 3) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi I điểm cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K; đường thẳng qua I song song với AB cắt AC, AM theo thứ tự D, E Chứng minh DE = BK Giải A Qua M kẻ MN // IE (N AC).Ta coù: E DE AE DE MN = MN AN AE AN (1) N K MN // IE, maø MB = MC AN = CN (2) DE MN Từ (1) (2) suy AE CN (3) B D I M C MN CN MN AB CN AC (4) Ta laïi có AB AC DE AB Từ (4) (5) suy AE AC (a) BK AB Tương tự ta coù: KI AC (6) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì KI // AC, IE // AC nên tứ giác AKIE hình bình hành nên KI = AE (7) BK BK AB AE AC (b) Từ (6) (7) suy KI K DE BK Từ (a) vaø (b) suy AE AE DE = BK I 4) Ví dụ 4: F Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Chứng minh: IA KC = ID KB B M A E Giải Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, CD C N D Ta có AM = BM; DN = CN Vẽ AE, BF song song với CD AME = BMF (g.c.g) AE = BF IA AE BF = DN CN (1) Theo định lí Talét ta có: ID KB BF = CN (2) Củng theo định lí Talét ta có: KC IA KB = Từ (1) vaø (2) suy ID KC IA KC = ID KB 5) Ví dụ 5: Cho xOy , điểm A, B theo thứ tự chuyển động tia Ox, Oy cho 1 + OA OB k (k số) Chứng minh AB qua điểm cố định Giải Vẽ tia phân giác Oz xOy cắt AB C vẽ CD // OA B z (D OB) DOC = DCO = AOC D C COD cân D DO = DC CD BD CD OB - CD = OB OA OB Theo định lí Talét ta có OA Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn y zalo: O A x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CD CD 1 1 OA OB OA OB CD (1) 1 + OB k (2) Theo giả thiết OA Từ (1) (2) suy CD = k , không đổi Vậy AB qua điểm cố định C cho CD = k CD // Ox , D OB 6) Ví dụ 6: Cho điểm M di động đáy nhỏ AB hình thang ABCD, Gọi O giao điểm hai cạnh bên DA, CB Gọi G giao điểm OA CM, H giao điểm OB DM Chứng minh rằng: Khi M di động AB tổng I P O K OG OH + GD HC không đổi G Giải A Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ tự I K Theo định lí Talét ta có: H F B M OG OI OH OK OG OH OI OK IK + GD CD ; HC CD GD HC CD CD CD D OG OH IK + GD HC CD (1) Q C IK MP FO Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt IK, CD theo thứ tự P Q, ta có: CD MQ MQ không đổi FO khoảng cách từ O đến AB, MQ đường cao hình thang nên không đổi (2) OG OH FO + HC MQ không đổi Từ (1) (2) suy GD 7) Ví dụ 7: Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD Trên AB lấy điểm M, AC lấy điểm N cho BM = CN, gọi giao điểm CM BN O, Từ O vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC, AB E F E G A F M Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA N Giải O P AD phân giác nên BAD = DAF K EI // AD BAD = AEF (góc đồng vị) B D I C Q Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mà DAF OFC (đồng vị); AFE = OFC (đối đỉnh) Suy AEF AFE AFE cân A AE =AF (a) CF CI CF CA = CD CI CD (1) p dụng định lí Talét vào ACD , với I giao điểm EF với BC ta có CA CA BA BAC AD phân giác nên CD BD (2) CF BA Từ (1) (2) suy CI BD (3) Kẻ đường cao AG AFE BP // AG (P AD); CQ // AG (Q OI) BPD = CQI = 900 Gọi trung điểm BC K, ta có BPK = CQK (g.c.g) CQ = BP BPD = CQI (g.c.g) CI = BD (4) CF BA Thay (4) vào (3) ta có BD BD CF = BA (b) Từ (a) (b) suy BE = CA Bài tập nhà 1) Cho tam giác ABC Điểm D chia BC theo tỉ số : 2, điểm O chia AD theo tỉ số : gọi K KA giao điểm BO AC Chứng minh KC không đổi 2) Cho tam giác ABC (AB > AC) Lấy điểm D, E tuỳ ý thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi giao điểm DE, BC K, chứng minh : KE Tỉ số KD không đổi D, E thay đổi AB, AC (HD: Vẽ DG // EC (G BC) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC