Bài 2 giải tam giác câu hỏi

PHẦN A LÝ THUYẾT I Tính cạnh góc tam giác dựa tren số điều kiện cho trước Như ta biết, tam giác hoàn toàn xác định biết kiện sau: - Biết độ dài hai cạnh độ lớn góc xen hai cạnh đó; - Biết độ dài ba cạnh; - Biết độ dài cạnh độ lớn hai góc kề với cạnh Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa kiện cho trước  Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 15, AC 35, A 60 Tính cạnh BC (làm trịn kết đến hàng phần mười) góc B (làm trịn kết đến độ) Giải Áp dụng định lí cơsin tam giác ABC , ta có: BC  AB  AC  AB AC cos A 152  352  15 35 cos 60 925 Do BC  925 30, AB  BC  AC 152  925  352 cos B    AB  BC 15  925 Ta có:  ˆ Do B 95 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 6, BC 10, CA 14 Tính số đo góc B Giải Áp dụng định lí cơsin tam giác ABC , ta có: AB  BC  AC 62  102  142 cos B    0,5 AB BC 6 10 ˆ Do B 120 ˆ ˆ Ví dụ Cho tam giác ABC có BC 100, B 60 , C 40 Trang Tính góc A cạnh AB, AC (làm tròn kết đến hàng phần mười) tam giác Giải Ta có: Aˆ 180  ( Bˆ  Cˆ ) 180   60  40  80 AB BC CA   Áp dụng định lí sin sin C sin A sin B BC sin C 100 sin 40 AB   65,3 sin A sin 80 BC sin B 100 sin 60 AC   87,9 sin A sin 80 II Tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Khi đó, diện tích S tam giác ABC là: 1 S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2  Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 7,5; AC 15,5; A 75 Tính diện tích S tam giác ABC (làm tròn kết đến hàng phần mười) Giải 1 S  AB AC.sin A  7,5.15,5.sin 75 56,1 2 Ta có a b c BC a, CA b, AB c, p  Cho tam giác ABC có Khi đó, diện tích S tam giác ABC là: S  p( p  a )( p  b)( p  c ) Ví dụ Mảnh vườn hình tam giác gia đình bạn Nam có chiều dài cạnh MN 20 m, NP 28 m, MP 32 m Trang Hỏi diện tích mảnh vườn gia đình bạn Nam mét vng (làm trịn đến hàng phần mười)? Giải 20  28  32 p 40( m) Ta có: Diện tích mảnh vườn là: S  40(40  20)(40  28)(40  32) 277,1 m  III Áp dụng vào tốn thực tiễn Ví dụ Đứng vị trí A bờ biển, bạn Minh đo góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C  đảo 30 Sau di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A khoảng 100 m đo góc nghiêng  so với bờ biển tới vị trí C chọn 40 Tính khoảng cách từ vị trí C đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết đến hàng phần mười) Giải Cˆ 180   30  40  110 Xét tam giác ABC (ở hình trên) ta có: AC AB  Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: sin B sin C Do AC  AB sin B 100 sin 40  68, 4( m) sin C sin110  Xét tam giác vuông AHC , ta có: CH  AC sin 30 68, 0,5 34, 2( m) Vậy khoảng cách từ vị trí C đảo tối bờ biển khoảng 34, m Ví dụ Trong lần đến tham quan tháp Eiffel (ở Thủ đô Paris, Pháp), bạn Phương muốn ước tính độ cao tháp Sau quan sát, bạn Phương minh hoạ lại kết đo đạc hình Em giúp bạn Phương tính độ cao h tháp Eiffel (làm tròn kết đến hàng đơn vị) Giải  Xét tam giác ABD , sử dụng tính chất góc ngồi, ta có: ADB 70  50 20 Áp dụng định lí sin cho tam giác ABD , ta có: BD AB   sin BAD sin ADB 154 sin 50 BD  345( m) sin 20 Do Trang Xét tam giác vng BCD , ta có:  CD BD sin CBD 345 sin 70 324 (m) Vậy chiều cao h tháp Eiffel khoảng 324 m Ví dụ Để tính đường kính diện tích giếng nước cổ có dạng hình trịn, người ta tiến hành đo đạc   ba vị trí A, B, C thành giếng Kết đo là: BC 5 m , BAC 145 hình Diện tích giếng mét vuông (lấy  3,14 làm tròn kết đến hàng phần trăm)? Giải BC 2 R Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC , ta có: sin A BC R  4,36( m) sin A sin145 Do S  R 3,14 4,362 59, 69  m  Vậy diện tích giếng là: Tìm hiểu thêm Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a Gọi R, r , p S bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp, nửa chu vi diện tích tam giác ABC Cơng thức độ dài đường trung tuyến m ,m ,m Gọi a b c độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Ta có: b2  c a 2 c  a b2 a  b2 c ma2   mb   , mc    4 Chứng minh Gọi D trung điểm BC (Hình 33), ta có: a AD ma , BD DC  Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABD , ta có: a2 AD  AB  BD  AB BD cos ABD c   ca cos B  ABC Áp dụng định lí cơsin cho tam giác , ta có: 2 a c  b cos B  2ac Suy a a  c  b2 b  c a ma2 c     2 Chứng minh tương tự, ta có: c2  a b2 a  b2 c mb2   , mc   4 Cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Trang S abc r , R p 4S Ta có hai cơng thức sau: PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Giải tam giác Câu Giải tam giác ABC , biết a) c 14, A 60 , B 40 b) b 4,5, A 30 , C 75 Câu Giải tam giác ABC , biết a) c 35, A 40 , C 120 b) a 137,5, B 83 , C 57 Câu Câu Câu Câu Câu Câu  Giải tam giác ABC , biết a 6,3; b 6,3; C 54  Giải tam giác ABC , biết b 32 ; c 45 ; A 87  Giải tam giác ABC , biết a 7 ; b 23 ; C 130  Giải tam giác ABC , biết b 14 ; c 10 ; A 145 Giải tam giác ABC , biết a 14 ; b 18 ; c 20 Giải tam giác ABC , biết a 6 ; b 5 ; c 7 Giải tam giác ABC , biết a 6 ; b 7,3 ; c 4,8   Câu 10 Giải tam giác ABC , biết B 60 ; C 45 ; BC a Dạng Tính diện tích tam giác Câu Câu Cho tam giác ABC , biết h a) a 7, b 8, c 6 Tính S a b 7, c 5, cos A  Tính S R, r b) Câu Cho tam giác ABC , biết a 21, b 17, c 10 h a) Tính diện tích S tam giác ABC chiều cao a m b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp r trung tuyến a Câu o  Cho tam giác ABC , có A 60 , b 20, c 25 h a) Tính diện tích S chiều cao a b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R bán kính đường tròn nội tiếp r Dạng Áp dụng vào tốn thực tiễn Câu Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB 70 m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30 (như hình vẽ) Tính độ cao CH núi so với mặt đất Trang Câu Câu Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển đo từ hai đèn tín hiệu A B biển thể hình vẽ Nếu đèn tín hiệu cách 1536 m núi cao (tính gần sau dấu phẩy hai chữ số)? Một người quan sát đứng cách tháp 15m , nhìn thấy đỉnh tháp góc 45 nhìn chân tháp góc 15 so với phương nằm ngang hình vẽ Tính chiều cao h tháp Câu Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Câu Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hịa tiếng có đường xuyên biển nối từ Hòn Quạ đến đảo Điệp Sơn Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí C Hịn Quạ đến vị trí B Bè thay xuyên qua đường qua vị trí A đến vị trí B Nếu người chèo thuyền với vận tốc khơng đổi km/h thời gian biết AB 0, km, AC 0, km góc AB AC 60 ? Trang Câu Câu Trong lần khảo sát đảo thuộc quần đảo Trường Sa Việt Nam, nhà khoa học phát có đảo có dạng hình trịn, tâm đảo bị che bãi đá nhỏ mà nhà khoa học tới Các nhà khoa học muốn đo bán kính đảo này, biết nhà khoa học có dụng cụ thước thẳng dài Nêu cách để nhà khoa học tính bán kính đảo? Giả sử cần đo chiều cao AB tòa tháp với B chân tháp A đỉnh tháp Vì khơng thể đến chân tháp nên từ hai điểm C D có khoảng cách CD 30m cho ba   điểm B, C , D thẳng hàng người ta đo góc BCA 43 góc BDA 67 Hãy tính chiều cao AB tịa tháp  Câu Trong tam giác vng AHC ta có AH  AC.cos HAC 6,30.cos 35 5,16 (km) Từ hai vị trí A , B người ta quan sát (hình vẽ) Lấy C điểm gốc cây, D điểm A , B thẳng hàng với điểm H thuộc chiều cao CD Người ta đo AB 10m , HC 1, 7m ,  63 ,  48 Tính chiều cao Câu Một người quan sát đỉnh núi nhân tạo từ hai vị trí khác tịa nhà Lần người quan sát đỉnh núi từ tầng với phương nhìn tạo với phương nằm ngang 35 lần thứ hai người quan sát sân thượng tịa nhà với phương nằm ngang 15 (như hình vẽ) Tính chiều cao núi biết tòa nhà cao 60  m  Trang Dạng Nhận dạng tam giác Câu Cho tam giác ABC Chứng minh: 2 a) Góc A nhọn  a  b  c ; 2 b) Góc A tù  a  b  c ; 2 c) Góc A vuông  a b  c ; Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 3 Cho tam giác ABC thoả mãn a b  c Chứng minh tam giác có ba góc nhọn 4 Cho tam giác ABC thoả mãn a b  c Chứng minh ABC tam giác nhọn Cho tam giác ABC thoả mãn sin A 2sin B cos C Chứng minh ABC tam giác cân Cho tam giác ABC có cạnh a 2 3, b 2, C 30 Chứng minh ABC tam giác cân Tính h diện tích chiều cao a tam giác  cos B 2a  c  4a  c Xét dạng tam giác ABC thoả mãn sin B h  p  p  a Cho tam giác ABC có chiều cao a Chứng minh ABC tam giác cân 2 Chứng minh tam giác ABC vuông A 5ma mb  mc Cho tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r bán kính đường tròn bàng tiếp r ,r ,r r ra  rb  rc góc A góc góc A, B, C tương ứng a b c Chứng minh vuông a  b3  c c Câu 10 Cho tam giác ABC thoả mãn a  b  c Chứng minh góc C 60 Câu 11 Cho tam giác ABC biết a 7, b 8, c 5 Chứng minh tam giác ABC có góc 60 Câu c   a  b  c  a  a 2b  c 0 Câu 12 Cho tam giác ABC thoả mãn Chứng minh tam giác ABC có góc 60 120 a  b  c 2  a cos A  b cos B  c cos C  Câu 13 Cho tam giác ABC thoả mãn Chứng minh tam giác ABC A 60 , a 10, r  3 Chứng minh tam giác ABC Câu 14 Cho tam giác ABC có Trang a  c3  b3 sin A.sin C  b Câu 15 Xét tam giác ABC thỏa mãn a  c  b ma  mb  mc  R Câu 16 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC Câu 17 Cho tam giác ABC thỏa mãn sin C 2sin B cos A Chứng minh tam giác ABC cân sin B  sin C sin A  cos B  cos C Chứng minh tam giác ABC vuông Câu 18 Cho tam giác ABC thỏa mãn Câu 19 Nhận dạng tam giác ABC trường hợp sau: a) a sin A  b sin B  c sin C ha  hb  hc cos A  cos B   cot A  cot B  2 b) sin A  sin B PHẦN C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng Giải tam giác, Đường trung tuyến Câu Tam giác ABC có AB 9 cm, BC 15 cm, AC 12 cm Khi đường trung tuyến AM tam giác có độ dài A 10 cm B cm C 7,5 cm D cm Câu Cho tam giác ABC có AB 3, BC 5 độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài AC A 11 Câu C B D 10  Cho ABC vuông A, biết C 30 , AB 3 Tính độ dài trung tuyến AM ? A B C D Câu Tam giác ABC có a 6, b 4 2, c 2 M điểm cạnh BC cho BM 3 Độ dài đoạn AM bao nhiêu? 108 A B C D Câu Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH BK hai đường cao, HK  , diện tích tứ giác ABHK lần diện tích ta giác CHK Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A Câu D 14 Cho hình bình hành ABCD có AB 4 cm; BC 5 cm; BD 7 cm Độ dài đoạn AC A Câu C B cm ? (Tính xác đến hàng phần trăm) 6, 25  cm  B 5,74 cm  C 5,67 cm  D 5,93 cm   Cho tam giác ABC cân A biết A 120 AB  AC a Lấy điểm M cạnh BC cho BM  BC Tính độ dài AM Trang A Câu a 3 11a AM  B C AM  a D AM  a Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E trung điểm cạnh BC F trung điểm cạnh AE Tính độ dài đoạn thẳng DF A Câu AM  DF  a 13 B DF  a C DF  a D Cho tam giác ABC cân A có cạnh bên a nội tiếp đườn tròn tam giác lớn Bˆ A 90 B 120 C 30 DF  3a  O;  Để diện tích D 60 Độ dài đường cao AH bằng: 72 72 C 97 D 97 AC 8; AB 15;cos A  Câu 10 Cho tam giác ABC có 72 72 A 79 B 97   Câu 11 Cho tam giác ABC có a 109 , B 33 24 , góc C 66 59 Chu vi tam giác ABC gần số sau đây? A 136 B 227 C 272 D 372  Câu 12 Cho ABC có AB 2 ; AC 3 ; A 60 Tính độ dài đường phân giác góc A tam giác ABC 12 A B C D 151 , (với ma độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A Câu 13 Cho tam giác ABC , có cạnh AC 8 , AB 6 Tính độ dài BC A a 6 B a 9 C a 49 D a 7 ma   Câu 14 Cho tam giác ABC có A 60 ,cạnh a 30 bán kính đường trịn nội tiếp r 5 Tính tổng độ dài hai cạnh lại b, c tam giác ABC A 30 B 60 C 50 D 90   Câu 15 Cho tam giác ABC có B 45 , C 75 phân giác AD 4 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 6 Câu 16 Tam giác ABC có A Trang 10 73 B 6 cos  A  B   B C   D 2 , AC 6 , BC 5 Tính độ dài cạnh AB C 55 Lời giải D Vì tam giác ABC ta có A  B bù với góc C nên AB  AC  BC  AB.BC.cos C  62  52  2.6.5 cos  A  B   1  cos C  5 7 Câu 17 Tam giác ABC có BC 12 , CA 9 , AB 6 Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM 8 Tính độ dài đoạn thẳng AM A 94 B 106 C 166 D 34 Câu 18 Cho tam giác ABC cạnh 2a Một điểm I thuộc miền tam giác ABC Tính tồng khoảng cách từ điểm I đến ba cạnh tam giác? a A B a 3a C D 2a · Câu 19 Tam giác ABC có trọng tâm G Hai trung tuyến BM = , CN = BGC = 120° Tính độ dài cạnh AB A AB = 11 Dạng Diện tích tam giác B AB = 13 Câu 20 Chọn công thức đáp án sau: 1 S  bc sin A S  ac sin A 2 A B C AB = 11 D AB = 13 S  bc sin B C S  bc sin B D  Câu 21 Cho hình thoi ABCD có cạnh a Góc BAD 30 Diện tích hình thoi ABCD a2 A Câu 22 a2 B a2 C D a Tính diện tích tam giác ABC biết AB 3, BC 5, CA 6 A 56 48 B C Câu 23 Cho ABC có a 6, b 8, c 10 Diện tích S tam giác là: A 48 B 24 C 12 D D 30 Câu 24 Cho ABC có a 4, c 5, B 150 Diện tích tam giác là: A B C 10 D 10 Câu 25 Một tam giác có ba cạnh 13,14,15 Diện tích tam giác bao nhiêu? A 84 B 84 C 42 D 168 Câu 26 Cho điểm A(1;  2), B( 2;3), C (0;4) Diện tích ABC bao nhiêu? 13 A B 13 C 26 13 D Câu 27 Cho tam giác ABC có A(1;  1), B(3;  3), C (6;0) Diện tích ABC A 12 B C D Trang 11 Câu 28 Cho tam giác ABC có a 4, b 6, c 8 Khi diện tích tam giác là: A 15 B 15 C 105 15 D  Câu 29 Cho tam giác ABC Biết AB 2 ; BC 3 ABC 60 Tính chu vi diện tích tam giác ABC  A B  3 C D  19 Câu 30 Tam giác ABC có trung tuyến A 72 B 144 3 ma 15 , mb 12 , mc 9 Diện tích S tam giác ABC C 54 D 108 b 7; c 5;cos A  Độ dài đường cao tam giác  ABC Câu 31 Cho tam giác  ABC có A B C D 80  Câu 32 Cho tam giác ABC có AB 2a; AC 4a BAC 120 Tính diện tích tam giác ABC ? A S 8a B S 2a C S a D S 4a Câu 33 Cho tam giác ABC cạnh a Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC a A Câu 34 a C a D Cho tam giác ABC có chu vi 12 bán kính đường trịn nội tiếp Diện tích tam giác ABC A 12 Câu 35 a B B C D 24 Cho tam giác ABC cạnh 2a Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2a 4a 8a 6a A B C D Câu 36 Cho tam giác ABC có BC  , AC 2 AB   Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: A Câu 37 B C D Cho tam giác ABC có AB 3 , AC 4 , BC 5 Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác A B C D Câu 38 Cho ABC có S 84, a 13, b 14, c 15 Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác là: A 8,125 B 130 C D 8,5 Câu 39 Cho ABC có S 10 , nửa chu vi p 10 Độ dài bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác là: Trang 12 A B C D Câu 40 Một tam giác có ba cạnh 26, 28,30 Bán kính đường trịn nội tiếp là: A 16 B C D Câu 41 Một tam giác có ba cạnh 52,56,60 Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 65 A B 40 C 32,5 65 D Câu 42 Tam giác với ba cạnh 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là? 13 11 A B C D Câu 43 Tam giác với ba cạnh 5;12;13 có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bao nhiêu? A B 2 C D Câu 44 Tam giác với ba cạnh 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bao nhiêu? A B C D Câu 45 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB 4, BC 6 , M trung điểm BC , N điểm cạnh CD cho ND 3NC Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN A Câu 46 B D C   Cho tam giác ABC ;gọi D điểm thỏa mãn DC 2 BD Gọi R r bán kính R đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ADC Tính tỉ số r A 57 B 5 C 5 D 0 Câu 47 Cho tam giác ABC có B 60 , A 30 , cạnh BC 12 Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC gần với số nhất? A 4, B 4,9 C 4,8 D 4, Câu 48 Cho tam giác ABC có góc A 60 , cạnh a 30 , bán kính đường trịn nội tiếp r 5 Tính chu vi tam giác ABC A 60  B 30  10 C 80 D 90 2 Câu 49 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c Biết a + b = 5c Góc hai đường trung tuyến AM , BN tam giác ABC bao nhiêu? A 90 Dạng Bài toán thực tế B 60 C 45 D 30 Câu 50 Hai tàu thuỷ xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu thứ chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h Hỏi sau hai tàu cách km ? Trang 13 A 13 B 20 13 C 10 13 D 15 Câu 51 Khoảng cách từ A đến B khơng thể đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta o xác định điểm C mà từ nhìn A B góc 78 24' Biết CA 250 m, CB 120 m Khoảng cách AB bao nhiêu? A 266 m B 255 m C 166 m D 298 m Câu 52 Từ đỉnh tháp chiều cao CD 80 m , người ta nhìn hai điểm A B mặt đất góc 0 nhìn 72 12' 34 26' Ba điểm A, B, D thẳng hàng Tính khoảng cách AB ? A 71m B 91m C 79 m D 40 m Câu 53 Khoảng cách từ A đến B đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta xác định điểm C mà từ nhìn A B góc 56 16' Biết CA 200 m , CB 180 m Khoảng cách AB bao nhiêu? A 180 m B 224 m C 112 m Câu 54 D 168 m Trong khai quật ngơi mộ cổ, nhà khảo cổ học tìm đĩa cổ hình trịn bị vỡ, nhà khảo cổ muốn khơi phục lại hình dạng đĩa Để xác định bán kính đĩa, nhà khảo cổ lấy điểm đĩa tiến hành đo đạc thu kết hình vẽ ( AB 4,3 cm; BC 3, cm; CA 7,5 cm) Bán kính đĩa (kết làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy) A 5,73 cm Câu 55 B 6,01cm C 5,85cm D 4,57cm Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất 0   cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Ta đo AB = 24m, CAD 63 ; CBD 48 Chiều cao h khối tháp gần với giá trị sau đây? A 61,4 m B 18,5 m C 60 m D 18 m Câu 56 Từ hai vị trí A, B tịa nhà người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị 195m 234m 165m 135m A B C D Trang 14