Bài 2 giải tam giác đáp án

PHẦN A LÝ THUYẾT I Tính cạnh góc tam giác dựa tren số điều kiện cho trước Như ta biết, tam giác hoàn toàn xác định biết kiện sau: - Biết độ dài hai cạnh độ lớn góc xen hai cạnh đó; - Biết độ dài ba cạnh; - Biết độ dài cạnh độ lớn hai góc kề với cạnh Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa kiện cho trước  Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 15, AC 35, A 60 Tính cạnh BC (làm trịn kết đến hàng phần mười) góc B (làm trịn kết đến độ) Giải Áp dụng định lí cơsin tam giác ABC , ta có: BC  AB  AC  AB AC cos A 152  352  15 35 cos 60 925 Do BC  925 30, AB  BC  AC 152  925  352 cos B    AB  BC 15  925 Ta có:  ˆ Do B 95 Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 6, BC 10, CA 14 Tính số đo góc B Giải Áp dụng định lí cơsin tam giác ABC , ta có: AB  BC  AC 62  102  142 cos B    0,5 AB BC 6 10 ˆ Do B 120 ˆ ˆ Ví dụ Cho tam giác ABC có BC 100, B 60 , C 40 Trang Tính góc A cạnh AB, AC (làm tròn kết đến hàng phần mười) tam giác Giải Ta có: Aˆ 180  ( Bˆ  Cˆ ) 180   60  40  80 AB BC CA   Áp dụng định lí sin sin C sin A sin B BC sin C 100 sin 40 AB   65,3 sin A sin 80 BC sin B 100 sin 60 AC   87,9 sin A sin 80 II Tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Khi đó, diện tích S tam giác ABC là: 1 S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2  Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 7,5; AC 15,5; A 75 Tính diện tích S tam giác ABC (làm tròn kết đến hàng phần mười) Giải 1 S  AB AC.sin A  7,5.15,5.sin 75 56,1 2 Ta có a b c BC a, CA b, AB c, p  Cho tam giác ABC có Khi đó, diện tích S tam giác ABC là: S  p( p  a )( p  b)( p  c ) Ví dụ Mảnh vườn hình tam giác gia đình bạn Nam có chiều dài cạnh MN 20 m, NP 28 m, MP 32 m Trang Hỏi diện tích mảnh vườn gia đình bạn Nam mét vng (làm trịn đến hàng phần mười)? Giải 20  28  32 p 40( m) Ta có: Diện tích mảnh vườn là: S  40(40  20)(40  28)(40  32) 277,1 m  III Áp dụng vào tốn thực tiễn Ví dụ Đứng vị trí A bờ biển, bạn Minh đo góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C  đảo 30 Sau di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A khoảng 100 m đo góc nghiêng  so với bờ biển tới vị trí C chọn 40 Tính khoảng cách từ vị trí C đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết đến hàng phần mười) Giải Cˆ 180   30  40  110 Xét tam giác ABC (ở hình trên) ta có: AC AB  Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: sin B sin C Do AC  AB sin B 100 sin 40  68, 4( m) sin C sin110  Xét tam giác vuông AHC , ta có: CH  AC sin 30 68, 0,5 34, 2( m) Vậy khoảng cách từ vị trí C đảo tối bờ biển khoảng 34, m Ví dụ Trong lần đến tham quan tháp Eiffel (ở Thủ đô Paris, Pháp), bạn Phương muốn ước tính độ cao tháp Sau quan sát, bạn Phương minh hoạ lại kết đo đạc hình Em giúp bạn Phương tính độ cao h tháp Eiffel (làm tròn kết đến hàng đơn vị) Giải  Xét tam giác ABD , sử dụng tính chất góc ngồi, ta có: ADB 70  50 20 Áp dụng định lí sin cho tam giác ABD , ta có: BD AB   sin BAD sin ADB 154 sin 50 BD  345( m) sin 20 Do Trang Xét tam giác vng BCD , ta có:  CD BD sin CBD 345 sin 70 324 (m) Vậy chiều cao h tháp Eiffel khoảng 324 m Ví dụ Để tính đường kính diện tích giếng nước cổ có dạng hình trịn, người ta tiến hành đo đạc   ba vị trí A, B, C thành giếng Kết đo là: BC 5 m , BAC 145 hình Diện tích giếng mét vuông (lấy  3,14 làm tròn kết đến hàng phần trăm)? Giải BC 2 R Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC , ta có: sin A BC R  4,36( m) sin A sin145 Do S  R 3,14 4,362 59, 69  m  Vậy diện tích giếng là: Tìm hiểu thêm Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a Gọi R, r , p S bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp, nửa chu vi diện tích tam giác ABC Cơng thức độ dài đường trung tuyến m ,m ,m Gọi a b c độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Ta có: b2  c a 2 c  a b2 a  b2 c ma2   mb   , mc    4 Chứng minh Gọi D trung điểm BC (Hình 33), ta có: a AD ma , BD DC  Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABD , ta có: a2 AD  AB  BD  AB BD cos ABD c   ca cos B  ABC Áp dụng định lí cơsin cho tam giác , ta có: 2 a c  b cos B  2ac Suy a a  c  b2 b  c a ma2 c     2 Chứng minh tương tự, ta có: c2  a b2 a  b2 c mb2   , mc   4 Cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Trang S abc r , R p 4S Ta có hai cơng thức sau: PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Giải tam giác Câu Giải tam giác ABC , biết a) c 14, A 60 , B 40 b) b 4,5, A 30 , C 75 Lời giải a) Ta có Có b C 180   A  B  180   60  40  80 c sin B 14sin 40 c sin A 14sin 60  9,1 a  12,3 sin C sin 80 sin C sin 80 b) Ta có B 180  ( A  C ) 180  (30  75 ) 75 B C nên tam giác cân A Suy c b 4,5 Câu a b sin A 4,5sin 30  2,3 sin B sin 75 Giải tam giác ABC , biết a) c 35, A 40 , C 120 b) a 137,5, B 83 , C 57 Lời giải a) Ta có B 180  ( A  C ) 180  (40  120 ) 20 a b c   Từ sin A sin B sin C , ta suy a c sin A c sin B 35.0, 43 26; a   13,8 sin C sin C 0,87 b) Ta có A 180  ( B  C ) 180  (83  57 ) 40 a b c   Từ sin A sin B sin C , ta suy b Câu a sin B 137,5.0,9925 a sin C 137, 5.0,8387  212,3; c   179, sin A 0, 6427 sin A 0, 6427  Giải tam giác ABC , biết a 6,3; b 6,3; C 54 Lời giải Ta có a b 6,3 nên tam giác ABC cân C Trang A B  180  54 63 Suy Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có c a a sin C 6,3.sin 54   c  c 5, 72 sin C sin A sin A sin 63   Vậy A B 63 , c 5, 72 Câu  Giải tam giác ABC , biết b 32 ; c 45 ; A 87 Lời giải Áp dụng định lí cơ-sin, ta có a  b  c  2bc cos A  322  452  2.32.45.cos87 53,84    Vì b  c  a nên B  C  A , suy tam giác ABC có ba góc nhọn Áp dụng định lí sin, ta có a b 32.sin 87   sin B  0, 594 sin A sin B 53,84    180  A  B  57 C  Suy B 36 ,   Vậy a 53,84 , B 36 , C 57 Câu  Giải tam giác ABC , biết a 7 ; b 23 ; C 130 Lời giải Áp dụng định lí cơ-sin, ta có c  a  b  2ab cos C   232  2.7.23.cos130 28, 02    Vì C 130 nên A , B góc nhọn Áp dụng định lí sin ta có a c a sin C 7.sin130   sin A   sin A  0,191 sin A sin C c 28, 02    180  A  C  39 B  Suy A 11 ,   Vậy c 28, 02 , A 11 , B 39 Câu  Giải tam giác ABC , biết b 14 ; c 10 ; A 145 Lời giải Áp dụng định lí cơ-sin, ta có Trang a  b  c  2bc cosA  142  102  2.14.10.cos145 22,92    Vì A 145 nên C , B góc nhọn Áp dụng định lí sin ta có a b b sin A 14.sin145   sin B   sin B  0,35 sin A sinB a 22,92    180  A  B  14 C  Suy B 21 ,   Vậy c 22,92 , B 21 , C 14 Câu Giải tam giác ABC , biết a 14 ; b 18 ; c 20 Lời giải Ta có cos A  b  c  a 182  202  142 11    A 43 2bc 2.18.20 15 a  c  b 142  202  182 17  61 cos B     B 2ac 2.14.18 35 Khi    180  A  B  76 C    Vậy A 43 , B 61 , C 76 Câu Giải tam giác ABC , biết a 6 ; b 5 ; c 7 Lời giải Ta có cos A  b  c  a 52   42 29    A 34 2bc 2.5.7 35 cos B  a  c  b   52  44    B 2ac 2.4.7 Khi    180  A  B  102 C    Vậy A 34 , B 44 , C 102 Câu Giải tam giác ABC , biết a 6 ; b 7,3 ; c 4,8 Lời giải Ta có Trang cos A  b  c  a 7,32  4,82  62 4033  55    A 2bc 2.7,3.4,8 7008 cos B  a  c  b 62  4,82  7,32 115  84    B 2ac 2.6.4,8 1152 Khi    180  A  B  41 C    Vậy A 55 , B 84 , C 41   Câu 10 Giải tam giác ABC , biết B 60 ; C 45 ; BC a Lời giải Ta có A 180   60  45  75 Áp dụng định lí sin, ta có b a a sin B   b  b 0,897 a sin B sin A sin A Tương tự ta có c a sin C 0, 732a sin A  Vậy A 75 , b 0,897 a , c 0, 732a Dạng Tính diện tích tam giác Câu Cho tam giác ABC , biết h a) a 7, b 8, c 6 Tính S a b 7, c 5, cos A  Tính S R, r b) Lời giải a) Áp dụng công thức Hê-rông với Ta có p S  p  p  a  p  b  p  c  a  b  c 21  2 21  21   21   21  21 15      8   6  2    21 15 15 S  aha   7.ha   2 Vì 16 sin A 1  cos A 1    sin A  25 25 (vì sin A  ) b) Ta có 1 S  bc sin A  7.5 14 2 Mà a b  c  2bc cos A 7  52  2.7.5 32  a 4 Theo Định lí Cơ-sin ta có 2S 28 S  aha     a 2 Từ Trang a a 2 R  R    sin A 2sin A Theo định lí sin: S 14 14 S  pr  r     p   12   2 Ta có Câu Cho tam giác ABC , biết a 21, b 17, c 10 h a) Tính diện tích S tam giác ABC chiều cao a m b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp r trung tuyến a Lời giải a  b  c 21  17  10 p  24 2 a) Ta có Theo cơng thức Hê-rơng, ta có S  p  p  a   p  b   p  c   24  24  21  24  17   24  10  84 Do đó:  2S 2.84  8 a 21 S  pr  r  b) Ta có Độ dài trung tuyến Câu S 82  3,5 p 24 ma2  b  c a 17  102 212 337     84, 25 4 o  Cho tam giác ABC , có A 60 , b 20, c 25 h a) Tính diện tích S chiều cao a b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R bán kính đường trịn nội tiếp r Lời giải 1 S  bc sin A  20.35 175 2 a) Ta có a b  c  2bc cos A 202  352  2.20.35 925 Hơn Vậy a  925 30, 41 S 350 S  aha    19,94 a 925 Từ công thức a a 925 2 R  R   17,56 2sin A b) Từ công thức sin A 20.30 2S bc sin A a b c r   7,10 p S  pr a  b  c a  b  c 925  20  35 Từ công thức với ta có Dạng Áp dụng vào tốn thực tiễn Câu Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB 70 m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30 (như hình vẽ) Tính độ cao CH núi so với mặt đất Trang Lời giải C 15°30' B I 70 m 30° A Cách 1: CH CH  AH  AH tan 30 + Ta có: CI CI CH  70  tan CBI   BI   BI tan15 30 tan15 30 + Lại có: CH CH  70 70     + Do AH BI nên tan 30 tan15 30 tan 30  tan15 30  tan CAH  CH  + Vậy Cách 2: 70.tan 30 134, m tan 30  tan15 30  + Ta có: ABC 90 15 30105 30 ACB 180  ABC  BAC  180  60  105 3014 30 + Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: AC AB 70.sin105 30   AC    sin14 30 sin ABC sin ACB CH 70.sin105 30  sin CAH   CH  AC.sin 30  sin 30 134, m  AC sin14  30 + Lại có: Trang 10 H