5 hình học 12

Trần Quang Huy  HÌNH HỌC 12 Trang 101 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN A Những điều cần nhớ khối đa diện Hình đa diện – Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: +) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung +) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Khối đa diện lồi: Khối đa diện ( H ) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm ( H ) ln ln thuộc ( H ) Khối đa diện  p; q khối đa diện lồi có tính chất: – Khối đa diện loại +) Mỗi mặt đa giác p cạnh +) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt  3;3 ,  4;3 ,  3; 4 ,  5;3  3,5 – Chỉ có năm loại khối đa diện Đó loại Tứ diện 20 mặt Lập phương Đa diện cạnh a Đỉnh Cạn h Mặ t Tứ diện {3;3} Lập phương {4;3} 12 Bát diện {3; 4} 12 Mười hai mặt {5;3} 20 30 12 Hai mươi mặt {3;5} 12 30 20 Bát diện Thể tích V V 2a 12 V a 2a V 15  V a 15  5 V a 12 12 mặt Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R a R a R a R  15 R a 10  20 R a Phép đối xứng qua mặt phẳng – Định nghĩa: +) Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P) phép biến hình, biến điểm thuộc ( P) thành biến điểm M khơng thuộc ( P) thành điểm M  cho ( P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MM  +) Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( P) biến hình ( H ) thành ( P) gọi mặt phẳng đối xứng hình ( H ) Trang 102 – Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp:  Hình hộp chữ nhật có kích thức khác nhau: có mặt phẳng đối xứng  Hình lăng trụ tam giác đều: có mặt phẳng đối xứng  Hình chóp tam giác (cạnh bên cạnh đáy khơng bằng): có mặt phẳng đối xứng  Tứ diện đều: có mặt phẳng đối xứng  Hình chóp tam giác đều: có mặt phẳng đối xứng Trang 103  Hình bát diện đều: có mặt phẳng đối xứng  Hình lập phương: có mặt phẳng đối xứng B Cơng thức tính thể tích Dạng hình chóp Cho khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên b Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc mặt bên đáy  Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , góc cạnh bên đáy  Trang 104 Cơng thức Vchóp  Bh Vlăng tru Bh  VS ABC  VS ABC VS ABC a 3b  a 12 a  tan  24 a3  tan  12 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc với với S SAB S1 , AB c, BC a, CA b S SBC S2 , S SCA S3 Cho tứ diện ABCD có:  S ABC S1 , S ABD S , AB a    ABC  ,  ABD    Cho hình chóp S ABC có:  SA a, SB b, SC c     ASB  , BSC  , CSA   AB a, CD b   d  AB, CD  d   AB, CD   Cho tứ diện ABCD có:  S ABC Cho hình chóp V 12   b2  c   b2  c  a   c  a  b  2 S1.S S3 V V V  abd sin  có: V S ABC S1S2 sin  3a abc  cos   cos   cos   cos  cos  cos   SA a, SB b, SC c     SAB  ,  SAC        ASB  , CSA Cho hình chóp SA  a , SB  b , SC  c     SBC  ,  ABC        SCA  ,  ABC       SAB  ,  SAC    a abc sin  sin  sin  có: 2 S ABC V  a.cot   b.cot   c.cot   4a tan  Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên a góc mặt bên đáy  VS ABCD  Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a góc cạnh bên đáy    45 ;90  VS ABC    tan   a tan   V Cho hình lăng trụ tích V Thể tích tứ diện tạo điểm khơng đồng phẳng Cho khối hộp ABCD ABC D tích V V Thể tích tứ diện tạo điểm không đồng phẳng V Thể tích tứ diện tạo hai đường chéo hai mặt phẳng đối diện C Tỉ số thể tích Cắt khối chóp mặt phẳng song song với đáy Trang 105    song song với đáy Xét khối chóp S A1 A2 An tích V Mặt phẳng SM k    chia khối chóp ban đầu SA SA 1 M cắt cạnh thỏa mãn Khi thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh S tích V  V k V Cắt khối lăng trụ tam giác mặt phẳng    cắt cạnh Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích V Mặt phẳng AM BN CP  x,  y, z AA, BB, CC  M , N , P cho AA BB CC  Khi VM ABC x VM BMPN y  z VABC MNP x  y  z    V V V Lưu ý: Các công thức với lăng trụ đứng lăng trụ thường Cắt khối hộp mặt phẳng    cắt bốn cạnh bên AA, BB, CC , DD khối hộp Xét mặt phẳng ABCD ABC D bốn điểm M , N , P, Q cho: AM BN CP DQ  x,  y, z, t AA BB CC  DD VABCD.MNPQ x  y  z t  Khi x  z  y  t VABCD ABC D Cắt khối chóp tứ giác (đáy hình bình hành) mặt phẳng    cắt cạnh Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Mặt phẳng SA, SB, SC , SD bốn điểm M , N , P, Q cho AM BN CP DQ  x,  y, z, t AA BB CC  DD VS MNPQ xyzt  1 1  1 1          V x z y t  x y z t S ABCD Khi Trang 106 CHƯƠNG II MẶT NĨN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ A Mặt nón, mặt trụ Mặt S l Mặt nón h l A r l B O M Hình thành: Quay SOM vng O quanh trục SO , ta mặt nón Mặt trụ Các yếu tố Đường cao: h SO Trục: SO Bán kính đáy: r OA OB OM Đường sinh: l SA SB SM  Góc đỉnh: ASB Thiết diện qua trục: SAB cân S    SBO SMO l;đáy  SAO Góc Cơng thức liên quan Chu vi đáy: p 2 r Đường cao: h OO l Đường sinh: l  AD BC h Bán kính đáy: r OA OB OC OD Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O, O Chu vi đáy: p 2 r S  r Diện tích đáy: đáy V h.Sđáy h. r Thể tích: Diện tích xung quanh: S xq 2 rh Diện tích đáy: Sđáy  r 1 V  h.Sđáy  h. r 3 Thể tích: S  rl Diện tích xung quanh: xq Diện tích tồn phần: Stp S xq  Sđáy  rl   r Thiết diện qua trục: hình chữ nhật Diện tích tồn phần: ABCD Stp S xq  Sđáy 2 r.h  2 r Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ B Mặt cầu Dạng 1: Kiến thức Mặt Các yếu tố I Tâm: Bán kính: R IA IB IM Đường kính: AB 2 R Cơng thức liên quan Diện tích mặt cầu: S 4 R I; R Thiết diện qua tâm mặt cầu:  Chu vi đường tròn lớn: p 2 r Thể tích khối cầu: V 4 R 3 Quay đường tròn tâm I , AB R bán kính quanh trục AB , ta có mặt cầu Mặt cầu ngoại tiếp đa diện: mặt Mặt cầu nội tiếp đa diện: mặt cầu qua tất đỉnh đa diện cầu tiếp xúc với tất mặt đa diện Dạng 2: Tính Rn bán kính mặt cầu ngoại tiếp, Rt bán kính đường trịn nội tiếp khối đa diện Giả thiết Kết luận Trang 107 SA   A1 A2 An  SA1 h Cho khối chóp S A1 A2 An có , R  A A A  đáy bán kình đường trịn ngoại tiếp đáy n Cho hình chóp S ABCD có đỉnh A, B, D nhìn SC góc vng Cho khối tứ diện vng OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Cho khối lập phương ABCD ABC D có cạnh a đáy Rn  R Rn   h    2 SC OA2  OB  OC Rn  a a Rn  Rt  ; Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Rn  a2  b2  c2 Cho khối tự diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c Rn  a  b2  c R Cho khối chóp có mặt bên vng góc đáy, gọi đáy bán kính ngoại tiếp đáy; a tương ứng độ dài đoạn giao tuyến mặt bên đáy,  góc đỉnh mặt bên nhìn xuống đáy Rb bán kính ngoại tiếp mặt bên đáy Rn  R Rn  Rđáy  Rb2  Cho khối chóp khối chóp có độ dài cạnh bên 2 đáy h a  R a , gọi chiều cao khối chóp a    cot   2  Rn  a2 a2 2h Dạng 3: Ví trí tương đối mặt cầu VÍ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU S O; r  P OH   P  h OH d  O;  P   Cho mặt cầu  mặt phẳng   Kẻ H Khi P  S; O  Nếu h  r    Với mặt phẳng ! H :  P    S ; O  H Nếu h r Nếu h  r  r  r  h2 Với Cho mặt cầu P    S ; O   H ; r  S  O; r  với d OH d  O;   đường thẳng  Kẻ OH   H Khi Trang 108    S;O Nếu d  r đường thẳng ! H :    S ; O  H Nếu d r   tiếp xúc với S  O; r  H    S ; O   M ; N  Nếu d  r O    MN r     S ; O   M ; N    d  Đặc biệt C Mơ hình tổng qt Mơ hình tổng qt khối nón tròn khối  N  khối  S cầu V S  Khối nón V N  Tỉ số thể tích: Khối nón ngoại tiếp tứ diện cạnh x Bán kính đáy: Khối nón nội tiếp tứ diện cạnh x Bán kính đáy:  R 4  h    R 1 h R 2x x  3 R 1x x  Khối nón nội tiếp hình lập phương cạnh x x Bán kính đáy: Vn   Vlp 12 Tỉ số thể tích: Khối nón ngoại tiếp hình lập phương cạnh x x 2 Bán kính đáy: Vn   Vlp Tỉ số thể tích: R R Mơ hình mặt cầu nội tiếp – ngoại tiếp khối Trang 109 Bán kính: Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh x R Tỉ số thể tích: Bán kính: Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh x x 2 Vc   Vlp x Vc   Vlp R Tỉ số thể tích: a  b2  c2 R Bán kính: Khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật x 2 Bán kính: Vc  V bdđ Tỉ số thể tích: x R Bán kính: R Khối cầu ngoại tiếp khối bát giác x 6 V       Thể tích khối cầu: Khối cầu ngoại tiếp tứ diện cạnh x   Nếu cạnh tứ diện tăng (giảm) n lần thể tích khối cầu ngoại tiếp tăng (giảm) n lần Tỉ số thể tích: Vc 3  Vtd Bán kính: Khối cầu nội tiếp tứ diện cạnh x r x 12 Vc   18 Tỉ số thể tích: Vtd Khối cầu ngoại tiếp tứ diện vng Bán kính: Bán kính: Khối cầu ngoại tiếp khối chóp (đáy tứ giác) R a  b2  c2 x 2   R SH  Vc V Tỉ số thể tích: chóp Đường cao c , hai cạnh góc vng đáy a, b Khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng có tam giác vng Bán kính: Trang 110 R a  b2  c2   x A  xB y A  y B z A  z B  Qua I  ; ;  : trung điểm AB    P :    n  AB   P Phương pháp: Loại Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M vng góc với đường thẳng d  AB A B Qua M  x0 ; y0 ; z0  ( P) :     n  u  d  AB  ( P) Phương pháp:   P  qua điểm M có cặp véctơ phương a, b Loại Viết phương trình mặt phẳng Qua M  x0 ; y0 ; z0  P  P :       n  a , b  ( P )   Phương pháp: d M P P B C P A B Q  P  qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng Loại Viết phương trình mặt phẳng Qua A, (hay B hay C )   P  :   A  n  AB, AC  ( ABC )    Phương pháp:  P  qua A, B  P    Q  Loại Viết phương trình mặt phẳng Qua A (hay B) P :        n  AB, n( Q )   ( P )  Phương pháp:  P  qua M vng góc với hai mặt    ,    Loại Viết phương trình mp Qua M  x0 ; y0 ; z0   P  :      n( ) , n(  )  n  ( P )   Phương pháp: Loại Viết ( P) qua M giao tuyến d hai mặt phẳng: I P P M (Q) : a1 x  b1 y  c1 z  d1 0 (T ) : a2 x  b2 y  c2 z  d 0 Phương pháp: Khi mặt phẳng chứa d có dạng: ( P) : m  a1 x  b1 y  c1 z  d1   n  a2 x  b2 y  c2 z  d  0, m  n 0 Vì M  ( P)  mối liên hệ m n Từ chọn m  n tìm ( P ) Loại 10 Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn  P  qua M cắt ba trục tọa độ A  a;0;  , B  0; b;0  , Phương pháp: Nếu mặt phẳng x y z ( P) :   1 C  0; 0; c  abc 0   a b c với gọi mặt phẳng đoạn chắn a  x , b 3 yM , c 3z M  VO ABC M  M trọng tâm ABC   1   OM n P   d  O;  P   max     2   OA OB OC   M trực tâm ABC a b c I ; ;   2  bán kính  Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có tâm R  a  b2  c 2 2 2  Tam diện vuông: SOAB  SOBC  SOCA S ABC Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt, khoảng cách hai mặt Trang 114  P  : ax  by  cz  d 0 xác định công thức: đến mặt phẳng ax  byM  czM  d d  M ; P   M a  b2  c2  P  : ax  by  cz  d 0 d  d  d   Q ; P    Q  : ax  by  cz  d  0 đó: a  b2  c – Cho hai mặt phẳng song song  M  x0 ; y0 ; z0  – Viết phương trình ( P) // (Q) : ax  by  cz  d 0 cách khoảng k Phương pháp:  Vì  P  //  Q  : ax  by  cz  d 0   P  : ax  by  cz  d  0 ax  by0  cz0  d  d M ;( P )  k  d  2 a  b  c  Sử dụng công thức khoảng cách  P  //  Q  : ax  by  cz  d 0  P  cách  Q  khoảng k cho trước – Viết phương trình Phương pháp:  Vì  P  //  Q  : ax  by  cz  d 0   P  : ax  by  cz  d  0 ax  by0  cz0  d  d ( Q );( P ) d M ,( P )  k  d  a2  b2  c  Chọn M  x0 ; y0 ; z0    Q  sử dụng công thức:  P  thỏa mãn  P      ,  P      khoảng cách từ mặt phẳng  P  đến – Viết phương trình mặt phẳng điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) k – Khoảng cách từ điểm M  xM ; yM ; zM  Phương pháp:         Tìm n( ) n(  ) Từ suy n( P )  n( ) , n(  )   a; b; c   Khi phương trình  P  có dạng  P  : ax  by  cz  d 0, (cần tìm d ) ax0  by0  cz0  d d  M , P   k  k  d 2   a  b  c  Ta có: Dạng Góc mặt phẳng Góc hai vectơ     a  a1 ; a2 ; a3  b  b1 ; b2 ; b3  Cho hai véctơ  Khi góc hai véctơ a b góc nhọn tù  a1b1  a2b2  a3b3 a.b   cos(a; b )     a.b a1  a22  a32 b12  b22  b32 với 0    180 Góc hai mặt phẳng  P  : A1 x  B1 y  C1 z  D1 0  Q  : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 Cho hai mặt phẳng   n P  n Q  A1 A2  B1 B2  C1C2 cos   P  ,  Q   cos      n P  n Q  A1  B12  C12 A22  B22  C22 với 0    90 M Dạng Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu R I S  I; R  P Cho mặt cầu mặt phẳng d IH d  I ;  P   M IH   P  Kẻ H có I H  Nếu d  R : Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung P R  Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu H P P  ( P ) H Lúc mặt phẳng tiếp diện tiếp điểm P  Nếu d  R : mặt phẳng   cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm H bán kính r  R  IH Trang 115 * Viết phương trình mặt ( P) // (Q) : ax  by  cz  d 0 tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Phương pháp:  Vì  P  //  Q  : ax  by  cz  d 0   P  ax  by  cz  d  0  Tìm tâm I bán kính R mặt cầu d R  d   Vì ( P) tiếp xúc ( S ) nên có  I ;( P ) Dạng Vị trí tương đối hai mặt Cho hai mặt phẳng ( P) : A1 x  B1 y  C1 z  D1 0 (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2 0  ( P) cắt (Q )  A1 B1 C1 D1     A2 B2 C2 D2   P  //  Q   A1 B1 C1 D1     A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1      ( P)  (Q)  A1 A2  B1 B2  C1C2 0 A2 B2 C2 D2 D Phương trình đường thẳng Dạng Xác định phương trình đường thẳng Loại Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số dạng tắc (nếu có), biết d qua điểm  M  x0 ; y0 ; z0  u  a1 ; a2 ; a3  có véctơ phương d Qua M  x0 ; y0 ; z0  d :  ud  a1 ; a2 ; a3  Phương pháp: Có:  x  x0  a1t  d :  y  y0  a2t ,  t     z z  a t   Phương trình đường thẳng d dạng tham số x  x0 y  y0 z  z0 d:   ,  a1a2 a3 0  a1 a2 a3  Phương trình đường thẳng d dạng tắc  ( P) (Q)  Loại Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d qua A B B Qua A (hay B) A d :  ud  AB Phương pháp: Đường thẳng Loại Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số tắc, biết d qua điểm M d //  Qua M  x0 ; y0 ; z0  d :   ud u Phương pháp: Ta có d   P  : ax  by  cz  d 0 Loại Viết phương trình đường thẳng d , biết d qua điểm M Qua M d :  P ud n( P )  a; b; c  Phương pháp: Ta có d  P    Q  Loại Viết phương trình tham số tắc đường thẳng A Qua A ( P )  (Q ) d :    ud  n P  ; n Q   Phương pháp: Ta có d M Loại Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với hai đường thẳng d1 , d cho trước Qua M d :   ud  ud1 , ud2    Phương pháp: Ta có Loại Viết phương trình đường thẳng d qua M song song với hai mặt phẳng ( P ), (Q) Trang 116 Qua M d :    ud  n P  , n Q   Phương pháp: Ta có Loại Viết phương trình đường thẳng d qua M , vng góc đường d  song song mặt ( P ) Qua M d :    ud  ud  , n P   Phương pháp: Ta có Loại Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt ( P), song song mặt (Q ) qua M Qua M d :    ud  n P  , n Q   Phương pháp: Ta có Loại 10 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng d  Phương pháp: Qua A d ( P) :    B A P n  u d   P   Dựng mặt phẳng tìm B d   ( P)  Suy đường thẳng d qua A B Lưu ý: Trường hợp d  trục tọa độ d  AB, với B hình chiếu A lên trục d d Loại 11 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt đường thẳng vng góc cho trước Phương pháp: M d H  Giả sử d  d1 H  H ( x1  a1t ; x2  a2t ; x3  a2t )  d1   MH  d  MH ud2 0  t  H  Vì Qua M d :   ud MH  Suy đường thẳng M  x ;y ;z  Loại 12 Đường thẳng d qua điểm 0 0 cắt hai đường thẳng d1 , d :  Cách 1: Gọi M  d1 , M  d Từ điều kiện M , M , M thẳng hàng ta tìm M , M Từ suy phương trình đường thẳng d    ud  n P  , n Q   P   ( M ; d1 )  Q  ( M ; d ) P Q        d   Cách 2: Gọi , Khi  ,  P  cắt hai đường thẳng d1 , d : Loại 13 Đường thẳng d nằm mặt phẳng A  d1   P  , B  d   P  Phương pháp: Tìm giao điểm Khi d đường thẳng AB Loại 14 Đường thẳng d song song với  cắt hai đường thẳng d1 , d :  P   ; d1   Q   ; d2  Khi d  P    Q  Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng Loại 15 Đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d chéo nhau:  MN  d1  MN  d  Cách 1: Gọi M  d1 , N  d Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi d MN  Cách 2:    u  ud1 , ud2  – Vì d  d1 d  d nên vectơ phương d là:  P  chứa d d1 , cách: – Lập phương trình mặt phẳng +) Lấy điểm A d1  P +) Một vectơ pháp tuyến   nP  u , ud1  là: Trang 117  Q  chứa d d1 Khi d  P    Q  – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Loại 16 Viết phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc đường thẳng  lên mặt ( P ) Phương pháp: Xét vị trí tương đối đường thẳng  ( P )  Nếu  //  P  Chọn điểm M  Qua H d :   P   Hình chiếu ud u Tìm H hình chiếu M lên  Nếu   ( P) I Chọn điểm M I  Tìm H hình chiếu M lên ( P ) Hình chiếu vng góc  lên ( P) d IH Loại 17 Viết đường thẳng d đường thẳng đối xứng với đường thẳng  qua mặt phẳng ( P ) Phương pháp: Xét vị trí tương đối đường thẳng  ( P )  Nếu  //  P  Chọn điểm M   P  , lấy M  Đ P   M  Tìm H hình chiếu M lên Qua M  d :   ud u Đường thẳng đối xứng  Nếu   ( P) I Chọn điểm M   P  , lấy M  Đ P   M  Tìm H hình chiếu M lên Qua M  d :  ud IM  Đường thẳng đối xứng Loại 18 Phương  trình đường  thẳng phân giác u  a ;b ;c  , u  a ;b ;c  d  d A  x0 ; y0 ; z0  Gọi 1 1 2 2 có vectơ phương d1 , d Đường thẳng phân giác góc tạo hai đường thẳng có vécto phương xác định bởi:  1   u  u1  u2   a1; b1; c1   2  a2 ; b2 ; c2  2 u1 u2 a1  b1  c1 a2  b2  c2   u1.u2 Góc nhọn Góc tù       u  u1  u2 u  u1  u2  u1 u2 u1 u2        u  u1  u2 u  u1  u2 u1 u2 u1 u2 Dạng Tìm hình chiếu vng góc Loại 1: Tìm hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d 0 Cách 1:  P  , đó: – Viết phương trình đường thẳng MH qua M vng góc với Trang 118  x  x0  a1t  x ?  y y  a t    t   y ?  H  z  z  a t   z ?   ax  by  cz  d  – Lấy H d  ( P) thỏa mãn   P   H trung điểm MM  – Lưu ý: Để tìm điểm đối xứng M  điểm M qua ax  by  cz  d t  M M M2 H  at  xM ; bt  yM ; ct  z A  a b c Cách 2: Xác định giá trị , d Loại 2: Tìm hình chiếu H điểm M lên đường thẳng – Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M vng góc với d , đó:  x  x0  a1t  x ?  y y  a t    t   y ?  H   z  z0  a3t  z ?   ax  by  cz  d  – Lấy H d  ( P) thỏa mãn  – Lưu ý: Để tìm điểm đối xứng M  điểm M qua d  H trung điểm MM  Dạng Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng  P  qua M , vuông góc mp  Q  mp  P  //  : Loại Viết phương trình mp Qua M  x0 , y0 , z0     mp  P  :  n P   n Q  , u  Δ Phương pháp: Loại Viết phương trình mp với:  P P qua M vng góc với đường thẳng d qua hai điểm A B ,    n P  ud  AB mp  P  qua M có vectơ pháp tuyến  P  qua điểm M chứa đường thẳng  : Loại Viết phương trình mặt phẳng  u Phương pháp: Lấy A  xác định vectơ pháp tuyến  Phương pháp: Q d P M Qua M A   mp  P  :    n P   AM , u  Khi  P  qua hai đường thẳng song song 1 ,  : Loại Viết phương trình mặt phẳng Qua M  1 ,  hay M    mp  P  :     n P   u1 , u2  Phương pháp:  P  qua hai đường thẳng cắt 1 ,  : Loại Viết phương trình mặt phẳng Qua M  1 ,  hay M    Δ M mp  P  :     n P   u1 , u2  Phương pháp:  P  chứa 1 song song Loại Cho đường thẳng chéo 1 ,  Hãy viết phương trình Δ Qua M  1 ,  hay M      mp  P  :  M n  u , u    P   1 2  Phương pháp: M Δ Δ P 2 Δ  P  qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng    ,    Loại Viết phương trình mặt phẳng        A, B   P  Cụ thể: Phương pháp: Chọn A, B thuộc giao tuyến hai mặt phẳng Trang 119 P P  A1 x  B1 y   C1 z0  D1  z  z0    A x  B y  C z  D    2 2 Cho  B1 y  C1 z   A1 x0  D1  x  x0    B2 y  C2 z   A2 x0  D2    Cho  x   A  ; ;    P   y    y   B  ; ;    P    z     n P   AB, AM  mp  P  Khi qua M có vectơ pháp tuyến Dạng Bài tốn liên quan đến vị trí tương đối  S Loại Vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu  tâm I  S : bán kính R đường thẳng  Cho mặt cầu +) Nếu d ( I , )  R :  không cắt ( S ) +) Nếu d ( I , ) R :  tiếp xúc với ( S ) H +) Nếu d ( I , )  R :  cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B R  AB  d  I ;     Nếu ABI vuông cân R  2.d ( I , ) R d ( I , )  Nếu ABI  P Loại Vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng  x  x0  a1t  d :  y  y0  a2t  z z  a t    : Ax  By  Cz  D 0  Cho đường thẳng mặt phẳng  x  x0  a1t  1   2  y  y0  a2t   3  z  z0  a3t  Ax  By  Cz  D 0   () Xét hệ phương trình:    +) Nếu () có nghiệm  d cắt  d //    +) Nếu () có vơ nghiệm  d   +) Nếu () vô số nghiệm Loại Vị trí tương đối hai đường thẳng d d   x  x   u t    x  x0  u1t  N  d  :  y  y0  u2t   M  d :  y  y  u 2t   z z  u t  z  z0  u3t   Cho hai đường thẳng:    u  d , ud   MN 0  +) d d nằằm mặt phẳng     ud , ud   0      M  d u u u   d d  d d d MN +) song song , phương , không phương     u , u   0  d d    M  d +) d trùng d   ud , ud  , MN đôi phương  Trang 120