Hh10 c2 b2 tich mot so voi mot vecto

Bài 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTO Định nghĩa r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a rr r , xác định công thức sau: b số, kí hiệu ab rr r r r r ab = a b cos a, b ( ) r r r Trường hợp hai vectơ a b vectơ ta rr ab= quy ước Chú ý r r r rr r r = Û a ^ b · Với a b khác vectơ ta có ab r r uu r rr kí hiệu a2 số · Khi a = b tích vơ hướng aa r gọi bình phương vơ hướng vectơ a Ta có: r2 r r r2 a = a a cos00 = a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: r r r Với ba vectơ a, b, c số k ta có: rr rr = ba (tính chất giao hoán); · ab · r r r rr rr a b+ c = ab + ac ( ) r r rr r (tính chất phân phối); r · ( ka) b = k( ab ) = a.( kb) ; · r2 r2 r a ³ 0, a = Û a = Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: r r r2 r r r2 = a + 2ab +b ; r r r2 r r r2 = a - 2ab +b ; r r r · ( a+ b) · ( a- b) · ( a+ b)( a- b) = a - b r r2 r2 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng rr Trên mặt phẳng tọa độ ( O;i ; j ) , rr ab Khi tích vơ hướng là: cho hai vectơ r ur a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) rr ab = ab 1 + a2b2 r Nhận xét Hai vectơ a = ( a1;a2 ) , góc với r b = ( b1;b2 ) r khác vectơ vuông ab 1 + a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) tính theo công thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r r b = ( b1;b2 ) khác ta có r a = ( a1;a2 ) rr r r ab ab 1 + a2b2 cos a;b = r r = a1 + a22 b12 + b22 a b ( ) c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B( xB ; yB ) tính theo cơng thức: 2 AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Dạng TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng? rr r r ab = a b rr r r rr rr ab =- a b - A B ab= C ab= D r r r Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc a hai rr r r r r ab =- a b vectơ a b A a = 180 B a = C a = 90 D a = 45 r r r r rr a = 3, b = Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a.b =- Xác r r định góc a hai vectơ a b A a = 30 B a = 45 C a = 60 D a = 120 r r r r a = b =1 Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn hai vectơ r r 2r u = a- 3b r r r v = a+ b vuông góc với Xác định góc a r r hai vectơ a b A a = 90 B a = 180 r C a = 60 D a = 45 r Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai? A r r 1ỉr r r r ÷ a.b = ỗ ữ ỗa + b - a - b ø ÷ 2è C r r 1ỉr r r r a.b = ỗ a +b - a- b ữ ữ ữ ố ứ 2ỗ B r r 1ỉr r r r ÷ a.b = ỗ ữ ỗa + b - a - b ø ÷ 2è D r r ỉr r r r a.b = ỗ a +b - a- b ữ ữ ữ ố ứ 4ỗ Cõu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng uuu r uuur AB.AC uuu r uuur uuu r uuur a2 a2 uuu r uuur AB AC = AB AC = 2 A AB.AC = 2a B C D uuu r uuur a2 AB.AC = Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vô hướng uuu r uuu r AB.BC uuu r uuu r A AB.BC = a B uuu r uuu r a2 AB.BC = C uuu r uuu r a2 AB.BC = D uuu r uuu r a2 AB.BC = Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai? A uuu r uuur uuur uur AB.AC = a2 AC.CB = - a2 2 B C uuu r uuu r a2 GA.GB = D uuu r uuur AB.AG = a2 Câu Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề sau sai? uuur uuu r A AH BC = uuur uuur ( AB, HA) = 150 B C uuu r uuur a2 AB.AC = D uuur uur a2 AC.CB = Câu 10 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = a Tính uuu r uuu r AB.BC uuu r uuu r AB BC = - a2 A uuu r uuu r a2 AB.BC = D uuu r uuu r AB BC = a2 B C uuu r uuu r a2 AB.BC = Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Tính uuu r uuu r BA.BC uuur uuu r A BA.BC = b uuu r uuu r B BA.BC = c uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 C BA.BC = b + c D BA.BC = b - c Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Tính uur uur CA.CB uur uur A CA.CB = 13 Câu 13 uur uur Cho uuu r uuur uuu r P = AB + AC BC ( uur uur B CA.CB = 15 ) 2 A P = b - c tam giác P= c2 + b2 B uur uur C CA.CB = 17 ABC C BC = a, CA = b, AB = c có P= D CA.CB = 19 c2 + b2 + a2 P= D Tính c2 + b2 - a2 Câu 14 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung uuuu r uuu r điểm cạnh BC Tính AM BC A uuuu r uuu r b2 - c2 AM BC = uuuu r uuu r c2 + b2 + a2 AM BC = C B uuuu r uuu r c2 + b2 AM BC = D uuuu r uuu r c2 + b2 - a2 AM BC = Câu 15 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần uur uur uuu r ( OA +OB) AB = đủ để tích vơ hướng A tam giác OAB O B tam giác OAB cân O C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân Câu 16 Cho M , N , P , Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai? A C uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuuu r uuu r MN NP + PQ = MN NP + MN PQ ( ) uuuu r uuu r uuu r uuuu r MN PQ = PQ.MN uuur uuuu r uuuu r uuur B MP.MN = - MN MP uuuu r uuur uuuu r uuu r PQ MN + PQ = MN - PQ2 ( MN D )( ) uuu r uuur Câu 17 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB.AC uuu r uuur A AB.AC = a uuu r uuur B AB.AC = a C uuu r uuur 2 AB.AC = a D uuu r uuur AB.AC = a2 Câu 18 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính B P = 3a A P = - Câu 19 Cho hình uuur uuur uuu r uuu r uuu r P = AB + AC BC + BD + BA ( )( A P = 2a ) uuur uuur uur P = AC CD +CA ( C P = - 3a B P = 2a D P = 2a ABCD vuông ) cạnh C P = a a Tính D P = - 2a Câu 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng uuur uuu r D qua C Tính AE AB uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r 2 A AE AB = 2a B AE AB = 3a C AE AB = 5a uuur uuur D AE AB = 5a Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh Điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = uuur uuuu r đoạn thẳng DC Tính MB.MN uuur uuuu r uuur uuuu r A MB.MN = - B MB.MN = AC Gọi N trung điểm uuur uuuu r uuur uuuu r C MB.MN = D MB.MN = 16 uuu r uuu r AB = 8, AD = ABCD AB BD Câu 22 Cho hình chữ nhật có Tích uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A AB.BD = 62 B AB.BD = 64 C AB.BD = - 62 D AB.BD = - 64 uuu r uuur Câu 23 Cho hình thoi ABCD có AC = BD = Tính AB.AC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur A AB.AC = 24 B AB.AC = 26 uuu r uuur C AB.AC = 28 D AB.AC = 32 · Câu 24 Cho hình bình hành ABCD có AB = cm, AD = 12 cm , góc ABC nhọn diện tích 54 cm Tính uuu r uuu r cos AB, BC ( ) uuu r uuu r cos AB, BC = 16 A uuu r uuu r cos AB, BC = 16 B uuu r uuu r cos AB, BC = 16 C uuu r uuu r cos AB, BC = 16 D ( ( ) ) ( ( ) ) Câu 25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a AD = a Gọi K uuur uuur trung điểm cạnh AD Tính BK AC uuur uuur A BK AC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 B BK AC = - a C BK AC = a D BK AC = 2a Dạng QUỸ TÍCH Câu 26 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn uuur uuur uuur MA MB + MC = ( ) là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 27 Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn với A, B, C ba đỉnh tam giác uuur uuur uuur uuur MB MA + MB + MC = ( ) A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 28 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn uuur uuu r MA.BC = là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 29* Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách a Tập uuur uuu r hợp điểm N thỏa mãn AN AB = 2a là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 30* Cho hai điểm A, B cố định AB = Tập hợp điểm M uuur uuur thỏa mãn MA.MB =- 16 là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Dạng BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG HAI VECTƠ tam giác ABC với A ( xA ; yA ) , B( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) Cho ba đỉnh có tọa độ xác định  Trung điểm I đoạn  Trọng tâm ỉxA + xB yA + yB ÷ AB ắắ đI ỗ ; ữ ỗ ữ ỗ è 2 ø æxA + xB + xC yA + yB + yC ữ G ắắ đG ỗ ; ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 3 uuur uuu r ìï HA.BC = ï H ¾¾ ® í uuu r uur ïï HB.CA = ï ỵ  Trực tâm  Tâm đường trịn ngoại tip ỡù AE = BE E ắắ đ EA = EB = EC Û ïí ïïỵ AE = CE uuur uuu r ìï AK BC = ù A ắắ đ uuur uuu r ïï BK = kBC ï ỵ K  Chân đường cao hạ từ đỉnh  Chân đường phân giác gúc A l im uuur AB uuur D ắắ đ DB = DC AC  Chu vi: P = AB + BC +CA  Diện tích:  Góc S= 1 AB.AC.sin A = AB.AC 1- cos2 A 2 uuu r uuur A : cos A = cos AB, AC ( )  Tam giác ABC vuông cân uuu r uuur ìï AB.AC = ï A ắắ đớ ùù AB = AC ợ Cõu 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho uuu r uuur A ( 3;- 1) , B( 2;10) , C ( - 4;2) Tính tích vơ hướng AB.AC uuu r uuur uuu r uuur A AB.AC = 40 B AB.AC = - 40 uuu r uuur C AB.AC = 26 ba điểm uuu r uuur D AB.AC = - 26 Câu 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 3;- 1) uuur uur B( 2;10) Tính tích vơ hướng AO.OB uuur uur uuur uur = A AO.OB = - B AOOB uuur uur = C AOOB uuur uur D AO.OB = 16 r r r Oxy , a = i + j Câu 33 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ r r r b = 3i - j rr Tính tích vô hướng ab rr rr - 30 A ab= B ab= Câu 34 Trong mặt r b= ( - 1;- 7) Tìm tọa A r c = ( - 1;- 3) B rr 30 C ab= rr 43 D ab= r a= ( - 3;2) Oxy , phẳng tọa độ cho hai vectơ r rr rr cb= - 20 độ vectơ c biết ca= r c = ( - 1;3) C r c = ( 1;- 3) D Câu 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ r c = ( 2;3) Tính r c = ( 1;3) r r a = ( 1;2) , b = ( 4;3) r r r P = a b+ c ( ) A P = B P = 18 C P = 20 D P = 28 Oxy, Câu 36 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ r r r b= ( 2;0) Tính cosin góc hai vectơ a b A C r r cos a, b = ( ) r r cos a, b = - ( ) B 2 D C r r cos a, b = - ( ) r r cos a, b = ( ) ( ) ( ) r a= ( - 2;- 1) r r cos a, b = B ( ) D r r cos a, b = ( ) Câu 38 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ r r r b= ( 1;7) Tính góc a hai vectơ a b O B a = 60 r r cos a, b = Oxy, O A a = 90 r a= ( - 1;1) r r cos a, b = - Câu 37 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ r r r b= ( 4;- 3) Tính cosin góc hai vectơ a b A O C a = 45 r a = ( 4;3) O D a = 30 u r x = ( 1;2) Oxy , Câu 39 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ u r u r u r y = ( - 3;- 1) Tính góc a hai vectơ x y O A a = 45 O B a = 60 O C a = 90 O D a = 135 r a = ( 2;5) Oxy , Câu 40 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ r r r b= ( 3;- 7) Tính góc a hai vectơ a b O A a = 30 O B a = 45 O C a = 60 O D a = 135 r Câu 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = ( 9;3) Vectơ r sau không vng góc với vectơ a ? A ur v1 = ( 1;- 3) ur v2 = ( 2;- 6) B C ur v3 = ( 1;3) D uu r v4 = ( - 1;3) Câu 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1;2) , B( - 1;1) uuur uuu r C ( 5;- 1) Tính cosin góc hai vectơ AB AC A uuu r uuur cos AB, AC = - C uuu r uuur cos AB, AC = - ( ( ) B ) D uuu r uuur cos AB, AC = ( ) uuu r uuur cos AB, AC = - ( ) Câu 43 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 6;0) , B ( 3;1) C ( - 1;- 1) Tính số đo góc B tam giác cho O A 15 O B 60 O C 120 O D 135 Câu 44 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( - 8;0) , B ( 0;4) , C ( 2;0) D ( - 3;- 5) Khẳng định sau đúng? · · A Hai góc BAD BCD phụ góc nhọn C uuu r uuur uur uuu r cos AB, AD = cos CB,CD ( ) ( ) · B Góc BCD · · D Hai góc BAD BCD bù 10 uuu r uuur uuu r uuur ( AB, AG) Xác định góc · · góc GAB ( AB, AG) = 30 nên uuu r uuur uuu r uuur a a2 AB.AG = AB.AG.cos AB, AG = a .cos300 = ¾¾ ® Do D ( ) uuur uur Câu Xác định góc ( ( AC,CB) uuur uur AC,CB = 1200 ) µ góc ngồi góc A nên uuur uur uuur uur a2 AC.CB = AC.CB.cos AC,CB = aa cos1200 = ( Do ) Chọn D uuu r uuu r ( AB, BC) Câu 10 Xác định góc ( uuur uuur AB, BC = 1350 ) Do µ góc ngồi góc B nên uuu r uuu r uuu r uuu r AB.BC = AB.BC.cos AB, BC = aa 2.cos1350 = - a2 ( Câu ) 11 Ta uuu r uuu r uuu r uuu r µ = c b2 + c2 BA.BC = BA.BC.cos BA, BC = BA.BC.cos B ( Chọn A ) có c 2 b +c = c2 Chọn B Cách khác Tam giác ABC uuu r uuur Þ AB.AC = Ta có uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur BA.BC = BA BA + AC = BA + BA.AC = AB2 = c2 ( ) Câu 12 Ta có AB + BC = CA Þ nằm A, C Khi vng A suy AB ^ AC ba điểm A, B, C thẳng hàng B uur uur uur uur CA.CB = CA.CB.cos CA,CB = 3.5.cos00 = 15 Cách khác Ta có ( Chọn B ) Chọn B uuu r2 uur uur uuruur AB2 = AB = CB - CA = CB2 - 2CBCA +CA ( ) uur uur 1 ắắ đ CBCA = ( CB2 +CA2 - AB2 ) = ( 32 + 52 - 22 ) = 15 2 19 uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur P = AB + AC BC = AB + AC BA + AC ( Câu 13 Ta có ) ( )( ) uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r2 = AC + AB AC - AB = AC - AB = AC - AB2 = b2 - c2 ( )( ) Chọn A uuu r uuur uuuu r Câu 14 Vì M trung điểm BC suy AB + AC = AM Khi = uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur AM BC = AB + AC BC = AB + AC BA + AC 2 ( ) ( )( ) r uuur uuu r r2 uuur uuu uuur2 uuu b2 - c2 AC + AB AC - AB = AC - AB = ( AC - AB2 ) = 2 2 ( )( ( ) uur uuu r uur ) uur uur uur Chọn A uur ( OA +OB) AB = Û ( OA +OB) ( OB - OA) = Câu 15 Ta có uur uur Û OB - OA = Û OB2 - OA2 = Û OB = OA Chọn B Câu 16 Đáp án A theo tính chất phân phối uuur uuuur uuuur uuur Đáp án B sai Sửa lại cho MP.MN = MN MP Đáp án C theo tính chất giao hốn Đáp án D theo tính chất phân phối Chọn B uuu r uuur Câu 17 Ta · = 45 ( AB, AC ) = BAC có nên uuu r uuur AB.AC = AB.AC.cos450 = aa = a2 Chọn A Câu 18 Từ giả thiết suy AC = a Ta có uuur uuur uur uuur uuu r uuur uur uur uuu r uuur P = AC CD +CA = AC.CD + AC.CA = - CA.CD - AC ( ) uur uuu r = - CA.CD cos CA,CD - AC = - a 2.a.cos450 - a = - 3a2 ( Câu 19 Ta có ) ( ) Chọn C ìï BD = a ïï r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r í uuu ïï BC + BD + BA = BC + BA + BD = BD + BD = 2BD ïỵ ( ) 20