Câu 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 Tính độ dài −−→CB+−−→ABCB→+AB→ A √ 13 13; B 2√ 13 213; C 2√ 3 23; D √ 3 3 Đáp án B Gọi M là trung điểm AC, ta suy ra −−→MA+−−→MC=→0MA→+MC→=0→ ⇔−−−→[.]
Câu Cho tam giác ABC vng A có AB = 3, AC = Tính độ dài −− →CB+−− →ABCB→+AB→ A √ 13 13; B 2√ 13 213; C 2√ 23; D √ 3 Đáp án: B Gọi M trung điểm AC, ta suy −−→MA+−−→MC=→0MA→+MC→=0→ ⇔−−−→AM−−−→CM=→0⇔−AM→−CM→=0→ ⇔−(−−→AM+−−→CM)=→0⇔−AM→+CM→=0→ ⇔−−→AM+−−→CM=→0⇔AM→+CM→=0→ Ta có −− →CB+−− →AB=−−→CM+−−→MB+−−→AM+−−→MB=(−−→ AM+−−→CM)+2−−→MB=→0+2−−→MB=2−−→MBCB→+AB →=CM→+MB→+AM→+MB→=AM→+CM→+2MB→=0→+ 2MB→=2MB→ Vì M trung điểm AC nên AM = AC2AC2 = Tam giác ABM vuông A: BM2 = AB2 + AM2 (Định lý Pytago) ⇔ BM2 = 32 + 22 = 13 ⇒BM=√ 13 ⇒BM=13 Ta suy (−− →CB+−− →AB)=(2−−→MB)=2.MB=2√ 13 CB→+AB→=2 MB→=2.MB=213 Vậy ta chọn đáp án B Câu Cho →a≠→0a→≠0→ điểm O Gọi M, N hai điểm thỏa mãn −−→OM=3→aOM→=3a→ −−→ON=−4→aON→=−4 a→ Tìm −−−→MNMN→ A −−−→MN=7→aMN→=7a→; B −−−→MN=−5→aMN→=−5a→; C −−−→MN=−7→aMN→=−7a→; D −−−→MN=−5→aMN→=−5a→ Đáp án: C Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA AB Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A −− →AG=12−− →AE+12−− →AFAG→=12AE→+12AF→; B −− →AG=13−− →AE+13−− →AFAG→=13AE→+13AF→; C −− →AG=32−− →AE+32−− →AFAG→=32AE→+32AF→; D −− →AG=23−− →AE+23−− →AFAG→=23AE→+23AF→ Đáp án: D Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có −− →AG=23−− →ADAG→=23AD→ Tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC, suy 2−− →AD=−− →AB+−− →AC2AD→=AB→+AC→ Ta có E, F trung điểm AC, AB Suy −− →AC=2−− →AEAC→=2AE→ −− →AB=2−− →AFAB→=2 AF→ Khi ta có −− →AG=23−− →AD=13(−− →AB+−− →AC)=13(2−− →AF+2−− → AE)=23−− →AE+23−− →AFAG→=23AD→=13AB→+AC→=13 2AF→+2AE→=23AE→+23AF→ Vậy ta chọn đáp án D Câu Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu −− →AB=−3−− →ACAB→=−3AC→ đẳng thức đúng? A −− →BC=−4−− →ACBC→=−4AC→; B −− →BC=−2−− →ACBC→=−2AC→; C −− →BC=2−− →ACBC→=2AC→; D −− →BC=4−− →ACBC→=4AC→ Đáp án: D Từ đẳng thức −− →AB=−3−− →ACAB→=−3AC→, ta suy ba điểm A, B, C thẳng hàng Vì k = – < nên −− →ABAB→ −− →ACAC→ ngược hướng Do điểm A nằm hai điểm B C Ta có −− →AB=−3−− →ACAB→=−3AC→, suy (−− →AB)=(−3−− →AC)AB→=−3AC→, AB = 3AC Suy BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC Mà −− →BC,−− →ACBC→,AC→ hướng Do ta suy −− →BC=4−− →ACBC→=4AC→ Vậy ta chọn đáp án D Câu Cho hình bình hành ABCD tâm O Mệnh đề sau sai? A −− →AB+−− →AD=−− →ACAB→+AD→=AC→; B −− →OA=12(−− →BA+−− →CB)OA→=12BA→+CB→ C −− →OA+−− →OB=−− →OC+−− →ODOA→+OB→=OC→+OD →; D −− →OA+−− →OB=−− →DAOA→+OB→=DA→ Đáp án: C Ta xét đáp án: Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta có −− →AB+−− →AD=−− →ACAB→+AD→=AC→ ⇒ A Đáp án B: Vì O tâm hình bình hành ABCD nên O trung điểm AC Ta suy OA=12CAOA=12CA Mà −− →OA,−− →CAOA→,CA→ hướng Do −− →OA=12−− →CA=12(−− →CB+−− →BA)OA→=12CA→=12 CB→+BA→ ⇒ B Đáp án C: Gọi I, J trung điểm AB CD Ta có −− →OA+−− →OB=2−→OIOA→+OB→=2OI→ −− →OC+−− →OD=2−→OJOC→+OD→=2OJ→ Mà −→OI,−→OJOI→,OJ→ hai vectơ đối Do 2−→OI≠2−→OJ2OI→≠2OJ→ Suy −− →OA+−− →OB≠−− →OC+−− →ODOA→+OB→≠OC→+OD → ⇒ C sai Đáp án D: Ta có OI đường trung bình tam giác ABD Suy −→OI=12−− →DAOI→=12DA→ Ta có −− →OA+−− →OB=2−→OI=2.12−− →DA=−− →DAOA→+OB→ =2OI→=2.12DA→=DA→ ⇒ D Vậy ta chọn đáp án C Câu 6.Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm AB Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0MA→+MB→+2MC→= 0→ A M trung điểm BC; B M trung điểm IC; C M trung điểm IA; D M điểm cạnh IC cho IM = 2MC Đáp án: B Ta có −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0⇔2−− →MI+2−−→MC=→0 ⇔2(−− →MI+−−→MC)=→0⇔−− →MI+−−→MC=→0MA→+MB →+2MC→=0→⇔2MI→+2MC→=0→⇔2MI→+MC→=0→ ⇔MI→+MC→=0→ Do ta suy M trung điểm IC Vậy ta chọn đáp án B Câu Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa mãn 4−−→AM=−− →AB+−− →AD+−− →AC4AM→=AB→+AD→+ AC→ Xác định vị trí điểm M A M trung điểm AC; B Điểm M trùng với điểm C; C M trung điểm AB; D M trung điểm AD Đáp án: A Theo quy tắc hình bình hành, ta có −− →AB+−− →AD=−− →ACAB→+AD→=AC→ Ta có 4−−→AM=−− →AB+−− →AD+−− →AC4AM→=AB→+AD→+A C→ ⇔4−−→AM=2−− →AC⇔4AM→=2AC→ ⇔−−→AM=12−− →AC⇔AM→=12AC→ Suy M trung điểm AC Vậy ta chọn đáp án A Câu Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài −− →AB+−− →ACAB→+AC→ A (−− →AB+−− →AC)=a√ AB→+AC→=a3; B (−− →AB+−− →AC)=a√ 2AB→+AC→=a32; C (−− →AB+−− →AC)=2aAB→+AC→=2a; D Đáp án khác Đáp án: A Gọi H trung điểm BC Ta suy BH = BC2=a2BC2=a2 Vì H trung điểm BC nên ta có −− →AB+−− →AC=2−− →AHAB→+AC→=2AH→ Do (−− →AB+−− →AC)=(2−− →AH)=2AHAB→+AC→=2AH→=2 AH Tam giác ABC có AH đường trung tuyến Suy AH đường cao tam giác ABC Tam giác ABH vuông H: AH2=AB2−BH2AH2=AB2−BH2 (Định lý Pytago) ⇔AH2=a2−a24=3a24⇔AH2=a2−a24=3a24 ⇒AH=a√ 2⇒AH=a32 Suy (−− →AB+−− →AC)=2AH=2.a√ 2=a√ AB→+AC→=2AH=2 a32=a3 Vậy ta chọn đáp án A Câu Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn (−− →OA+−− →OB−2−− →OC)=(−− →OA−−− →OB)OA→+OB →−2OC→=OA→−OB→ Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC đều; B Tam giác ABC cân C; C Tam giác ABC vuông C; D Tam giác ABC cân B Đáp án: C Gọi I trung điểm AB Ta suy −− →CA+−− →CB=2−→CICA→+CB→=2CI→ Ta có (−− →OA+−− →OB−2−− →OC)=(−− →OA−−− →OB)OA→+OB→ −2OC→=OA→−OB→ ⇔(−− →OA−−− →OC+−− →OB−−− →OC)=(−− →BA)⇔OA→−OC →+OB→−OC→=BA→ ⇔(−− →CA+−− →CB)=BA⇔CA→+CB→=BA ⇔(2−→CI)=AB⇔2CI→=AB ⇔ 2.CI = AB ⇔CI=12AB⇔CI=12AB Do tam giác ABC vng C (đường trung tuyến tam giác vuông nửa cạnh huyền) Vậy ta chọn đáp án C Câu 10 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Cho →v=−−→MA+−−→MB−2−−→MCv→=MA→+MB→−2MC → Hãy xác định vị trí điểm D cho −− →CD=→vCD→=v→ A D điểm thứ tư hình bình hành ABCD; B D điểm thứ tư hình bình hành ACBD; C D trọng tâm tam giác ABC; D D trực tâm tam giác ABC Đáp án: B Ta có →v=−−→MA+−−→MB−2−−→MC=−−→MA−−−→MC+−−→M B−−−→MC=−− →CA+−− →CB=2−→CIv→=MA→+MB→−2MC →=MA→−MC→+MB→−MC→=CA→+CB→=2CI→ (với I trung điểm AB) Do →vv→ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi −− →CD=→v=2−→CICD→=v→=2CI→ Suy I trung điểm CD Vậy D điểm thứ tư hình bình hành ACBD Vậy ta chọn đáp án B Câu 11.Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC N trung điểm AM Đường thẳng BN cắt AC P Khi −− →AC=x−− →CPAC→=xCP→ giá trị x là: A −43−43; B −23−23; C −32−32; D −53−53 Đáp án: C Kẻ MK // BP (K ∈ AC) Do M trung điểm BC nên ta suy K trung điểm CP (1) Vì MK // NP, mà N trung điểm AM nên ta suy P trung điểm AK (2) Từ (1), (2) ta suy AP = PK = KC Do AP = 1212CP Ta có AC = AP + CP Suy AC = 3232CP Vì −− →AC,−− →CPAC→,CP→ ngược hướng với Nên −− →AC=−32−− →CPAC→=−32CP→ Do x = −32−32 Vậy ta chọn đáp án C Câu 12 Cho tam giác OAB vuông cân O với OA = OB = a Độ dài →u=214−− →OA−52−− →OBu→=214OA→−52OB→ là: A a√ 140 4a1404; B a√ 321 4a3214; C a√ 520 4a5204; D a√ 541 4a5414 Đáp án: D Dựng điểm M, N cho −−→OM=214−− →OAOM→=214OA→ −−→ON=52−− → OBON→=52OB→ Khi ta có: (→u)=(214−− →OA−52−− →OB)=(−−→OM−−−→ON)=(−−−→NM) =MNu→=214OA→−52OB→=OM→−ON→=NM→=MN Từ kiện −−→OM=214−− →OAOM→=214OA→ Ta suy −−→OMOM→ phương với −− →OAOA→ Vì −−→OM,−− →OAOM→,OA→ có điểm đầu O Nên giá −−→OM,−− →OAOM→,OA→ trùng Do ta có OM ≡ OA Tương tự ta có ON ≡ OB Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vng cân O) Do OM ⊥ ON Ta có −−→OM=214−− →OA⇔(−−→OM)=(214−− →OA)⇔OM=214 OA=21a4OM→=214OA→⇔OM→=214OA→⇔OM=214O A=21a4 Tương tự, ta có −−→ON=52−− →OB⇔(−−→ON)=(52−− →OB)⇔ON=52OB= 5a2ON→=52OB→⇔ON→=52OB→⇔ON=52OB=5a2 Tam giác OMN vng O: MN2 = OM2 + ON2 (Định lý Pytago) ⇔MN2=441a216+25a24=541a216⇔MN2=441a216+25a2 4=541a216 ⇒MN=a√ 541 4⇒MN=a5414 Vậy ta chọn đáp án D Câu 13 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Biểu diễn −− →AGAG→ theo hai vectơ −− →AB,−− →ACAB→,AC→ A −− →AG=13(−− →AB+−− →AC)AG→=13AB→+AC→; B −− →AG=16(−− →AB+−− →AC)AG→=16AB→+AC→; C −− →AG=16(−− →AB−−− →AC)AG→=16AB→−AC→; D −− →AG=13(−− →AB−−− →AC)AG→=13AB→−AC→ Gọi I trung điểm BC Ta suy 2−→AI=−− →AB+−− →AC2AI→=AB→+AC→ Ta có G trọng tâm tam giác ABC nên AG=23AIAG=23AI Mà −− →AG,−→AIAG→,AI→ hướng Do −− →AG=23−→AIAG→=23AI→ Suy −− →AG=13(−− →AB+−− →AC)AG→=13AB→+AC→ Vậy ta chọn đáp án A Câu 14 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Khi −− →AC+−− →BDAC→+BD→ A −−−→MNMN→; B 2−−−→MN2MN→; C 3−−−→MN3MN→; D −2−−−→MN−2MN→ Đáp án: B Vì M trung điểm AB nên −−→MA+−−→MB=→0⇔−(−−→AM+−−→BM)=→0⇔−−→ AM+−−→BM=→0MA→+MB→=0→⇔−AM→+BM→=0→⇔ AM→+BM→=0→ Vì N trung điểm CD nên −−→NC+−−→ND=→0NC→+ND→=0→ Theo quy tắc ba điểm, ta có −− →AC+−− →BD=−−→AM+−−−→MN+−−→NC+−−→BM+−−−→ MN+−−→NDAC→+BD→=AM→+MN→+NC→+BM→+MN→ +ND→ Suy −− →AC+−− →BD=(−−→AM+−−→BM)+(−−→NC+−−→ND)+2−−− →MN=→0+→0+2−−−→MN=2−−−→MNAC→+BD→=AM→+B M→+NC→+ND→+2MN→=0→+0→+2MN→=2MN→ Vậy ta chọn đáp án B Câu 15 Cho hình bình hành ABCD tâm O điểm M Khẳng định sau đúng? A −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=−−→MOMA→+MB→ +MC→+MD→=MO→; B −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=2−−→MOMA→+MB →+MC→+MD→=2MO→; C −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=3−−→MOMA→+MB →+MC→+MD→=3MO→; D −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=4−−→MOMA→+MB →+MC→+MD→=4MO→ Đáp án: D Vì O tâm hình bình hành ABCD nên O trung điểm AC BD Vì O trung điểm AC M điểm tùy ý nên −−→MA+−−→MC=2−−→MOMA→+MC→=2MO→ (1) Vì O trung điểm BD M điểm tùy ý nên −−→MB+−−→MD=2−−→MOMB→+MD→=2MO→ (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=4−−→MOMA→+ MB→+MC→+MD→=4MO→ Vậy ta chọn đáp án D ... tam giác ABC vuông C (đường trung tuyến tam giác vuông nửa cạnh huyền) Vậy ta chọn đáp án C Câu 10 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Cho →v=−−→MA+−−→MB−2−−→MCv→=MA→+MB→−2MC → Hãy xác định vị trí điểm... →MN=→0+→0+2−−−→MN=2−−−→MNAC→+BD→=AM→+B M→+NC→+ND→+2MN→=0→+0→+2MN→=2MN→ Vậy ta chọn đáp án B Câu 15 Cho hình bình hành ABCD tâm O điểm M Khẳng định sau đúng? A −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=−−→MOMA→+MB→